本穩(wěn)定性準(zhǔn)則（25）中，僅用μ－v曲線

的斜率μ′st不能確定摩擦振動穩(wěn)定性。按由于紙基材料法向位移波動（對LHS第二項）甚至μ′st＞0造成負(fù)阻尼變成系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，反之，采用降低該負(fù)阻尼同時有可能增加穩(wěn)定性。一低的摩擦系數(shù)μst，一小的法向力Nst和高的振動頻率ω對摩擦振動得出高的穩(wěn)定性結(jié)果。Nst和ω的影響已經(jīng)被實驗證實。作為對材料特性的影響，gz和ηz在LHS第二項應(yīng)是較低的，因為對上述標(biāo)準(zhǔn)狀況，我們估計ωηz／gz＝3.9×10－7?1。觀察式（6），增大紙基材料的孔隙率α和減少潤滑油的粒度模量Kf預(yù)期和減少紙質(zhì)材料的剪切模量G一樣是有效的。在另一方面，提供ωηz很小，僅在式（7）中出現(xiàn)的參量（β，ρs，ρf，ηf）幾乎對摩擦振動沒有影響。在圖6（c）—（f）中，各個別參數(shù)對臨界速度的影響似乎在進(jìn)行實驗的小的范圍內(nèi)（關(guān)于（e）和（f）參數(shù)是不變的），但用本理論的計算結(jié)果表示，G，α和Kf改變，用代數(shù)學(xué)估算該臨界速度具有很大的影響（分別見圖6（c）（d）（e））。

5 結(jié)論

一摩擦振動模型，它具有除一切向外的法向自由度，建議用一由質(zhì)量m，一個阻尼器c和一彈簧k組成的集合單自由度系統(tǒng)，用來表示試驗裝置的動態(tài)特性，用一由粘性液體充滿的多孔彈性體，表示含潤滑油的紙基材料。該模型振動采取在這樣的方向，即法向和切向振動相位，其幅值成比例。提出了一新的摩擦振動理論，同時考慮到紙基材料的變形和潤滑油流動。當(dāng)和實驗找到的穩(wěn)定性極限比較時，發(fā)現(xiàn)常規(guī)的理論不能給出正確的穩(wěn)定性極限，而本理論獲得的穩(wěn)定性極限可與實驗吻合，并定性地考慮到各參量的影響。為使系統(tǒng)對摩擦振動更加穩(wěn)定，該紙基材料的彈性模量應(yīng)較低，這點已被實驗和理論證實。此外，由理論研究預(yù)期，紙基材料的多孔性應(yīng)增大，潤滑油的粒度模數(shù)應(yīng)較低。（谷雨譯自 Transactions of the ASME July 1996，Vol.118）

圖6 各參量對臨界速度的影響Fig.6 Influence of each parameter on critical velocity

感謝

作者對支持實驗的Tonen公司，NSK－Waner K.K.和Sany Denki有限公司和Toyota物理和化學(xué)研究所的幫助表示感謝。

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附錄A APPENDIX A

用符ω′表示法向振動頻率，式（14）和式（15）變成以下形式：

可以按式（23）形式計算提供給動態(tài)系統(tǒng)的時間平均功率pz為

式中

如果ω′≠0，RHS的第二項為零.

附錄B APPENDIX B

依據(jù)波動公式對擴(kuò)大的波動導(dǎo)出法向Voigt體的動態(tài)響應(yīng)，當(dāng)考慮在z向平面波增生時，Voigt體任意位置的法向位移uz（z，t）表示如下：

給定指數(shù)性的衰減波uz（z，t）表示為以下形式：

用邊界條件解式（31）：

在這樣情況，用式（12）給出Voigt體的壓縮變形uz0，求得Voigt體的法向應(yīng)力σzz如下：

表面法向力N（t）表示如下：

假定Voigt體的厚度T大大小于產(chǎn)生波的波長：

按式（14）可求得 N（t）.

名稱符號 Nomenclature

本文表明由摩擦造成的扭轉(zhuǎn)振動采用一線性振動系統(tǒng)模型，同一符號有時代表兩系統(tǒng)不同的量，在這種情況，表示扭振系統(tǒng)的量示于［］內(nèi)。

A＝接觸面積［接觸面積×名義半徑］contact area［contract area×mean radius］

c＝檢測系統(tǒng)摩擦力［轉(zhuǎn)矩］的阻尼damping of the frictional force［torque］detection system

F＝摩擦力［轉(zhuǎn)矩］frictional force［torque］

f＝摩擦振動的頻率frequency of the frictional vibration

G＝紙基材料的剪切模量shear modulus of the paper material

gx，gz＝Voigt體縱向壓縮剪切彈性模量elas－tic modulus in shear，in longitudinal compression of the Voigt body

Kf＝潤滑油粒度模量bulk modulus of the lubricant

k＝檢測系統(tǒng)摩擦力［轉(zhuǎn)矩］剛度stiffness of the frictional force［torque］detection system

m＝檢測系統(tǒng)摩擦力［轉(zhuǎn)矩］剛度質(zhì)量［慣性矩］mass［moment of inertia］of the frictional force［torque］detection system

N＝法向力［法向力×名義半徑］normal force［normal force×mean radius］

nv＝由于滑動速度波動在臨界狀態(tài)負(fù)阻尼negative damping in the critical state due to the fluctuation of the sliding velocity

μ＝摩擦系數(shù)friction coefficient

ξ＝檢測系統(tǒng)摩擦力［轉(zhuǎn)矩］切向位移［角位移］tangential displacement［angular displacement］of the frictional force［torque］detection system

ρ＝Voigt體密度density of the Voigt body

ρf，ρs＝紙基材料潤滑油密度 density of the lubricant，of the paper material

σzz＝Voigt體法向應(yīng)力normal stress in the Voigt body

τzx＝Voigt體剪切應(yīng)力shear stress in the Voigt body

φ＝法向振動和切向振動間相位角（見圖（13））phase angle between the normal vibration and the tangential vibration（see Eq.（13））

ω＝摩擦振動角頻率angular frequency of the frictional vibration

p＝接觸壓力contact pressure

r＝法向振動與切向振動的振幅比amplitude ratio of the normal vibration to the tangential vibration（see Eq.（21））

T＝紙基材料厚度thickness of the paper material

t＝時間time

ux，uz＝Voigt體切向、法向位移tangential，normal displacement of the Voigt body

v＝滑動速度［角速度］sliding velocity［angular velocity］

x＝Voigt體切向座標(biāo)tangential coordinate in the Voigt body

z＝Voigt體法向座標(biāo)normal coordinate in the Voigt body

α＝紙基材料多孔性porosity of the paper material

β＝紙基材料Darcy滲透性Darcy’s permeability of the paper material

ζ＝檢測系統(tǒng)摩擦力［轉(zhuǎn)矩］法向位移normal displacement of the frictional force［torque］detection system

ηf＝潤滑油粘度viscosity of the lubricant

ηx，ηz＝Voigt體縱向壓縮剪切粘性模量viscous modulus in shear，in longitudinal compression of the Voigt body

κ＝指數(shù)性衰減波的角波動數(shù)angular wave number of the exponentially attenuated wave

Λ＝Voigt體Lame模量 Lame’s modulus of the Voigt body

腳注Subscripts

crit概指摩擦振動發(fā)生的臨界狀態(tài)（穩(wěn)定極限）denotes the critical state of frictional vibration generation（stability limit）

st概指穩(wěn)定狀態(tài)denotes the steady state

0概指Voigt體表面denotes the surface of the Voigt body

其它符號Othersymbols

Δ概指復(fù)式振幅denotes the complex amplitude

｜概指振幅denotes the amplitude