對角占優(yōu)矩陣在偏微分方程中的應用

劉志紅

(鄭州財經學院 計算機系，河南 鄭州 450044)

對角占優(yōu)矩陣在偏微分方程中的應用

劉志紅

(鄭州財經學院 計算機系，河南 鄭州 450044)

主要討論對角占優(yōu)及嚴格對角占優(yōu)(strictly diagonally dominant)矩陣的相關引理和定理，以及在偏微分方程邊值問題中的應用(指數衰減因子).

對角占優(yōu)矩陣；邊值問題；衰減因子；特征根；整體經典解

對角占優(yōu)矩陣是應用非常廣泛的矩陣類，較多出現于經濟價值模型和反網絡系統(tǒng)的系數矩陣及某些確定微分方程的數值解法中[1-2].

定義1 n階方陣A=(aij)n，如果其主對角線元素的絕對值大于同列(行)其他元素的絕對值之和，則稱A=(aij)n是行(列)對角占優(yōu)陣,即滿足

(1)

定義2n階方陣A=(aij)n，若存在β>1，使得

由定義1和定義2可知，若A是嚴格占優(yōu)矩陣則一定是對角占優(yōu)矩陣，若A是嚴格對角占優(yōu)矩陣，則關于它的線性代數方程組有解.

由文獻[3],有以下引理1.

(2)

由引理1可證明下面的定理1.

定理1 若A是行(列)對角占優(yōu)矩陣,即A滿足(1)式,則

證明 僅證行占優(yōu)情形,對于列占優(yōu)同理可證.情形1)的證明見文獻[3].

(3)

可見A1的主對角線上元素為βaii,i=1,2,…,n.再作A2=A+(β-1)aI，其中I為單位陣,可見A2的主對角線上的元素為(β-1)a+aii,i=1,2,…,n，在(1)式兩邊同時乘以β,得

(4)

由引理1及(3)式,可知A1是嚴格對角占優(yōu)的.

(5)

因A2的主對角線上的元素為(β-1)a+aii,由(5)知A2也是嚴格對角占優(yōu)的,即?δ2>0,使得A2所有特征根μi,i=1,2,…,n，由引理1，有Reμi≥δ2.

而由

即有

這時,即證得了在(1)式下，(2)式成立.至此,定理1證畢.

注記 (2)式中引入的“δ”即為雙曲型微分方程中的指數衰減因子.

下面討論指數衰減因子δ在具耗散項擬線性雙曲型方程組的邊值問題中的應用.一般來說,擬線性雙曲型方程組的邊值問題在t>0上并不存在整體經典解,這主要是因為邊界數據的存在造成在邊界上反射波的強度可能會大于入射波的強度,或者在邊界上有波的連續(xù)反射現象發(fā)生[4]，但對于特殊的邊界情況則不同.

考慮具耗散項擬線性雙曲型方程組

(6)

(7)

在光滑邊界x=x2(t)(x2(0)=0)上，

(8)

其中x1(t)0，記xl(t)=Fl(t),l=1,2.

這里需要作適當的假設，

假設H1λi,θijk,θij,gijk,gi,Fl(t)是適當光滑的函數,且在t≥0上保持有界.

假設H2 邊界條件(7)～(8)式存在唯一的解u≡u0(不失一般性，設u0=0).

假設H3 過原點的特征線不進入區(qū)域D,即λr(0)

令

則得到不等式

0≤σr,σs≤1 ,r=1,2,…,m;s=m+1,m+2,…,n.

假設H4A=L(0)▽g(0)L-1(0)=(aij)是對角占優(yōu)的,即(1)式成立,由定理1可知(2)式成立.

定理2 在假設H1～H4之下，如果存在充分小的ε>0使

定理2的證明可通過一致先驗估計，接著沿特征線積分，再根據局部延拓法可得.

[1] 劉法貴.具線性退化特征擬線性雙曲型方程組的Cauchy問題[J].華北水利水電學院學報,1999,20(4):63-67.

[2]LIUFAGUI.Cauchyproblemforquasilinearhyperbolicsystems[M].Zhengzhou:YellowRiverConservancyPress,2006:33-38.

[3]LITATSIEN.Globalclassicalsolutionsforquasilinearhyperbolicsystems[M].NewYork:Wiley, 1994:1 263-1 317.

[4]GREENBERGJM，LITATSIEN.Theeffectofboundarydampingforthequasilinearwaveequation[J].JofDiffEquations, 1984(52): 66-75.

Application in the Partial Differential Equation ofDiagonally Dominant Matrix

LIU Zhi-hong

(DepartmentofComputer,ZhengzhouInstituteofFinanceandEconomics,Zhengzhou450044,China)

The diagonally dominant and strictly diagonally dominant (strictly diagonally dominant) related lemma and the theorem of matrix are discussed, and the application of boundary value problems of partial differential equations (exponential attenuation factor) is also stated.

diagonally dominant matrix; boundary value problem; attenuation factor; characteristic root; global classical solution

2014-05-14

劉志紅(1983—)，男，河北邯鄲人，鄭州財經學院計算機系講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.04.005

O175.27

A

1007-0834(2014)04-0020-03