王鴻雁，肖文生,2，劉忠硯，侯超，崔俊國(guó)，付雷

（1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)機(jī)電工程學(xué)院，山東青島，266580；2.中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京100083；3.北京石油化工工程有限公司西安分公司,西安710000）

鉆井過(guò)程中鉆柱的橫—扭耦合振動(dòng)分析

王鴻雁1，肖文生1,2，劉忠硯1，侯超1，崔俊國(guó)1，付雷3

（1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)機(jī)電工程學(xué)院，山東青島，266580；2.中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京100083；3.北京石油化工工程有限公司西安分公司,西安710000）

鉆井過(guò)程中，鉆柱的橫-扭耦合振動(dòng)是鉆井作業(yè)工程中無(wú)法避免的一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，也是產(chǎn)生鉆柱故障和系統(tǒng)噪聲的原因之一。針對(duì)實(shí)際鉆井過(guò)程中，鉆柱在井下的受力情況復(fù)雜，提出采用了一種簡(jiǎn)化假設(shè)方法，對(duì)局部坐標(biāo)系中空間鉆柱單元與間隙元進(jìn)行分析，推導(dǎo)出鉆柱橫—扭耦合振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)矩陣和鉆井過(guò)程中鉆柱的橫—扭耦合振動(dòng)規(guī)律，從而取得了鉆井過(guò)程中鉆柱的橫—扭耦合振動(dòng)特性，對(duì)于鉆井過(guò)程中振動(dòng)和噪聲的控制與故障排除也提供了有價(jià)值的參考。

振動(dòng)與波；鉆柱；橫扭耦合振動(dòng)

振動(dòng)問(wèn)題是鉆井過(guò)程中的一種重要的危害和噪聲來(lái)源。為了提高鉆井的可靠性和安全性，降低鉆井的工作噪聲，對(duì)鉆井過(guò)程中鉆柱的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行研究是有必要的。

鉆柱橫扭耦合振動(dòng)是引起鉆井故障的原因之一，橫扭耦合振動(dòng)的加劇會(huì)造成鉆桿斷裂、鉆桿磨損嚴(yán)重、噪聲過(guò)大等問(wèn)題，這些都會(huì)影響鉆進(jìn)的動(dòng)力性和安全性。對(duì)鉆進(jìn)過(guò)程中鉆柱橫扭耦合振動(dòng)的研究具有重要的意義。

1 基本假設(shè)

在垂直井中，假設(shè)鉆進(jìn)前，鉆柱軸線與井眼軸線重合，并且沒(méi)有初始變形；在鉆進(jìn)過(guò)程中，由于鉆柱很長(zhǎng)且柔性較好，在載荷作用下一般不會(huì)產(chǎn)生塑性變形，因此可以認(rèn)為材料是線彈性的。在狹長(zhǎng)的井眼中，鉆柱的變形受井壁的限制，產(chǎn)生了鉆柱與井壁之間的接觸問(wèn)題，接觸點(diǎn)的位置是未知的，并且在接觸點(diǎn)處，鉆柱與井壁之間存在摩擦力，于是，形成了接觸摩擦非線性問(wèn)題。所以，垂直井眼中鉆柱的受力和變形問(wèn)題，是幾何非線性與接觸摩擦非線性互相耦合的問(wèn)題，稱(chēng)之為二重非線性問(wèn)題。

焦永樹(shù)等人[1]通過(guò)研究已經(jīng)證實(shí)，在鉆井工程中，鉛垂井段鉆柱的屈曲主要取決于鉆柱的浮重，而扭矩對(duì)鉆柱屈曲的影響可以忽略不計(jì)。因此為了便于分析鉆柱的橫扭耦合振動(dòng)，作了如下一些簡(jiǎn)化和假設(shè)：

（1）鉆柱為均質(zhì)彈性直桿；

（2）鉆進(jìn)前鉆柱中心線與井眼中心線重合，鉆進(jìn)開(kāi)始后鉆柱中心線偏離井眼中心線；

（3）鉆柱的幾何尺寸、材料屬性分段為常數(shù)，不考慮鉆柱連接處和局部孔、槽的剛度；

（4）井眼橫斷面分段保持圓形剛性截面，不考慮井壁上附著物的彈性變形，如巖石、泥餅等；

（5）鉆進(jìn)過(guò)程中，鉆柱單元可能發(fā)生微小變形，未考慮大變形的影響；

（6）鉆柱與井壁可能發(fā)生接觸碰撞，這樣接觸碰撞具有多向性和任意性，一旦發(fā)生接觸碰撞，井壁將產(chǎn)生對(duì)鉆柱的接觸碰撞反力；

（7）鉆頭的橫向振動(dòng)分解為水平面上的Y、Z兩個(gè)分量。

2 局部坐標(biāo)系中空間鉆柱單元與間隙元分析[2]

任取一空間鉆柱單元，如圖1所示。其鉆柱單元為直桿，左節(jié)點(diǎn)為i，右節(jié)點(diǎn)為j；局部坐標(biāo)系o xyz是以i點(diǎn)為原點(diǎn)，i j連線為x軸，另外兩個(gè)坐標(biāo)軸取在梁?jiǎn)卧獧M截面的二個(gè)慣性軸上。梁?jiǎn)卧拿總€(gè)節(jié)點(diǎn)具有5個(gè)自由度，其中2個(gè)線位移分量，3個(gè)角位移分量；與之相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力向量也為5個(gè)，具體為：

局部坐標(biāo)系下的單元節(jié)點(diǎn)位移向量

2.1 單元位移函數(shù)和應(yīng)變

根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)，若外加載荷作用在節(jié)點(diǎn)上，取鉆柱單元i j在坐標(biāo)平面o xy和o xz內(nèi)的撓度函數(shù)為x的三次函數(shù)式精確的；而單元的扭轉(zhuǎn)角顯然是x的一次函數(shù)。于是，對(duì)于具有10個(gè)自由度的空間梁?jiǎn)卧奈灰坪瘮?shù)為

利用10個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量，可唯一的確定出上式中的α1-α10未知量，由形函數(shù)表達(dá)的單元位移函數(shù)模式為

其中

鉆柱單元的應(yīng)變可由幾何方程得到

式中[B]為鉆柱單元應(yīng)變矩陣，其顯示為

2.2 單元?jiǎng)偠染仃嚺c質(zhì)量矩陣

鉆柱單元的彈性矩陣[D]為

圖1 空間鉆柱單元的節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力

局部坐標(biāo)系下空間鉆柱單元e的剛度矩陣為

式中

質(zhì)量矩陣為

阻尼矩陣為

其中

[CDi]e=α[Mi]e+β[Ki]e，α、β為比例系數(shù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者仿真來(lái)試求。

2.3 間隙元單元?jiǎng)偠染仃?/p>

間隙元法是解決井下鉆柱隨機(jī)多向接觸非線性力學(xué)問(wèn)題的一種有效方法。動(dòng)力間隙元特性[3]描述如下：

形狀特性：動(dòng)力間隙元是一種內(nèi)邊界與鉆柱外表面重合、外邊界與井壁重合的環(huán)形虛擬二維單元，它具有抗壓剛度，但沒(méi)有質(zhì)量和阻尼，幾何形狀為一圓環(huán)，見(jiàn)圖2(a)。

圖2 動(dòng)力間隙元

物理特性：當(dāng)鉆柱未與井壁產(chǎn)生接觸碰撞時(shí)，動(dòng)力間隙元的抗壓剛度趨于零，但不影響鉆柱的運(yùn)動(dòng)，見(jiàn)圖2(b)，一旦鉆柱與井壁發(fā)生接觸碰撞，由于動(dòng)力間隙元具有一定的彈性模量，能阻抗鉆柱侵入井壁運(yùn)動(dòng)，其抗壓剛度不僅能模擬井壁彈性變形、影響鉆柱的運(yùn)動(dòng)，還能根據(jù)沖量定理修改鉆柱的速度和加速度，描述出鉆柱與井壁的碰撞接觸過(guò)程見(jiàn)2(c)。此時(shí)，動(dòng)力間隙元會(huì)發(fā)生壓縮變形，將儲(chǔ)存一定的變形能，該變形能可描述鉆柱與井壁接觸碰撞的能量損失。

位于任一鉆柱單元結(jié)點(diǎn)i處的動(dòng)力間隙元位移可表示為

式中vi和wi分別為鉆柱單元i結(jié)點(diǎn)的y向和z向位移，{δ}e為梁?jiǎn)卧猧結(jié)點(diǎn)的位移列陣(含兩個(gè)線位移和三個(gè)轉(zhuǎn)角)， A為轉(zhuǎn)換矩陣。i動(dòng)力間隙元在任一方向n的初始間隙為

式中d1為鉆柱外徑，D為井眼初始直徑。當(dāng)鉆柱發(fā)生變形后，間隙元將在井眼圓周n方向上產(chǎn)生的位移為

其相對(duì)壓縮量為

當(dāng)εGi≥1時(shí)，鉆柱與井壁將產(chǎn)生接觸，當(dāng)0≤εGi＜1時(shí)，鉆柱與井壁將不產(chǎn)生接觸。間隙元的抗壓剛度EFK與法向應(yīng)變?chǔ)舗的關(guān)系見(jiàn)圖3，圖中Const為鉆柱的抗壓剛度。

圖3 間隙元?jiǎng)偠扰c應(yīng)變圖

當(dāng)鉆柱未與井壁產(chǎn)生碰撞時(shí)，動(dòng)力間隙元的速度和加速度應(yīng)符合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律

式中vT和vn分別為切向和法向速度，aT和an分別為切向和法向加速度，θ˙和θ¨分別為鉆柱旋轉(zhuǎn)角速度和角加速度，fG為間隙元的中心位移。

當(dāng)鉆柱與井壁產(chǎn)生碰撞接觸時(shí)，間隙元必然有法向碰撞反力RGn，同時(shí)伴隨著附加力和力矩

式中RGt和RGA分別為切向和軸向摩擦阻力；μ1為摩擦因數(shù)，與間隙元切向速度有關(guān)，當(dāng)鉆柱做純滾動(dòng)或純滑動(dòng)時(shí)為滾動(dòng)或滑動(dòng)摩擦因數(shù)，否則取滾動(dòng)和滑動(dòng)摩擦因數(shù)的加權(quán)平均值；μ2為滑動(dòng)摩擦因數(shù)；MGt和MGA分別為摩擦阻力引起的轉(zhuǎn)矩和彎矩。間隙元的接觸方位角為

其中系數(shù)k由vi和wi正負(fù)號(hào)決定。由上式可見(jiàn)θGi在0°～360°之間變化，能描述出管柱在井眼圓周方向上的隨機(jī)多向接觸問(wèn)題。

這些附加力將構(gòu)成間隙元的等效結(jié)點(diǎn)力

式中RGty和RGtz分別為切向摩擦阻力RGt在y向和z向的分量，MGAy和MGAz分別為摩擦阻力引起的彎矩MGA在y向和z向的分量?？紤]到鉆柱與井壁碰撞接觸時(shí)的能量損失，其動(dòng)力間隙元的速度和鉆柱旋轉(zhuǎn)角速度應(yīng)符合沖量定理

式中mi為鉆柱第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的相鄰兩個(gè)單元的質(zhì)量的平均值；Rn、Rt分別為鉆柱第i個(gè)接點(diǎn)的內(nèi)力。

多向間隙元的平衡方程：

由彈性力學(xué)原理可得任一間隙元i的彈性勢(shì)能為

為了使間隙元與梁?jiǎn)卧苡袡C(jī)地拼裝起來(lái)進(jìn)行管柱受力分析，需將DGi和BGi用零擴(kuò)充成與梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移維數(shù)相同的矩陣，即矩陣[DGi]和[BGi]為5×5階方陣。此時(shí)間隙元的勢(shì)能為

式中{δi}e為鉆柱第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的廣義位移向量；[DGi]為間隙元的彈性矩陣；{εi}和[Bi]分別為間隙元的應(yīng)變向量和應(yīng)變矩陣。其中[BGi]和[DGi]分別為

對(duì)上式變分，可得到間隙元的平衡方程式

將上述單元矩陣用零擴(kuò)充成與鉆柱單元節(jié)點(diǎn)位移維數(shù)相同的矩陣，即

其中

所以考慮鉆柱與井壁接觸的鉆柱單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

3 鉆柱橫扭耦合振動(dòng)動(dòng)力學(xué)矩陣方程

3.1 坐標(biāo)變換

設(shè)整體坐標(biāo)系下單元節(jié)點(diǎn)位移為

節(jié)點(diǎn)位移、鉆柱剛度矩陣和質(zhì)量矩陣在整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中[ T]為轉(zhuǎn)換矩陣，可寫(xiě)成下列形式

3.2 鉆柱橫扭耦合振動(dòng)動(dòng)力學(xué)矩陣方程

組集后的動(dòng)力學(xué)矩陣方程表示為3底部邊界條件[3―8]

為便于計(jì)算,可以將所有橫向力都分解在Y、Z方向，計(jì)算式為

3.

式中F?lijk(t)鉆頭在t時(shí)刻所受到的橫向力；αijk(t)在t時(shí)刻第i牙輪，第j齒圈上第k顆觸底齒的刮切方向；J N(i)為第i牙輪上齒圈總數(shù)；Kc(i,j)為第i牙輪，第j齒圈上觸底齒的顆數(shù)。

三牙輪鉆頭在鉆井過(guò)程中除受到橫向力作用外，還受到巖石的阻力產(chǎn)生的阻力矩，該阻力矩與鉆柱作用在鉆頭上的扭矩平衡。設(shè)t時(shí)刻鉆頭上第i牙輪，第j齒圈上第k顆觸底齒齒頂中心坐標(biāo)為x(k)，y (k)，z(k)，則牙輪鉆頭與巖石相互作用的扭轉(zhuǎn)相互作用力計(jì)算式為

式中l(wèi)yijk(t)、lzijk(t)分別為鉆頭觸底齒與在鉆頭坐標(biāo)系中與y軸和z軸之間的距離；F*lyijk(t)、F*lzijk(t)為鉆頭在t時(shí)刻所受到的橫向力在y和z方向上的分量。

4 應(yīng)用實(shí)例

以我國(guó)南海的某鉆井?dāng)?shù)據(jù)為例，對(duì)鉆柱的橫扭耦合振動(dòng)進(jìn)行模擬分析。

鉆具組合：φ215.9 mm三牙輪鉆頭×0.25 m+ LF1φ214×1.69 m+φ159×71.4鉆鋌×25.37 m+LF2φ 214×1.6 m+φ159×71.4鉆鋌×8.92 m+LF3φ214×1.56 m+φ159×71.4鉆鋌×17.79 m+LF4φ214×1.58 m+φ 159×71.4鉆鋌×105.77 m+φ159接頭×0.5 m+φ127加重鉆桿×108.58 m+φ127普通鉆桿至井口。

鉆井參數(shù)：井深2 500～3 000 m，平均鉆壓180kN，鉆壓幅值15.0 kN，轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)速60.0 r/m in，水深1 000 m。

提取鉆柱的橫向和扭轉(zhuǎn)耦合自由度，獲得了鉆柱橫向與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的頻率分布規(guī)律，如圖4所示。對(duì)這種耦合振動(dòng)在頻率為0.7 Hz的振動(dòng)進(jìn)行模擬分析，獲得的振動(dòng)過(guò)程中鉆柱上各節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)情況，節(jié)點(diǎn)位移最大的部位在鉆柱底部的節(jié)點(diǎn)，如圖5所示，在這種振動(dòng)狀態(tài)下，鉆柱底部節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)幅度比較大，容易失效。

圖4 橫向與扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)頻率

圖5 橫扭耦合振動(dòng)時(shí)各節(jié)點(diǎn)位移分布

5 結(jié)語(yǔ)

(1)考慮到鉆進(jìn)過(guò)程中，鉛垂井段鉆柱的屈曲主要取決于鉆柱的浮重，而扭矩對(duì)鉆柱屈曲的影響可以略去不計(jì)，對(duì)模型進(jìn)行了有益假設(shè)，更加便于進(jìn)行理論分析；

(2)基于以上簡(jiǎn)化，應(yīng)用邊界層理論和有限元理論研究鉆進(jìn)時(shí)鉆柱的橫扭耦合振動(dòng)，建立了鉆進(jìn)時(shí)鉆柱非線性耦合振動(dòng)的物理模型；

(3)應(yīng)用有限元法將整體鉆柱離散為有限個(gè)鉆柱單元，以鉆柱單元的非線性變形分析為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出了鉆進(jìn)時(shí)鉆柱振動(dòng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，建立了鉆進(jìn)時(shí)鉆柱的橫扭耦合振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程；

(4)為便于計(jì)算，將鉆柱底部受力進(jìn)行分解，最后得出鉆桿單元?jiǎng)偠染仃嚪匠痰撞窟吔鐥l件；

(5)通過(guò)對(duì)深水鉆井鉆柱的橫扭耦合振動(dòng)的分析及模擬，獲得了鉆柱系統(tǒng)的橫扭耦合振動(dòng)的基本規(guī)律。鉆柱橫扭耦合振動(dòng)規(guī)律的研究，有利于鉆柱振動(dòng)的理論及分析方法的完善。

[1]焦永樹(shù)，嚴(yán)宗達(dá)，蔡宗熙.扭矩對(duì)鉛垂井段鉆柱靜立分岔的影響[J].工程力學(xué)，1998，增刊：261-265.

[2]劉巨保，張學(xué)鴻.石油設(shè)備有限元分析[M].北京：石油工業(yè)出版社，1996.68-70.

[3]祝效華，劉清友，童華.牙輪鉆頭動(dòng)力學(xué)特性仿真研究[J].石油學(xué)報(bào)，2004，25(4)：96-100.

[4]朱才朝，謝永春，劉清友，等.牙輪鉆頭縱向橫向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)仿真研究[J].振動(dòng)與沖擊，2002，21(1)：46-51.

[5]朱才朝，謝永春，秦大同，等.牙輪鉆頭縱向橫向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)仿真研究[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2002，38(2)：69-78.

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Analysis of Lateral-and-torsional Coupled Vibration of Drill String During Drilling Process

WANG Hong-yan1,XIAO Wen-sheng1,2,LIU Zhong-yan1, HOU Chao1,CUI Jun-guo1,FU Lei3

(1.College of Mechanical and Electrical Engineering,China University of Petroleum, Qingdao 266580,Shandong China; 2.Research Institute of Petroleum Exploration and Development,Beijing 100083,China; 3.Beijing Petrochem ical Engineering Co.Ltd.,Xi`an,710000,China)

Coupled lateral-and-torsional vibration of drill string is inevitable during drilling process.It can cause the drill-string faults and system noise.Because the force system applied to the drill string is very complex in the drilling process,a simplified method is provided.The spatial drill-stem element and gap element are analyzed in local-coordinate system.The dynamical matrices of the coupled lateral-and-torsional vibration of the drill string are developed.Some correlation rules are obtained and the basic characteristic of the coupled lateral-and-torsional vibration of the drill string during drilling is revealed.

vibration and wave;drill string;lateral-and-torsional coupled vibration

TB52

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.015

1006-1355(2014)01-0061-06

2013-03-22

山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（Y2008F48）；國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)(2012AA090303)；山東省自主創(chuàng)新專(zhuān)項(xiàng)項(xiàng)目（2012CX80101）

王鴻雁（1980-），女，山東東營(yíng)人，在讀博士，目前主要從事海洋鉆機(jī)方面的研究。

E-mail:wanghy0546@163.com