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      一類非局部邊值問題的數(shù)值方法

      2014-08-01 09:26:16周永芳母麗華
      關(guān)鍵詞:邊值問題算例邊界條件

      周永芳, 母麗華, 顧 娟

      (黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院,哈爾濱150022)

      0 引 言

      微分方程非局部邊值問題廣泛地出現(xiàn)在化學(xué)反應(yīng)擴散、人口動力學(xué)、振動問題、生命科學(xué)等科學(xué)和工程領(lǐng)域之中。對于常微分方程非局部邊值問題,學(xué)者們大多致力于解的存在性等定性問題的研究[1-2],關(guān)于非局部邊值問題的數(shù)值求解方面的研究文獻較少。M.Cakir 等[3]討論了具有積分邊界條件和小參數(shù)的一維奇異攝動邊值問題的有限差分法。廉海榮等[4]建立了一類具有積分邊界條件的常微分方程邊值問題的指數(shù)差分格式,并且給出格式的誤差分析,證明了格式是一致收斂的。近年來,再生核數(shù)值方法廣泛地用于微分方程邊值問題的數(shù)值求解[5,7-10],筆者將建立包含積分邊界條件的再生核空間,在空間中討論如下非線性常微分方程非局部邊值問題:

      精確解的表達形式,通過截斷級數(shù)給出方程的近似解,證明了近似解一致收斂于方程精確解,近似解的導(dǎo)數(shù)一致收斂于方程精確解的導(dǎo)數(shù)。其中f:[0,1]×和g0,g1:[0,1]→[0,∞)是充分光滑的函數(shù),a、b 是非負實數(shù)。

      1 再生核空間

      W3[0,1]是再生核空間[6],對任意的y(x),z(x)∈W3[0,1],內(nèi)積和范數(shù)分別為

      定義2

      W31[0,1]是W3[0,1]的閉子空間(證明參見文獻[6]),W31[0,1]是再生核空間。設(shè)W31[0,1]的再生核函數(shù)為K(x,t)[6]。

      定義3 W[0,1]= {y(x)| y(x)是絕對連續(xù)實值函數(shù)

      2 精確解和近似解的構(gòu)造

      定義線性算子Τ:W31[0,1]→W[0,1]。對任意y(x)∈W31[0,1],Τy(x)= y″(x),則方程(1)轉(zhuǎn)化為其中,當(dāng)y = y(x)∈W31[0,1]時f(x,y(x))∈W[0,1]。

      引理1 Τ:W31[0,1]→W[0,1]是有界線性算子。

      令φi(x)=R(x,xi),Ψi(x)=Τ*φi(x),其中,Τ*是Τ 的共軛算子。

      證明 由

      有Ψi(x)∈W31[0,1]。

      令〈y(x),Ψi(x)〉W31[0,1]=0,i =1,2,…,n,其中,y(x)∈W31[0,1],即得

      其中,αk= f(xk,y(xk)),k = 1,2,…,n。

      定理1 給出了方程(2)精確解的表達式。

      通過截斷式(3)中給定的級數(shù),得到方程(2)的近似解

      定理2 假設(shè)方程(2)的解存在唯一,y(x)是方程(2)的解,yn(x)是方程的近似解由式(4)給出,則yn(x),y'n(x),y″n(x)是一致收斂的,即

      證明 注意到‖y(x)- yn(x)‖W31[0,1]→0,n→∞,于是當(dāng)n→∞時,有這里是常數(shù),i=1,2。

      3 數(shù)值算法

      下面將給出方程(2)的近似解yn(x)的求解方法。

      為了獲得yn(x),只需要確定αk(k=1,2,…,n)即可。獲得yn(x)的數(shù)值程序:

      類似上面的步驟,尋找αk直到獲得2,…,n),使得則方程(2)的近似解可以由式(5)得到

      4 數(shù)值算例

      算例1 求解下列非線性非局部邊值問題

      表1 算例1 的數(shù)值結(jié)果Table 1 Numerical results of example 1

      5 結(jié)束語

      文中通過構(gòu)造包含方程非局部邊值條件的再生核空間,獲得了一類非線性常微分方程非局部邊值問題的精確解和近似解,證明了方程近似解及其導(dǎo)數(shù)的一致收斂性,實驗結(jié)果表明,該方法有效,可以進一步推廣到其他非線性方程邊值問題的求解。

      [1]KANG P,WEI Z L.Three positive solutions of singular nonlocal boundary value problems for systems of nonlinear second order ordinary differential equations[J].Nonlinear Analysis,2009,70(1):444 -451.

      [2]ABDELKADER B.Second-oder boundary value problems wih integral boundary conditions [J].Nonlinear Analysis-theory Methods& Applications,2009,70(1):364 -371.

      [3]CAKIR M,AMIRALIYEV G M.A finite differenee method for the singularly perturbed problem with nonloeal boundary condition[J].Applied Mathematics and Computation,2005,160(5):539 -549.

      [4]廉海榮,王玉鵬,趙琳琳,等.具有積分邊界條件的常微分方程邊值問題的數(shù)值解[J].?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認識,2012,42(2):184 -190.

      [5]周永芳,顧 娟.求解一類偏微分方程的新算法[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報,2008,18(5):391 -395.

      [6]周永芳.若干微分方程非局部邊值問題的一種數(shù)值方法[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2011.

      [7]ZHOU Y F,LIN Y Z,CUI M G.An efficientcomputational method for second order boundary value problems of nonlineardifferential equations[J].Applied Mathematics and Computation,2007,194(3):354 -365.

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      [9]么煥民,林迎珍.再生核空間中求解六階邊值問題的新算法[J].?dāng)?shù)學(xué)雜志,2010,30(6):1035 -1042.

      [10]ZHOU S P,CUI M G.A new algorithm for determining the leading coefficientof in the parabolic equation[J].World Academy of Science,Engineering and Technology,2009,55(6):512 -516.

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