傳輸線場、路模型的一致性探討

顏秋容

(華中科技大學電氣與電子工程學院，湖北武漢430074)

均勻傳輸線作為分布參數(shù)電路的代表，是“電路理論”的重要教學內(nèi)容[1-2]。同時，均勻傳輸線作為導行電磁波的例子，亦出現(xiàn)在“電磁場”的教材中[3-5]。均勻傳輸線這個工程應用中廣泛遇到的電磁問題，無疑可以采用電磁場理論來建立分析模型(以下稱為場模型)。在電磁場理論基礎上、加上集中參數(shù)假設的電路理論，通過微分元電路，也建立了均勻傳輸線的分析模型(以下稱為路模型)。

我國高校對均勻傳輸線的教學處理有兩種方法:將其放在“電路理論”課程中，或將其放在“電磁場”課程中。一般而言，涉及電力系統(tǒng)電能傳輸?shù)膶I(yè)，均勻傳輸線的教學內(nèi)容放在“電路理論”課程中，而如通信、電子等與電磁波傳播相關的專業(yè)，其教學內(nèi)容放在“電磁場”課程中。

美國的“電路理論”教材中少見均勻傳輸線內(nèi)容[6-8]，而“電磁場”教材中一般包含均勻傳輸線分析內(nèi)容[2，3]。但是，多數(shù)“電磁場”教材在建立均勻傳輸線分析模型時，還是借用了路的方法。少數(shù)教材用場的方法建立均勻傳輸線分析模型時，僅針對無損耗均勻傳輸線，因為若考慮導體損耗，基于麥克斯韋方程的模型將過于復雜。

通過場、路方法建立的模型之間如何關聯(lián)，各自得出的傳播特性參數(shù)之間的一致性如何，是本文研究的問題。無論是在“電路理論”課程、還是在“電磁場”課程中講授均勻傳輸線內(nèi)容，有利于學生比較深刻理解傳輸線的傳播特性參數(shù)、掌握影響傳播特性的因素。

1 均勻傳輸線的場模型

1.1 電磁場的基本方程

線性和各向同性媒質中的電磁場問題，可通過麥克斯韋方程組表達加上如下媒質特性方程和邊界銜接條件:

上述方程中:D和E分別為電位移矢量和電場強度矢量;B和H分別為磁感應強度矢量和磁場強度矢量;J為電流密度矢量;v為運流電荷速度矢量;ε、μ、σ、ρ分別為介電常數(shù)、磁導率、電導率和電荷密度。

1.2 自由空間中理想導體傳輸線的方程

自由空間中理想導體構成的均勻傳輸線如圖1所示，也就是電路理論中的無損耗線。

圖1 均勻傳輸線

由于幾何尺寸d=l，故x方向的電磁輻射可以忽略。又由于導體和周圍媒質均不消耗能量，因此電源提供的能量全部傳輸?shù)截撦d，坡印亭矢量為z方向。兩線之間的電磁場為E=-Exex，H=-Hyey。結合式(1)、(2)及式(5)、(6)，得到傳輸線方程為

式中，ε0、μ0分別為自由空間的介電常數(shù)、磁導率。由上式得到波動方程為

正弦穩(wěn)態(tài)下，上式變?yōu)?/p>

1.3 媒質空間中理想導體傳輸線的方程

設非理想媒質的電導率為σ，媒質中的傳導電流 J=Jxex= σExex，結合式(1)、(2)和式(5)、(6)，得到傳輸線方程:

由上式得到波動方程:

正弦穩(wěn)態(tài)下，上式變?yōu)?/p>

由此解得

波阻抗為

波速為

式(13)～(15)實質上是電磁波在媒質空間中的傳播特性參數(shù)。當σ=0時，由式(13)～(15)得到:α=0與1.2節(jié)中無損耗線的結果相同。

當信號頻率高到使σ/ωε=1時，則式(13)～(15)也變成以上結果，本質上是傳導電流相對于位移電流可以忽略。

1.4 媒質空間中非理想導體傳輸線的方程

對于理想導體，電導率σc=∞，電流沿導體表面流動，導體內(nèi)部電場和磁場均為零。當導體非理想時，電磁能量從導體周圍進入導體內(nèi)部，轉換為內(nèi)部的焦耳熱、電場能和磁場能。坡印亭矢量不再僅為z方向分量，兩線之間的電場除了x方向分量外，還有z方向分量。因此，不易獲得麥克斯韋方程的解，不宜從場的角度來分析。

2 均勻傳輸線的路模型

在忽略電場z方向分量的前提下(當導體的電導率σ足夠大時成立)，兩線間媒質中的傳導電流、位移電流分別用單位長度電導G、單位長度電容C表示，導體內(nèi)部的焦耳熱用單位長度電阻R表示，導體周圍空間和內(nèi)部的磁場能用單位長度電感L表示，得到圖2所示傳輸線的微分元電路模型。該模型既考慮了媒質的損耗，也考慮了導體本身的損耗。且通過電感L考慮導體內(nèi)部的磁場儲能，L是內(nèi)自感和外自感的綜合，內(nèi)自感對應于導體內(nèi)部的磁場，外自感對應于導體外部媒質空間的磁場。

圖2 均勻傳輸線的微分元電路

上式即是傳輸線的路模型。正弦穩(wěn)態(tài)下，由上式獲得

其中，γ =(R+jωL)(G+jωC)= α +jβ 為傳播系數(shù)，可解得

求解式(17)可得波阻抗

式(18)～(20)是由均勻傳輸線路模型獲得的傳播特性參數(shù)。

3 場模型和路模型的一致性

本節(jié)以平行雙傳輸線為例來探討場、路模型的一致性。對于導體半徑為a、兩線中心間距為d的均勻傳輸線，由電磁場理論求得原始參數(shù)如下:

3.1 媒質空間中理想導體傳輸線模型的一致性

媒質空間中，由理想導體構成的傳輸線，在路模型中對應于R=0，且由于導體內(nèi)部沒有磁場，內(nèi)電感為零，即由式(22)得

L=Lout=(μ/π)In(d－a)/a

由此，式(18)～(20)簡化為

將平行雙傳輸線的原始參數(shù)代入式(25)～(27)，便得到式(13)～(14)的 結果。

3.2 自由空間中理想導體傳輸線模型的一致性

自由空間中理想導體傳輸線，在路模型中對應于R=0=G，且內(nèi)自感為零。由此，式(18)～(20)間化為

將平行雙傳輸線的原始參數(shù)表達式代入式(29)～(30)，得到這就是無損耗線的傳播特性參數(shù)，與1.2節(jié)的結論一致。

4 傳輸線、媒質傳播特性參數(shù)的差異

對場、路模型一致性的分析，有利于深刻理解傳輸線的傳播特性。僅當導體為理想導體時，傳輸線的傳播特性才與周圍媒質的傳播特性相同。由于不存在理想導體，因此，傳輸線的傳播特性和媒質的傳播特性存在差別。例如:

(1)波阻抗:自由空間中電磁波的波阻抗Zc=而據(jù)式(14)媒質中，電磁波的波阻抗

式中，εr，μr為相對介電路常數(shù)和磁導數(shù)。通常μr≈1、εr＞1，故|Zc|＜377Ω。而對于傳輸線，由式(20)可知，非理想導體使得傳輸線的波阻抗模值高于相應媒質中電磁波的波阻抗模值(因為R≠0，L要包含內(nèi)自感)。因此，架空線的波阻抗模值不一定低于377Ω。

(2)波速:自由空間中電磁波的波速為vp=ω/β)，這也是無損耗傳輸線的波速。據(jù)式(15)，媒質空間中電磁波的波速為

媒質的εr和σ/ωε共同影響波速，這兩個值越大，波速比c小得越多。這個結論顯然也適用于理想導體構成的傳輸線。

由式(19)可知，非理想導體傳輸線的波速還與傳輸線的電阻和電感相關。為了分析導體的電阻對波速的影響，對式(19)令G=0，即分析自由空間中非理想導體傳輸線，此時

顯然，R越大(L也因此加大)，則β越大，導致vp變小。綜上所述，有損耗傳輸線的vp一定小于無損耗傳輸線的vp，來源于媒質的損耗以及導體的損耗均降低了傳輸線的波速。

因此，傳輸線的波速不僅僅由媒質決定，而是由導體、媒質共同決定。同是架空線，由于導體類型不同，波速也會不同。

5 結語

(1)本文用電磁場理論和電路理論兩種方法建立均勻傳輸線分析模型，論證了兩種模型的一致性。

(2)本文從場和路兩方面剖析傳輸線傳播特性與其周圍媒質傳播特性的差異、以及影響傳輸線傳播特性的因素。

(3)本文的分析進一步明確:媒質中電磁波波阻抗的模值不高于377Ω，而傳輸線波阻抗的模值可以高于377Ω;傳輸線的波速由導體、媒質共同決定。

(4)本文的研究，有利于從事電路理論和電磁場理論教學的教師加深對傳輸線傳播特性參數(shù)的理解。

[1]顏秋容，譚丹主編.電路理論[M].北京:電子工業(yè)出版社，2009.

[2]邱關源，羅先覺主編.電路，第四版[M].北京:高等教育出版社，1999.

[3]馮慈璋主編.電磁場，第二版[M].北京:高等教育出版社，1983.

[4]William H.Hayt.Jr.，John A.Buck.Engineering Electromagnetics，Sixth Edition[M].New York:McGraw-Hill Company，2001.

[5]Mathew N.O.sadiku.Elements of Electromagnetics[M].New York:Oxford University Press，2011.

[6]Charles K.Alexander，Matthew N.O.Sadiku.Fundamentals of Electric Circuits[M].北京:清華大學出版社影印，2000.

[7]James W.Nilsson，Susan A.Ricdel.Electric Circuits，Ninth E-dition[M].北京:電子工業(yè)出版社影印，2011.

[8]William H.Hayt，Jack E.Kemmerty，Steven M.Durbin.Engineering Circuit Analysis，Sixth Edition[M].New York:McGraw-Hill Company，2002.