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      作圖法研究物理實驗數(shù)據(jù)處理中的線性回歸問題

      2014-07-03 09:44:34方曉懿薛濱杰
      大學物理實驗 2014年3期
      關鍵詞:作圖標準差回歸方程

      方曉懿,薛濱杰

      (成都理工大學,四川成都 610059)

      最小二乘法擬合直線是物理實驗中的常用數(shù)據(jù)處理方法,一般用計算機數(shù)據(jù)處理軟件準確求出直線回歸方程系數(shù)、相關系數(shù)、標準差以及不確定度等。教學中也常用用作圖法畫出直線并求出直線方程系數(shù),優(yōu)點是直觀方便,但現(xiàn)行教材中大多沒有給出其標準差和相關系數(shù)的計算方法。本文以銅-康銅熱電偶的溫差電動勢E測量為例,根據(jù)最小二乘法原理作回歸直線,根據(jù)標準差的概念作標準差平行四邊形,計算直線回歸方程標準差和相關系數(shù)[1-2]。

      1 用最小二乘法進行線性回歸

      假定變量x和y的關系是線性的,且y方向的誤差遠大于x方向的誤差,對測得的一組數(shù)據(jù)xi,yi(i=1,2,…,k),用最小二乘法進行線性回歸,可得直線的回歸方程[3]

      斜率為

      截距為

      其中,

      同樣,令

      定義相關系數(shù)為

      yi的剩余標準誤差差s為

      斜率a1和截距a0的標準差分別為為

      用Excel中的回歸方法可計算出回歸方程、相關系數(shù)、標準差及不確定度[4-5]。

      2 用作圖法研究一元線性回歸方程

      2.1 作回歸直線和標準差差平行四邊形

      如圖所示,在xoy平面上根據(jù)(xi,yi)描點,作直線a0b.根據(jù)最小二乘法,作出的直線a0b應使為最?。渲衴i和y分別為x=xi時的數(shù)據(jù)點和回歸直線a0b在y方向的值.顯然εi=yi-y等于數(shù)據(jù)點在y方向上離開a0b的距離.要使為最小,就要使以εi為邊長的正方形面積之和為最?。@樣,作a0b時,應使數(shù)據(jù)點盡可能地靠近a0b,并且在a0b兩側(cè)的數(shù)據(jù)點數(shù)量大致相等,見圖1。

      圖1 回歸直線和標準差平行四邊形圖

      作兩條與a0b平行且等距的直線,使它們包含的數(shù)據(jù)點,剩余的點比較均勻地分布在兩條平行線外.這兩條平行線的方程為

      這樣,在出現(xiàn)的(xi,yi)全部數(shù)據(jù)中,約有67% 的點落在這兩條直線之間的范圍內(nèi)[1].

      作cdef的對角線cf和ed,并延長,使之與y軸相交于m和n點.cf、de和a0b三條線的交點為平均值點。

      2.2 求 sa1和 sa0

      由式(5)、(9)和(12)有

      將式(12)代入式(5)可得

      這樣式(11)變?yōu)?/p>

      令,式(14)可寫成

      當測量次數(shù)k較大時,近似地有

      從圖1中求出s、sx和xˉ便可計算sa1和sa0。

      2.3 求相關系數(shù)γ

      由(10)式得

      將(13)式代入,得

      令k-2=g,式(18)可寫成

      k-1

      由1圖可知,cf和ed的斜率分別為

      由此求出

      這樣有

      再從圖1中可知

      當測量次數(shù)k較大時,近似地有

      3 舉 例

      測得某銅-康銅熱電偶的溫差電動勢E與溫度t的對應數(shù)據(jù)如表1所示。

      表1 某銅-康銅熱電偶的溫差電動勢E與溫度t的對應關系

      按表1數(shù)據(jù)作回歸直線,并作偏差平行四邊形及對角線,如圖1所示。

      從圖中可得

      表2是用Excel中的回歸方法和作圖法求這例線性回歸方程的數(shù)據(jù)比較。

      表2 計算法和作圖法線性回歸方程的數(shù)據(jù)比較

      作圖法與Excel的數(shù)據(jù)一致,作圖法的誤差主要是作圖時代入的,它因人不同而不同.作圖法中,回歸方程的系數(shù)a0和a1、相關系數(shù)γ和剩余標準誤差差s的誤差不大,系數(shù)標準差sa0和sa1的誤差較大,可能與作圖及誤差傳遞有關。

      4 結(jié) 論

      作圖法求解一元線性回歸方程概念清楚,圖像直觀,教學中有助于訓練作圖法處理物理實驗數(shù)據(jù),更重要的是加深對線性回歸方程中最小二乘法、相關系數(shù)和標準差的理解。

      [1] 呂斯驊,段家怟.新編基礎物理實驗[M].北京:高等教育出版社,2006.

      [2] 馮學超.Origin對物理實驗數(shù)據(jù)處理重要性的分析[J].大學物理實驗,2013,26(1).

      [3] 沈元華,陸申龍.基礎物理實驗[M].北京:高等教育出版社,2003.

      [4] 蔣逢春,馮學超.示波器測電容方法對比分析及數(shù)據(jù)處理[J].大學物理實驗,2013,23(2).

      [5] 姚列明.結(jié)構(gòu)化大學物理實驗[M].北京:高等教育出版社,2009.

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