肖 勇，戴躍洪，張 睿，陳 易

(電子科技大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，成都 611731)

不確定微機電混沌系統(tǒng)的反演自適應(yīng)控制

肖 勇，戴躍洪，張 睿，陳 易

(電子科技大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，成都 611731)

簡單分析了靜電力驅(qū)動微機電諧振器的混沌特性，給出了系統(tǒng)位移隨電壓變化的分岔圖及典型的混沌吸引子。針對含有不確定的微機電混沌系統(tǒng)，結(jié)合反演與自適應(yīng)控制技術(shù)，提出了一種自適應(yīng)反演混沌控制策略。該策略通過自適應(yīng)方法在線估計系統(tǒng)中的不確定性，并通過反演控制來快速實現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。最后，通過仿真實例驗證了所提出的策略的有效性。

微機電系統(tǒng)；混沌；自適應(yīng)反演控制；不確定性

0 引言

微機電系統(tǒng)是由彈簧、電阻、電容、電感及阻尼器等非線性元器件構(gòu)成，是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)[1-3]。已經(jīng)有許多有關(guān)學(xué)者進(jìn)行了有關(guān)微機電系統(tǒng)的非線性動態(tài)行為研究，諸如微機電系統(tǒng)頻域響應(yīng)曲線的彎曲度及躍變現(xiàn)象等[4]?；煦缡欠蔷€性系統(tǒng)的一種特殊現(xiàn)象，它同樣存在于微機電系統(tǒng)中[5]。文獻(xiàn)[6]通過建模的方法來預(yù)測微機電系統(tǒng)中的混沌行為。文獻(xiàn)[7]分析了響應(yīng)共振條件下接近特定諧振分界線的微機電諧振系統(tǒng)的混沌運動。文獻(xiàn)[9]通過Mathieu方程來對微機電振蕩器進(jìn)行建模，并對其非線性混沌特性進(jìn)行了數(shù)字仿真與實驗研究。文獻(xiàn)[10]發(fā)現(xiàn)在開環(huán)和閉環(huán)的微機電懸臂梁系統(tǒng)中同樣存在混沌現(xiàn)象?；煦绗F(xiàn)象表現(xiàn)為對初始條件的敏感性和不可預(yù)測性，在許多實際場合是有害的，必須得到抑制。文獻(xiàn)[8]已成功將最優(yōu)反饋控制控制策略應(yīng)用于微機電諧振混沌系統(tǒng)，將其快速鎮(zhèn)定到期望的周期軌道。文獻(xiàn)[11]結(jié)合滑模控制與模糊控制，提出了一種存在不確定性的微機電系統(tǒng)諧振系統(tǒng)模糊滑?？刂撇呗?，該策略利用模糊方法在線估計系統(tǒng)的不確定性，并進(jìn)行實時反饋補償。文獻(xiàn)[12]將模糊控制與快速終端滑?？刂葡嘟Y(jié)合，利用快速終端滑模控制進(jìn)一步改善上文的相應(yīng)能力。文獻(xiàn)[13]成功將模糊控制與自適應(yīng)控制相結(jié)合，實現(xiàn)了微機電諧振混沌系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)鎮(zhèn)定控制。由于模糊控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且模糊規(guī)則的選擇對人類的經(jīng)驗具有較強的依賴性，因此，該方法在實際的物理系統(tǒng)應(yīng)用中有一定的難度。

針對含有不確定性的微機電諧振系統(tǒng)，綜合自適應(yīng)控制和反演控制的優(yōu)點，提出一種微機電諧振混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)反演控制方法。該方法利用自適應(yīng)控制來實現(xiàn)系統(tǒng)不確定性的在線估計，并通過反演控制來實現(xiàn)系統(tǒng)的快速鎮(zhèn)定。

1 系統(tǒng)描述

圖1 靜電力驅(qū)動微機械諧振器示意圖

圖1是靜電力驅(qū)動微機電系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。圖中，d代表的是微梁間距的初始寬度，z是橫梁的垂直偏移量。作用在諧振器上的交流驅(qū)動電壓和電極與諧振器之間直流偏置電壓一起產(chǎn)生靜電力驅(qū)動力。Vi=Vb+VAC·sinΩτ，其中Vb是直流偏置電壓，VAC和Ω分別是交流電壓幅值和頻率。

假設(shè)交流驅(qū)動電壓的幅值比偏置電壓小很多，根據(jù)動力學(xué)平衡方程，微機電系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為如下的無量綱運動方程：

(1)

系統(tǒng)(1)可表示為：

(2)

上述無量綱的MEMS諧振系統(tǒng)模型(2)是一個多變量的非線性系統(tǒng)，在一些特定的參數(shù)和工作條件下會出現(xiàn)復(fù)雜的混沌運動。例如，取α=1,β=12,γ=0.338,μ=0.01,Vb=3.8,ω=0.5，初始狀態(tài)為(x10,x20)=(0.01,0.1)，以交流電壓幅值VAC作為分岔參數(shù)[14]可作出MEMS諧振系統(tǒng)的二維相圖(圖2)和分岔圖(圖3)所示。從圖2可以看出，當(dāng)VAC=0.1時，系統(tǒng)做周期運動；當(dāng)VAC=0.15時，系統(tǒng)做準(zhǔn)周期運動；當(dāng)VAC=0.2時，系統(tǒng)做混沌運動。圖3是以VAC作為分岔參數(shù)，x1和x2作為分岔參數(shù)作出的分岔圖。

圖2 MEMS諧振器的相圖

圖3 MEMS諧振器的分叉圖

2 反演自適應(yīng)混沌控制

考慮具有如下形式的MEMS混沌系統(tǒng)：

(3)

式中：u是控制輸入，δf=Δf(x1,x2)，Δf(x1,x2)為一與系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2有關(guān)的不確定項，它表示系統(tǒng)中未建模動態(tài)或結(jié)構(gòu)的不確定性。一般假設(shè)此不確定項滿足條件：|Δf(y)|≤δ，δ為不確定上界，是一個正常數(shù)。

假設(shè)期望的軌跡為xr，下面設(shè)計反演自適應(yīng)混沌控制器，快速將狀態(tài)x1鎮(zhèn)定到期望軌跡xr，具體設(shè)計步驟如下：

又δf為不可確定的，故?。?/p>

則v3=-c1z12-c2z22≤0。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論可知，所設(shè)計的控制器是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3 仿真結(jié)果

為了驗證本文所提出的反演自適應(yīng)控制策略的有效性，對上述微機電諧振混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真。仿真中采用四階Runge-Kutta法，采樣時間Ts=0.01s，初始條件(x10,x20)=(0.01,0.1)，其參數(shù)同第二部分，不再累述。本文的目的是控制狀態(tài)位置使x其能夠跟蹤期望軌跡xr=0.2sin(0.5τ)。假定不確定元素Δf(x1,x2)=-0.05sin(x1)受條件|Δf(y1,y2)|≤ρ=0.05所約束。

控制器參數(shù)選擇如下：c1=10,c2=2,γ=5。控制輸入u在τ=200時起作用，圖4給出了受控MEMS諧振混沌系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)及控制輸入曲線。

圖4 控制作用前后MEMS諧振系統(tǒng)的 狀態(tài)響應(yīng)及控制輸入曲線

從圖4可以看出，未加入控制作用時，系處于混沌狀態(tài)，在τ=200時加入控制作用，系統(tǒng)能快速的跟蹤輸入信號。即使系統(tǒng)中存在不確定性，所提出的控制策略仍能有效實現(xiàn)輸入信號的跟蹤。

4 總結(jié)

靜電力驅(qū)動微諧振系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。本文首先對該系統(tǒng)的混沌特性進(jìn)行了簡單的分析與仿真，其次，針對含有不確定性的MEMS諧振混沌系統(tǒng)，提出了一種反演自適應(yīng)控制策略。該方法不但結(jié)構(gòu)簡單，相應(yīng)速度快，而且對系統(tǒng)的不確定性具有很強的魯棒性，能夠較好的滿足系統(tǒng)性能的要求。最后，通過仿真實例驗證了所提出的控制策略的有效性，具有一定的實際應(yīng)用價值。

[1] M. Roukes. Nanoeletromechanical systems face the future[J]. Phys. World, 2001,14:25.

[2] H. Xie, G.Fedder. Vertical comb-finger capacitive actuation and sensing for coms-MEMS[J]. Sensors Actuators, 2002,95: 212-221.

[3] M.I. Younis, A.H. Nayfeh. A study of the nonlinear response of a resonant microbeam to an electric actuation[J].Nonlinear Dynam., 2003,31:91-117.

[4] R.M.C. Mestrom, R.H.B. Fey, J.T.M. van Beek, K.L. Phan, H. Nijmeijer. Modeling the dynamics of a MEMS resonator: simulations and experiments[J]. Sensors Actuators, 2007,142: 306-315.

[5] Y.C. Wang, S.G. Adams, J.S. Thorp, N.C. MacDonald, P. Hartwell, F. Bertsch. Chaos in MEMS,parameter estimation and its potential application[J]. IEEE Trans. Circuits Syst., 1998,145:1013-1020.

[6] S.K. De, N.R. Aluru. Complex nonlinear oscillations in electrostatically actuated microstructures[J].Microelectromech. Syst., 2005,15:355-369.

[7] A. Luo, F.Y. Wang. Chaotic motion in a micro-electro-mechanical system with non-linearity from capacitors[J]. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2002,7:31-49.

[8] F.R. Chavarette, J.M. Balthazar, J.L.P. Felix, M. Rafikov. A reducing of a chaotic movement to a periodic orbit of a micro-electro-mechanical system by using an optimal linear control design[J]. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2009,14: 1844-1853.

[9] E.Barry, M. De, E. Butterfield, J.Moehlis, K. Turner, Chaos for a microelectromechanical oscillator governed by the nonlinear Mathieu equation[J]. J.Microelectromech. Syst., 2007, 16:1314-1323.

[10] S. Liu, A. Davidson, Q. Lin. Simulation studies on nonlinear dynamics and chaos in a MEMS cantilever control system[J]. J.Micromech. Microeng., 2004,14:1064-1073.

[11] H.T. Yau, C.L. Kuo, J.J. Yan. Fuzzy sliding mode control for a class of chaos synchronization with uncertainties[J]. Int.J.Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2006,7(2):333-338.

[12] C.L. Kuo. Design of an adaptive fuzzy sliding-mode controller for chaos synchronization[J]. Int.J.Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2007,8(4):631-636.

[13] H.X. Li, Z.H. Miao, E.S. Lee. Variable universe stable adaptive fuzzy control of a nonlinear system[J]. Comput. Math. Appl., 2002,44(5-6):799-815.

[14] H.H. Haghighi, A.H.D. Markazi. Chaos prediction and control in MEMS resonators[J]. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2010,15(10):3091-3099.

[15] V.I. Utkin. Sliding Modes in Control Optimization[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

(編輯 李秀敏)

申請優(yōu)先審稿須知

為振興我國機械裝備制造業(yè)，弘揚民族科學(xué)文化精神，提升期刊質(zhì)量，本刊從即日起，凡是符合本刊報道范圍且同時受到“國家863計劃資助項目”、“國家自然科學(xué)基金資助項目”、“國家重點科技攻關(guān)資助項目”等國家級基金資助項目的原創(chuàng)論文，可申請優(yōu)先審稿，一經(jīng)錄用，優(yōu)先發(fā)表，歡迎業(yè)內(nèi)人事、專家、學(xué)者踴躍投稿(來稿注明：“優(yōu)先審稿”字樣)。

注：1.本刊正常審稿時間一般為一個月，優(yōu)先審稿時間為15-20天; 2.本刊正常發(fā)表文章周期為來稿后6-8個月，優(yōu)先發(fā)表文章周期為5-6個月。

——本刊編輯部

Back-stepping Adaptive Control of Uncertain Micro-electro-mechanical Chaos System

XIAO Yong，DAI Yue-hong，ZHANG Rui，CHEN Yi

(School of Mechatronics Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

The paper analyzes the chaotic behavior of the electrostatically actuated micro-electro-mechanical resonators. The bifurcation diagram about system displacement change with voltage and the typical chaotic attractor are given. Combined with adaptive control and back-stepping approach, an adaptive back-stepping control scheme is proposed for micro-electro-mechanical systems (MEMS) with uncertainties. The uncertainties of the system is estimated using adaptive approach, then back-stepping control is used to stabilize the system as quickly as possible. Finally, simulation results verify that the proposed method is effective.

micro-electro-mechanical systems; chaos; adaptive back-stepping control; uncertainty

1001-2265(2014)07-0106-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.07.030

2013-11-04;

2013-12-10

肖勇(1987—)，男，湖北襄陽人，電子科技大學(xué)碩士研究生，研究方向機械制造及其自動化，(E-mail)493290092@qq.com。

TH166;TG69

A