方曉懿，薛濱杰

(成都理工大學，四川成都 610059)

最小二乘法擬合直線是物理實驗中的常用數(shù)據(jù)處理方法，一般用計算機數(shù)據(jù)處理軟件準確求出直線回歸方程系數(shù)、相關系數(shù)、標準差以及不確定度等。教學中也常用用作圖法畫出直線并求出直線方程系數(shù)，優(yōu)點是直觀方便，但現(xiàn)行教材中大多沒有給出其標準差和相關系數(shù)的計算方法。本文以銅-康銅熱電偶的溫差電動勢E測量為例，根據(jù)最小二乘法原理作回歸直線，根據(jù)標準差的概念作標準差平行四邊形，計算直線回歸方程標準差和相關系數(shù)［1-2］。

1 用最小二乘法進行線性回歸

假定變量x和y的關系是線性的，且y方向的誤差遠大于x方向的誤差，對測得的一組數(shù)據(jù)xi，yi(i=1，2，…，k)，用最小二乘法進行線性回歸，可得直線的回歸方程［3］

斜率為

截距為

其中，

同樣，令

定義相關系數(shù)為

yi的剩余標準誤差差s為

斜率a1和截距a0的標準差分別為為

或

用Excel中的回歸方法可計算出回歸方程、相關系數(shù)、標準差及不確定度［4-5］。

2 用作圖法研究一元線性回歸方程

2．1 作回歸直線和標準差差平行四邊形

如圖所示，在xoy平面上根據(jù)(xi，yi)描點，作直線a0b．根據(jù)最小二乘法，作出的直線a0b應使為最?。渲衴i和y分別為x=xi時的數(shù)據(jù)點和回歸直線a0b在y方向的值．顯然εi=yi－y等于數(shù)據(jù)點在y方向上離開a0b的距離．要使為最小，就要使以εi為邊長的正方形面積之和為最?。@樣，作a0b時，應使數(shù)據(jù)點盡可能地靠近a0b，并且在a0b兩側(cè)的數(shù)據(jù)點數(shù)量大致相等，見圖1。

圖1 回歸直線和標準差平行四邊形圖

作兩條與a0b平行且等距的直線，使它們包含的數(shù)據(jù)點，剩余的點比較均勻地分布在兩條平行線外．這兩條平行線的方程為

這樣，在出現(xiàn)的(xi，yi)全部數(shù)據(jù)中，約有67% 的點落在這兩條直線之間的范圍內(nèi)［1］．

作cdef的對角線cf和ed，并延長，使之與y軸相交于m和n點．cf、de和a0b三條線的交點為平均值點。

2．2 求 sa1和 sa0

由式(5)、(9)和(12)有

將式(12)代入式(5)可得

這樣式(11)變?yōu)?/p>

令，式(14)可寫成

當測量次數(shù)k較大時，近似地有

從圖1中求出s、sx和xˉ便可計算sa1和sa0。

2．3 求相關系數(shù)γ

由(10)式得

將(13)式代入，得

令k－2=g，式(18)可寫成

k－1

由1圖可知，cf和ed的斜率分別為

由此求出

這樣有

再從圖1中可知

當測量次數(shù)k較大時，近似地有

3 舉 例

測得某銅-康銅熱電偶的溫差電動勢E與溫度t的對應數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 某銅-康銅熱電偶的溫差電動勢E與溫度t的對應關系

按表1數(shù)據(jù)作回歸直線，并作偏差平行四邊形及對角線，如圖1所示。

從圖中可得

表2是用Excel中的回歸方法和作圖法求這例線性回歸方程的數(shù)據(jù)比較。

表2 計算法和作圖法線性回歸方程的數(shù)據(jù)比較

作圖法與Excel的數(shù)據(jù)一致，作圖法的誤差主要是作圖時代入的，它因人不同而不同．作圖法中，回歸方程的系數(shù)a0和a1、相關系數(shù)γ和剩余標準誤差差s的誤差不大，系數(shù)標準差sa0和sa1的誤差較大，可能與作圖及誤差傳遞有關。

4 結(jié) 論

作圖法求解一元線性回歸方程概念清楚，圖像直觀，教學中有助于訓練作圖法處理物理實驗數(shù)據(jù)，更重要的是加深對線性回歸方程中最小二乘法、相關系數(shù)和標準差的理解。

［1］ 呂斯驊，段家怟．新編基礎物理實驗［M］．北京:高等教育出版社，2006．

［2］ 馮學超．Origin對物理實驗數(shù)據(jù)處理重要性的分析［J］．大學物理實驗，2013，26(1)．

［3］ 沈元華，陸申龍．基礎物理實驗［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［4］ 蔣逢春，馮學超．示波器測電容方法對比分析及數(shù)據(jù)處理［J］．大學物理實驗，2013，23(2)．

［5］ 姚列明．結(jié)構(gòu)化大學物理實驗［M］．北京:高等教育出版社，2009．