鄒建武，賈興亮，高明哲，董巍

（1.海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊(duì)，山東煙臺(tái)264001；2.海軍裝備部西安局，蘭州730070；3.海軍司令部航空兵部，北京100071）

用于雷達(dá)方位超分辨的約束迭代Tikhonov正則化算法

鄒建武1，賈興亮2，高明哲1，董巍3

（1.海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊(duì)，山東煙臺(tái)264001；2.海軍裝備部西安局，蘭州730070；3.海軍司令部航空兵部，北京100071）

針對(duì)Tikhonov正則化算法噪聲適應(yīng)能力差和不便于引進(jìn)額外的約束對(duì)解進(jìn)行限制等缺點(diǎn)，利用迭代Tikhonov正則化算法對(duì)雷達(dá)方位超分辨進(jìn)行研究，證明了迭代Tikhonov正則化反卷積公式的收斂性，分析了迭代Tikhonov正則化算法的頻域性質(zhì)，在存在噪聲的情況下，提出相應(yīng)的噪聲抑制方法，得到約束迭代Tikhonov正則化算法。針對(duì)不同信噪比情況進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，與迭代Tikhonov正則化算法相比，約束迭代Tikhonov正則化算法具有較強(qiáng)的噪聲適應(yīng)能力，與常用的約束迭代方法（CID）算法相比，具有較快的收斂速度，初步驗(yàn)證了算法的有效性。

超分辨；迭代Tikhonov正則化；迭代算法；反卷積

雷達(dá)方位超分辨就是在不改變雷達(dá)工作體制前提下，利用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)分辨同一雷達(dá)波束內(nèi)的幾個(gè)等距目標(biāo)。一直以來，雷達(dá)的方位分辨力受限于發(fā)射波的頻率和天線孔徑大小，因而尋找改善方位分辨力的新方法尤為迫切。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此問題展開了廣泛深入的研究，主要的方位超分辨方法有：迭代反卷積法、Richardson-Lucy算法、廣義逆濾波法和維納逆濾波算法等[1-9]。

文獻(xiàn)[1]提出了一種約束迭代方法（CID）和一種快速迭代算法（FCID），在特定情況下，方位分辨力改善了4倍。劉瑞冬等[2]分析并仿真對(duì)比了CID算法和FCID算法的超分辨性能，提出了FCID-CID算法，該算法既減小了算法的運(yùn)算量，又能抑制噪聲偽峰，并且放寬了FCID迭代次數(shù)的估計(jì)要求。Jinchen Guan等[3]利用基于最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則的迭代算法對(duì)方位超分辨進(jìn)行研究，在20dB的情況下，分辨力可提高5.3倍；文獻(xiàn)[4-5]利用基于Bayesian準(zhǔn)則的R-L算法實(shí)現(xiàn)了雷達(dá)方位超分辨，并對(duì)算法的超分辨性能進(jìn)行了深入研究，該算法在信噪比0dB條件下，方位分辨力提高2倍，但是上述2種方法均是基于噪聲分布為泊松分布的情況下。丁義元等[6]提出利用廣義逆濾波方法提高實(shí)孔徑雷達(dá)角分辨力，在低信噪比的條件下，有效地改善了實(shí)孔徑雷達(dá)的角分辨力，但時(shí)域計(jì)算較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[7-9]利用維納逆濾波算法對(duì)提高雷達(dá)方位角分辨力進(jìn)行了研究，在雷達(dá)回波信噪比大于30dB的情況下，該方法可實(shí)現(xiàn)方位超分辨，證明了維納逆濾波算法實(shí)現(xiàn)方位超分辨是可行的，但不適用于低信噪比條件。

本文首先建立雷達(dá)目標(biāo)的方位回波模型，針對(duì)Tikhonov正則化的缺點(diǎn)，利用迭代Tikhonov正則化算法對(duì)方位超分辨進(jìn)行研究，證明迭代公式的收斂性；分析算法的頻域性質(zhì)，針對(duì)噪聲對(duì)迭代算法的影響，給出迭代約束條件，以保證在雷達(dá)數(shù)據(jù)存在噪聲的條件下，得到目標(biāo)方位的理想近似解；最后，利用此算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真。結(jié)果表明，此約束迭代算法能在低信噪比條件下，具有區(qū)分相距半功率波束寬度內(nèi)的目標(biāo)的能力，與常用的約束迭代方法（CID）算法相比，具有較快的收斂速度。

1 雷達(dá)方位回波信號(hào)模型與反卷積的頻域解

此處忽略俯仰角，僅考慮方位角的變化。假設(shè)常規(guī)雷達(dá)在方位向上掃描，實(shí)孔徑雷達(dá)的方位回波信號(hào)表現(xiàn)為天線方向圖與目標(biāo)方位信息卷積。在非相參雷達(dá)系統(tǒng)中，只考慮雷達(dá)方位回波功率值。為方便討論，雷達(dá)目標(biāo)方位回波模型可以表示為

將式（1）轉(zhuǎn)換為矩陣—向量表達(dá)式：

y=H1x+n。（2）

式（2）中：

y=[y(1)y(2)…y(N+M-1)]T=y(θ)T；（3）

x=[x(1)x(2)…x(N)]T=x(θ)T；（4）

h(θ)=[h(1)h(2)…h(huán)(M)]（5）

對(duì)（1）做傅里葉變換可得

加性噪聲主要是接收機(jī)噪聲，本文主要考慮加性噪聲。加性噪聲在接收機(jī)通帶內(nèi)均可視為白噪聲。

鑒于天線系統(tǒng)的低通效應(yīng)，目標(biāo)方位信息的高頻成分被抑制或者丟失。在反卷積恢復(fù)信號(hào)高頻信息的過程中，由于會(huì)趨于無窮大，使噪聲的頻譜信息放大，導(dǎo)致X?() ω誤差過大，使得反卷積問題呈現(xiàn)病態(tài)，利用Tikhonov正則化算法法能緩解此病態(tài)性。此處，把X?()

ω或者其逆傅里葉變換形式稱為病態(tài)解。

2 約束迭代Tikhonov正則化算法

2.1 迭代Tikhonov正則化算法

式中，α＞0為正則化參數(shù)。

當(dāng)α選擇恰當(dāng)時(shí)，極小值點(diǎn)xα可以作為真實(shí)解的理想近似值[10]。

由文獻(xiàn)[10]可知，求解式（9）極小化問題等價(jià)于求解如下線性方程組：式（10）中：I為單位矩陣。正則化參數(shù)α對(duì)雷達(dá)超分辨問題的求解起著關(guān)鍵作用，當(dāng)α取得過小時(shí)，求取的解依然存在不穩(wěn)定的性質(zhì)；當(dāng)α取得過大時(shí)，求取的穩(wěn)定解過分光滑，又與真實(shí)解相差過大。因此，α的選取應(yīng)該兼顧這2種情況。α值得選取主要有先驗(yàn)和后驗(yàn)2類策略。

由于Tikhonov正則化算法噪聲適應(yīng)能力差和不便于引進(jìn)額外的約束對(duì)解進(jìn)行限制等缺點(diǎn)，我們利用Tikohonov迭代正則化方法對(duì)上述問題進(jìn)行求解，其頻域迭代形式如下：

當(dāng)k=1時(shí)，此算法變?yōu)門ikhonov正則化方法，針對(duì)式（11）可知，和是一組向量，由于α為一個(gè)正常數(shù)中的分量也是一個(gè)正數(shù)，所以，

于某一X。

2.2 迭代算法的頻域分析及噪聲影響分析

此處為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)雷達(dá)天線方向圖是高斯型，且H(ω)=e-ω2（1/H(ω)稱為逆濾波），將其代入上式即可得到迭代Tikhonov正則化算子

此算子隨著參數(shù)α和迭代次數(shù)n的變化如圖1和圖2所示。由圖1、2可知，正則化參數(shù)α的取值對(duì)其頻率響應(yīng)影響較大，此處α值選取過大，則每一步求取的解過于光滑；α值選取過小時(shí)，求取的解受到噪聲的較大影響，同而α值的選取受到天線方向圖函數(shù)的影響，因而要綜合考慮α的取值。迭代Tikhonov正則化算子具有壓制高頻信息，放大低、中頻信息的能力，但此時(shí)迭代Tikhonov正則化算子的分辨能力依然有限；隨著迭代次數(shù)n的增大，其高頻放大能力得到增強(qiáng)，迭代Tikhonov正則化算子的分辨能力變差。由于上述原因，在噪聲存在的情況下，利用迭代Tik-honov正則化算法求解時(shí)，低、中頻段的噪聲被放大，迭代解隨n的增大收斂于式（8）的病態(tài)解，而使得迭代Tikhonov算法不能分辨目標(biāo)。因此，在應(yīng)用該算法時(shí)，要考慮應(yīng)用相關(guān)的消除噪聲或抑制噪聲技術(shù)，對(duì)迭代過程中的解進(jìn)行約束，使其收斂于理想近似解。

圖1 迭代Tikhonov正則化算子頻域響應(yīng)曲線（n=1 000）Fig.1 Iteration Tikhonov regularization operator frequency response curve（n=1 000）

圖2 迭代Tikhonov正則化算子頻域響應(yīng)曲線（n=2 000）Fig.2 Iteration Tikhonov regularization operator frequency response curve（n=1 000）

2.3 約束迭代Tikhonov正則化算法

為抑制噪聲，在此處給出2種約束條件：正性約束條件和有界約束條件。實(shí)際雷達(dá)接收機(jī)處獲得實(shí)孔徑雷達(dá)回波信號(hào)是功率信息，具有非負(fù)性，因而在迭代計(jì)算中，回波信號(hào)滿足正性約束，定義P為正性算子[12]：

雷達(dá)波束掃描范圍內(nèi)的目標(biāo)的范圍是有界的，經(jīng)過波束掃描后得到的回波信號(hào)也是有界的；定義T為有界約束算子[12]：

將式（15）與式（16）代入式（11）可得

2.4 迭代終止條件

通常，很難確定用迭代算法得到的超分辨效果，本文提出利用誤差標(biāo)準(zhǔn)作為算法終止迭代條件，在有噪聲存在和迭代算法加上初值和約束條件的情況下，基于方位分辨結(jié)果趨于穩(wěn)定解的考慮，利用相鄰迭代次數(shù)得到的超分辨結(jié)果之間的誤差來判斷迭代是否終止。

式中：ε為誤差標(biāo)準(zhǔn)，此時(shí)的xk+1是式（17）中Xk+1(ω)的時(shí)域表現(xiàn)形式，因而，式（17）要得到具體的解析公式很困難。

當(dāng)dk＜ε時(shí)，迭代終止。迭代次數(shù)為k+1次；當(dāng)dk≥ε時(shí)，繼續(xù)迭代。

3 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

假設(shè)脈沖重復(fù)頻率為1 000Hz，掃描速度為100(°)/s，掃描范圍為-15°～15°，天線方向圖采用高斯模型，半功率波束寬度為4°，誤差標(biāo)準(zhǔn)ε=1×10-6；根據(jù)所采用的天線方向圖函數(shù)和經(jīng)驗(yàn)，取α=50；利用約束迭代Tikhonov正則化算法，在信噪比分別為0dB、10dB、20dB、30dB情況下，對(duì)間隔1/2半功率波束寬度的2個(gè)點(diǎn)目標(biāo)（分別位于-1°和1°）進(jìn)行了分辨，仿真結(jié)果如圖3~10所示。

圖3 信噪比0dB的目標(biāo)方位回波Fig.3 Target azimuthechoofSNR 0dB

圖4 信噪比0dB反卷積結(jié)果Fig.4 DeconvolutionresultsofSNR 0dB

圖5 信噪比10dB的目標(biāo)方位回波Fig.5 Target azimuthechoofSNR 10dB

圖6 信噪比10dB的反卷積結(jié)果Fig.6 Deconvolution results ofSNR 10dB

圖7 信噪比20dB的目標(biāo)方位回波Fig.7 Target azimuth echo ofSNR 20dB

圖8 信噪比20dB的反卷積結(jié)果Fig.8 Deconvolution results ofSNR 20dB

圖9 信噪比30dB的目標(biāo)方位回波Fig.9 Target azimuth echo ofSNR 30dB

圖10 信噪比30dB的反卷積結(jié)果Fig.10 Deconvolution results ofSNR 30dB

由圖3~10可知，在誤差標(biāo)準(zhǔn)下，經(jīng)過有效次迭代，約束迭代Tikhonov算法在高信噪比條件下分辨能力良好，隨著信噪比降低，雖然也能分辨目標(biāo)，但是分辨精度變差，甚至有時(shí)會(huì)出現(xiàn)虛假目標(biāo)，這是由于噪聲的隨機(jī)性過大所導(dǎo)致的。在仿真時(shí)，用此方法沒有出現(xiàn)所謂的“半收斂”現(xiàn)象（迭代早期階段，迭代解得到改進(jìn)，超過一定迭代次數(shù)，迭代解趨于發(fā)散）。為進(jìn)一步分析約束迭代Tikhonov正則化算法的性能，利用迭代Tikhonov正則化算法和CID算法與本文算法進(jìn)行比較。在同樣仿真參數(shù)、不同信噪比條件下，利用迭代Tikhonov正則化算法（算法1）、CID算法（算法2）和本文算法所能提高的最大分辨倍數(shù)見表1。

在同樣的仿真參數(shù)下，分別用3種算法對(duì)不同信噪比條件下的2個(gè)點(diǎn)目標(biāo)進(jìn)行分辨。由表1可知，3者隨信噪比的提高分辨能力改善；迭代Tikhonov正則化算法適用于信噪比較高的條件，在信噪比低于20dB時(shí)，失去分辨能力；而約束迭代Tikhonov正則化算法和CID算法適用信噪比較低的情況，約束迭代Tikhonov正則化算法和CID算法同屬于迭代反卷積算法，表達(dá)式也類似，雖約束迭代Tikhonov正則化算法在分辨能力上與CID算法稍差一點(diǎn)，但在收斂速度上占優(yōu)勢(shì)，2種算法在30 dB情況下分辨相隔1/2半功率波束寬度的2點(diǎn)目標(biāo)時(shí)，均方誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系對(duì)比線見圖11。由圖11可知，CID算法需較多的迭代次數(shù)才能使誤差達(dá)到約束迭代Tikhonov算法的相同程度。綜上所述，初步驗(yàn)證了本算法的有效性。

表1 3種算法的分辨性能Tab.1 Resolution performance of three algorithms

圖11 均方誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線Fig.11 Curve of the iteration number and MSE

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)Tikhonov正則化算法的缺點(diǎn)，利用迭代Tikhonov正則化算法對(duì)雷達(dá)方位超分辨進(jìn)行了研究。為了使算法能夠收斂到理想近似解，對(duì)算法賦予合適的約束條件。仿真表明：在迭代Tikhonov正則化算法不能分辨目標(biāo)的低信噪比條件下，所提新算法能實(shí)現(xiàn)雷達(dá)目標(biāo)方位分辨問題，且收斂速度優(yōu)于CID算法，初步驗(yàn)證了約束迭代Tikhonov正則化算法的有效性。目前主要不足在于有關(guān)α的取值還尚待進(jìn)一步研究。

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Constrained Iterative Tikhonov Regularization Algorithm for Radar Azimuth Super Resolutionn

ZOU Jian-wu1,JIA Xing-liang2,GAO Ming-zhe1,DONG Wei3
（1.Graduate Students'Brigade,NAAU,Yantai Shandong 264001,China;2.Xi'an Bureau of Naval Equipment Department, Lanzhou 730070,China;3.Aviation Department of Navy Headquaters,Beijing 100071,China）

An iterative Tikhonov regularization algorithm was used based on Tikhonov regularization algorithm,because of its poor noise adoptive ability and without introduction of additional constraints on the solutions.The convergence of the deconvolution formula was proved,the frequency domain characteristics was analyzed,the corresponding noise suppression methods was given,and the constrained iterative Tikhonov regularization algorithm was got.According to the different signal-to-noise ratio（SNR）,the computer simulation experiment was made.The result showed that,compared with iterative Tikhonov regularization algorithm,it had a strong noise adoptive ability,and it had a faster convergence speed,which verified the algorithm efficiency preliminarily.

super resolution;iterative Tikhonov regularization;iterative algorithm;deconvolution

TN959

A

1673-1522（2014）01-0033-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.01.008

2013-07-17；

2013-12-10

“泰山學(xué)者”建設(shè)工程專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目

鄒建武（1986-），男，博士生。