淺談洛朗定理與留數(shù)定理的關(guān)系

岳紅云++劉宏超

摘 要：本文通過對洛朗定理與留數(shù)定理的比較，發(fā)現(xiàn)它們雖然都能進(jìn)行積分計(jì)算，但存在復(fù)雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結(jié)論，洛朗定理是留數(shù)定理進(jìn)行積分計(jì)算的本質(zhì)和保證，留數(shù)定理是洛朗定理進(jìn)行積分計(jì)算的方便應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：洛朗定理 留數(shù)定理 積分計(jì)算

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0091-01

洛朗定理：設(shè)在圓環(huán)域 內(nèi)處處解析，那么，其中，.特別的，令，計(jì)算沿的積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展式中的系數(shù)。

留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，是內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，那么，其中，為在

內(nèi)的洛朗展式中的系數(shù)。

1 問題

洛朗定理是級數(shù)理論的重要內(nèi)容，留數(shù)定理是積分理論的的重要內(nèi)容，兩個(gè)定理都可以計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分，它們之間有什么關(guān)系？初學(xué)者往往對此問題感到困惑，這影響了復(fù)變函數(shù)理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復(fù)變函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容——積分的計(jì)算有清晰明了的認(rèn)識，接下來就通過一個(gè)例題來說明這兩個(gè)定理是如何進(jìn)行積分計(jì)算的。

2 例題

例：計(jì)算積分，其中為正向圓周。

解法1：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)有，，故其在內(nèi)解析，且在此圓環(huán)域內(nèi)，所以被積函數(shù)在此圓環(huán)域內(nèi)洛朗展式的的系數(shù)乘以即為所求的積分值。

，

由此可見，故

。

解法2：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)有，，將圓環(huán)域換成，函數(shù)仍解析，在此圓環(huán)域內(nèi)，同理可得，

，

，

由此可見，故

。

法3：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)有，，都在內(nèi)，計(jì)算

，

，

故由留數(shù)定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進(jìn)行積分的計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是找到被積函數(shù)解析的圓環(huán)域，這可以通過討論被積函數(shù)的奇點(diǎn)就不難確定，但需要找到的圓環(huán)域包含閉曲線，這就不是一件容易的事，初學(xué)者往往很頭疼。當(dāng)然，只要找到了這樣的圓環(huán)域，就可以把函數(shù)進(jìn)行洛朗展開尋找其系數(shù)就行了；而利用留數(shù)定理進(jìn)行積分的計(jì)算則需要兩步，第一步需要找到內(nèi)所有有限奇點(diǎn)，第二步計(jì)算留數(shù)，當(dāng)然留數(shù)的計(jì)算仍需要在奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)對函數(shù)進(jìn)行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數(shù)定理要繞彎，但實(shí)質(zhì)上，由于尋找函數(shù)的洛朗展開的解析區(qū)域并不容易，而且不確定是那個(gè)區(qū)域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計(jì)算積分并不常用；而留數(shù)定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數(shù)，但都是在奇點(diǎn)的去心鄰域展開的，是確定的區(qū)域，而且還可以發(fā)展延伸出更方便、快捷的計(jì)算方法，由于其有規(guī)范明確的程序化步驟可循，使得留數(shù)定理在積分的計(jì)算中易于大家掌握，從而起到了主導(dǎo)的地位。

3 結(jié)論

由以上兩定理可得，，所以留數(shù)定理是將洛朗定理中的求法簡化，細(xì)化為內(nèi)每一個(gè)孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和，它們的實(shí)質(zhì)是一致的，歸根到底，都是利用函數(shù)的洛朗展式進(jìn)行積分的計(jì)算，所以洛朗定理是復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，洛朗定理是留數(shù)定理進(jìn)行積分計(jì)算的本質(zhì)和保證，而留數(shù)定理使洛朗定理進(jìn)行積分計(jì)算的方便應(yīng)用，沒有洛朗定理，就沒有留數(shù)定理，就沒有復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算，而沒有留數(shù)定理，就沒有復(fù)變函數(shù)積分的廣泛應(yīng)用。

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因?yàn)楹瘮?shù)在閉曲線內(nèi)處處解析，故只能在解析點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開，無負(fù)冪項(xiàng)，即，故。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 陸慶樂，王綿森.復(fù)變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.endprint

摘 要：本文通過對洛朗定理與留數(shù)定理的比較，發(fā)現(xiàn)它們雖然都能進(jìn)行積分計(jì)算，但存在復(fù)雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結(jié)論，洛朗定理是留數(shù)定理進(jìn)行積分計(jì)算的本質(zhì)和保證，留數(shù)定理是洛朗定理進(jìn)行積分計(jì)算的方便應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：洛朗定理 留數(shù)定理 積分計(jì)算

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0091-01

洛朗定理：設(shè)在圓環(huán)域 內(nèi)處處解析，那么，其中，.特別的，令，計(jì)算沿的積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展式中的系數(shù)。

留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，是內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，那么，其中，為在

內(nèi)的洛朗展式中的系數(shù)。

1 問題

洛朗定理是級數(shù)理論的重要內(nèi)容，留數(shù)定理是積分理論的的重要內(nèi)容，兩個(gè)定理都可以計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分，它們之間有什么關(guān)系？初學(xué)者往往對此問題感到困惑，這影響了復(fù)變函數(shù)理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復(fù)變函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容——積分的計(jì)算有清晰明了的認(rèn)識，接下來就通過一個(gè)例題來說明這兩個(gè)定理是如何進(jìn)行積分計(jì)算的。

2 例題

例：計(jì)算積分，其中為正向圓周。

解法1：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)有，，故其在內(nèi)解析，且在此圓環(huán)域內(nèi)，所以被積函數(shù)在此圓環(huán)域內(nèi)洛朗展式的的系數(shù)乘以即為所求的積分值。

，

由此可見，故

。

解法2：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)有，，將圓環(huán)域換成，函數(shù)仍解析，在此圓環(huán)域內(nèi)，同理可得，

，

，

由此可見，故

。

法3：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)有，，都在內(nèi)，計(jì)算

，

，

故由留數(shù)定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進(jìn)行積分的計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是找到被積函數(shù)解析的圓環(huán)域，這可以通過討論被積函數(shù)的奇點(diǎn)就不難確定，但需要找到的圓環(huán)域包含閉曲線，這就不是一件容易的事，初學(xué)者往往很頭疼。當(dāng)然，只要找到了這樣的圓環(huán)域，就可以把函數(shù)進(jìn)行洛朗展開尋找其系數(shù)就行了；而利用留數(shù)定理進(jìn)行積分的計(jì)算則需要兩步，第一步需要找到內(nèi)所有有限奇點(diǎn)，第二步計(jì)算留數(shù)，當(dāng)然留數(shù)的計(jì)算仍需要在奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)對函數(shù)進(jìn)行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數(shù)定理要繞彎，但實(shí)質(zhì)上，由于尋找函數(shù)的洛朗展開的解析區(qū)域并不容易，而且不確定是那個(gè)區(qū)域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計(jì)算積分并不常用；而留數(shù)定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數(shù)，但都是在奇點(diǎn)的去心鄰域展開的，是確定的區(qū)域，而且還可以發(fā)展延伸出更方便、快捷的計(jì)算方法，由于其有規(guī)范明確的程序化步驟可循，使得留數(shù)定理在積分的計(jì)算中易于大家掌握，從而起到了主導(dǎo)的地位。

3 結(jié)論

由以上兩定理可得，，所以留數(shù)定理是將洛朗定理中的求法簡化，細(xì)化為內(nèi)每一個(gè)孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和，它們的實(shí)質(zhì)是一致的，歸根到底，都是利用函數(shù)的洛朗展式進(jìn)行積分的計(jì)算，所以洛朗定理是復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，洛朗定理是留數(shù)定理進(jìn)行積分計(jì)算的本質(zhì)和保證，而留數(shù)定理使洛朗定理進(jìn)行積分計(jì)算的方便應(yīng)用，沒有洛朗定理，就沒有留數(shù)定理，就沒有復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算，而沒有留數(shù)定理，就沒有復(fù)變函數(shù)積分的廣泛應(yīng)用。

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因?yàn)楹瘮?shù)在閉曲線內(nèi)處處解析，故只能在解析點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開，無負(fù)冪項(xiàng)，即，故。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 陸慶樂，王綿森.復(fù)變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.endprint

摘 要：本文通過對洛朗定理與留數(shù)定理的比較，發(fā)現(xiàn)它們雖然都能進(jìn)行積分計(jì)算，但存在復(fù)雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結(jié)論，洛朗定理是留數(shù)定理進(jìn)行積分計(jì)算的本質(zhì)和保證，留數(shù)定理是洛朗定理進(jìn)行積分計(jì)算的方便應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：洛朗定理 留數(shù)定理 積分計(jì)算

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0091-01

洛朗定理：設(shè)在圓環(huán)域 內(nèi)處處解析，那么，其中，.特別的，令，計(jì)算沿的積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展式中的系數(shù)。

留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，是內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，那么，其中，為在

內(nèi)的洛朗展式中的系數(shù)。

1 問題

洛朗定理是級數(shù)理論的重要內(nèi)容，留數(shù)定理是積分理論的的重要內(nèi)容，兩個(gè)定理都可以計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分，它們之間有什么關(guān)系？初學(xué)者往往對此問題感到困惑，這影響了復(fù)變函數(shù)理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復(fù)變函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容——積分的計(jì)算有清晰明了的認(rèn)識，接下來就通過一個(gè)例題來說明這兩個(gè)定理是如何進(jìn)行積分計(jì)算的。

2 例題

例：計(jì)算積分，其中為正向圓周。

解法1：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)有，，故其在內(nèi)解析，且在此圓環(huán)域內(nèi)，所以被積函數(shù)在此圓環(huán)域內(nèi)洛朗展式的的系數(shù)乘以即為所求的積分值。

，

由此可見，故

。

解法2：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)有，，將圓環(huán)域換成，函數(shù)仍解析，在此圓環(huán)域內(nèi)，同理可得，

，

，

由此可見，故

。

法3：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)有，，都在內(nèi)，計(jì)算

，

，

故由留數(shù)定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進(jìn)行積分的計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是找到被積函數(shù)解析的圓環(huán)域，這可以通過討論被積函數(shù)的奇點(diǎn)就不難確定，但需要找到的圓環(huán)域包含閉曲線，這就不是一件容易的事，初學(xué)者往往很頭疼。當(dāng)然，只要找到了這樣的圓環(huán)域，就可以把函數(shù)進(jìn)行洛朗展開尋找其系數(shù)就行了；而利用留數(shù)定理進(jìn)行積分的計(jì)算則需要兩步，第一步需要找到內(nèi)所有有限奇點(diǎn)，第二步計(jì)算留數(shù)，當(dāng)然留數(shù)的計(jì)算仍需要在奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)對函數(shù)進(jìn)行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數(shù)定理要繞彎，但實(shí)質(zhì)上，由于尋找函數(shù)的洛朗展開的解析區(qū)域并不容易，而且不確定是那個(gè)區(qū)域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計(jì)算積分并不常用；而留數(shù)定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數(shù)，但都是在奇點(diǎn)的去心鄰域展開的，是確定的區(qū)域，而且還可以發(fā)展延伸出更方便、快捷的計(jì)算方法，由于其有規(guī)范明確的程序化步驟可循，使得留數(shù)定理在積分的計(jì)算中易于大家掌握，從而起到了主導(dǎo)的地位。

3 結(jié)論

由以上兩定理可得，，所以留數(shù)定理是將洛朗定理中的求法簡化，細(xì)化為內(nèi)每一個(gè)孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和，它們的實(shí)質(zhì)是一致的，歸根到底，都是利用函數(shù)的洛朗展式進(jìn)行積分的計(jì)算，所以洛朗定理是復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，洛朗定理是留數(shù)定理進(jìn)行積分計(jì)算的本質(zhì)和保證，而留數(shù)定理使洛朗定理進(jìn)行積分計(jì)算的方便應(yīng)用，沒有洛朗定理，就沒有留數(shù)定理，就沒有復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算，而沒有留數(shù)定理，就沒有復(fù)變函數(shù)積分的廣泛應(yīng)用。

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因?yàn)楹瘮?shù)在閉曲線內(nèi)處處解析，故只能在解析點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開，無負(fù)冪項(xiàng)，即，故。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 陸慶樂，王綿森.復(fù)變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.endprint