田文迪，許 靜，別 黎，崔南方

(1.武漢紡織大學管理學院，湖北 武漢 430073；2.中南民族大學管理學院，湖北 武漢 430074；3.華中科技大學管理學院，湖北 武漢 430074)

1 引言

項目調(diào)度問題PSP(Project Scheduling Problems)研究如何在滿足資源和緊前關系約束前提下，合理安排項目任務使得某特定目標函數(shù)達到最優(yōu)，它是項目管理中經(jīng)典的核心內(nèi)容[1,2]。該問題廣泛存在于企業(yè)新產(chǎn)品開發(fā)、工程建筑、軟件開發(fā)、飛機及輪船制造等項目中[3]，有著顯著的實踐價值。項目調(diào)度問題自20世紀中期被提出以來，一直受到國內(nèi)外專家學者的廣泛關注，已取得大量研究成果[4～6]，尤其是求解算法得到了深入而廣泛的研究，如確定性算法、啟發(fā)式算法、元啟發(fā)式算法等[6]。為了測試和比較算法的性能，就需要測試問題集對算法進行測試和比較。

迄今為止，已有大量專家學者從事測試問題集的相關研究。Patterson J[7](1984)最早提出測試單項目資源受限項目調(diào)度問題的Patterson問題集，該問題集在國際上一直采用至今。但由于該問題集中的調(diào)度問題不是通過設定符合要求的參數(shù)生成的，所以不能有效代表項目調(diào)度的各種可能性。此外，該問題集中問題已被證明能較易通過精確算法進行求解[8,9]。為了克服這些缺點，許多專家學者開始從事開發(fā)用于測試調(diào)度問題的軟件。Demeulemeester E等人[10](1993)開發(fā)了第一個隨機問題集生成器，但該生成器僅能夠設置項目任務節(jié)點數(shù)和項目網(wǎng)絡結構中的緊前關系，不能用于設定其它某些特定衡量指標，如網(wǎng)絡結構復雜度、資源指標等。Agrawal M K等人[11](1996)在此基礎上開發(fā)了DAGEN問題集生成器，能夠設定項目網(wǎng)絡結構的復雜度。Kolisch R等人[12,13](1992, 1995)設計出另一問題集生成器ProGen，可以通過設定網(wǎng)絡基本結構(網(wǎng)絡任務節(jié)點數(shù)、緊前關系以及網(wǎng)絡復雜度)和兩個資源指標(資源因子和資源強度)生成相應的問題。Schwindt C等人[14～16](1995, 1996, 1998)對ProGen進行擴展，引入時間約束的概念，設計最小、最大時間滯后調(diào)度問題集生成器ProGen/Max。Tavares L V[17](1998)通過設定六項網(wǎng)絡結構指標生成調(diào)度問題的網(wǎng)絡結構，但由于其網(wǎng)絡結構不是來自于可行網(wǎng)絡結構，所以生成的網(wǎng)絡結構不具有強隨機性。Demeulemeester E等人[18](2003)開發(fā)RanGen問題集生成器，生成的調(diào)度問題具有強隨機性網(wǎng)絡結構，從而能滿足所需要的復雜度指標。隨后，Vanhoucke M等人[19](2008)在此基礎上，擴展RanGen問題集生成器，得到RanGen2問題集生成器。Gutiérrez M等人[20](2004)設計HierGen用于生成多層次項目問題集。Browning T R等人[21](2010)開發(fā)了第一個用于生成多項目問題集生成器RCMPSP。

本文主要介紹國際上常用的兩套標準問題集(Patterson問題集[7]和PSPLIB標準問題庫[12～16])和兩款用于生成問題集的軟件(單項目調(diào)度問題集生成器RanGen[18,19]和多項目調(diào)度問題集生成器RCMPSP[20])，并在此基礎上提出項目調(diào)度中選取測試問題集的一般流程及其問題集構建的一般方法。

2 Patterson 問題集

Patterson問題集是由Patterson J于1984年提出的。該問題集由110個單一模式單項目資源受限項目調(diào)度問題組成，其中7～23個任務節(jié)點的問題有55個，27～35個任務節(jié)點的問題有45個，51個任務節(jié)點的問題有10個(見表1)；四個問題只涉及一種可更新資源，三個問題涉及兩種可更新資源，其余103個問題涉及三種可更新資源。Patterson問題集可在PSPLIB標準問題庫網(wǎng)站中的“other benchmarks”中下載，其問題集中問題的表現(xiàn)形式見表2(以Pat1為例)。

Table 1 No. of problems in Patterson sets表1 Patterson問題集中問題個數(shù)分布

Table2 Pat1 problem in Patterson sets表2 Patterson問題集中Pat1問題

第一行中的14表示該問題共有14個任務節(jié)點數(shù)，3表示涉及三種可更新資源；第二行中的2、1和2分別表示三種不同類型的可更新資源的可用資源量；第三行至第十六行表示Pat1問題所對應網(wǎng)絡結構及其特征參數(shù)，其中第一列表示各任務節(jié)點對應的工期，第二列至第四列表示各任務節(jié)點對應三種不同類型的可更新資源的所需資源量，第五列表示各任務節(jié)點的后續(xù)節(jié)點數(shù)，第六列至第八列表示各任務節(jié)點的后續(xù)節(jié)點。Patterson問題集雖然過去被廣泛使用，但這110個問題不能有效代表項目調(diào)度的各種可能性，慢慢被PSPLIB標準問題庫所取代。

3 PSPLIB標準問題庫

PSPLIB標準問題庫，全稱Project Scheduling Problem Library(見http://129.187.106.231/psplib/)，是由Kolisch R等人(1992, 1995)采用實驗設計的方法設計ProGen軟件，通過該軟件設定項目調(diào)度問題的參數(shù)，產(chǎn)生符合參數(shù)要求的具有不同目標的調(diào)度問題。隨后，Schwindt C(1995年、1996年、1998年)在此基礎上，對ProGen進行擴展，為適應新模型擴展的需要，增加了對部分可更新資源、倒換時間、模式一致性以及模式一致性集合等概念的支持，設計一套新軟件ProGen/Max，從而形成PSPLIB標準問題庫。該標準問題庫包含以下五種不同類型問題的問題集及其解決方案：(1)資源受限項目調(diào)度問題RCPSP(Resource Constrained Project Scheduling Problem)問題集;(2)最小最大時間滯后資源受限項目調(diào)度問題RCPSP/Max(Resource Constrained Project Scheduling Problem with minimal and Maximum time lags)問題集;(3)多模式資源受限項目調(diào)度問題MRCPSP(Multi-mode Resource Constrained Project Scheduling Problem)問題集;(4)最小最大時間滯后多模式資源受限項目調(diào)度問題MRCPSP/Max(Multi-mode Resource Constrained Project Scheduling Problem with minimal and Maximum time lags)問題集;(5)最小最大時間滯后資源投資問題RIP/Max(Resource Investment Problem with minimal and Maximum time lags)問題集。其中，RCPSP問題集和MRCPSP問題集可直接在PSPLIB標準問題庫的網(wǎng)站上下載，而RCPSP/Max問題集、MRCPSP/Max問題集和RIP/Max問題集則鏈接到另一網(wǎng)址http://www.wior.uni-karlsruhe.de/LS_Neumann/Forschung/ProGenMax/下載。

RCPSP問題集中包含任務節(jié)點數(shù)分別為30、60、90和120，四個子問題集J30、J60、J90和J120，涉及四種可更新資源，每個子問題集中含有480個項目調(diào)度問題。MRCPSP問題集中包含字母開頭為c、j、m、n和r五組子問題集。其中c開頭的問題集包含c15和c20兩個子問題集，涉及兩種可更新資源和兩種不可更新資源，任務節(jié)點數(shù)都為16，執(zhí)行模式都為3。j開頭的問題集包含任務節(jié)點數(shù)分別為10、12、14、16、18、20和30的七個子問題集J10、J12、J14、J16、J18、J20和J30，都涉及兩種可更新資源和兩種不可更新資源，三種執(zhí)行模式。m開頭的問題集包含執(zhí)行模式分別為1、2、4和5的四個子問題集m1、m2、m4和m5，都涉及兩種可更新資源和兩種不可更新資源，任務節(jié)點數(shù)為16。n開頭的問題集包含不可更新資源數(shù)分別為0、1和3的三個子問題集n0、n1和n3，執(zhí)行模式都為3，可更新資源數(shù)都為2。r開頭的問題集包含可更新資源數(shù)分別為1、3、4和5的四個子問題集r1、r3、r4和r5，執(zhí)行模式都為3，不可更新資源數(shù)都為2。RCPSP/Max問題集包含cd、UBO和來自于文獻[22]的三類子問題集，其中cd問題集包含任務節(jié)點數(shù)為100、資源數(shù)為5的1 080個子問題；UBO問題集則包含任務節(jié)點數(shù)分別為10、20、50、100、200、500和1 000的七個子問題集testset-ubo10、testset-ubo20、testset-ubo50、testset-ubo100、testset-ubo200、testset-ubo500和testset-ubo1000，每個子問題集都含有90個問題，涉及五種資源；來自于文獻[22]的問題集包含任務節(jié)點數(shù)分別為10、20和30的三個子問題集sm-j10、sm-j20和sm-j30。MRCPSP/Max問題集包含MM和來自于文獻[22]的兩類子問題集，其中MM問題集包含任務節(jié)點數(shù)分別為30、50和100的三個子問題集testset-mm30、testset-mm50和testset-mm100；而來自于文獻[22]的問題集包含任務節(jié)點數(shù)分別為10、20和30的子問題集mm-j10、mm-j20和mm-j30，含有2、3或5個執(zhí)行模式，涉及五種可更新資源和兩種不可更新資源。RIP/Max問題集是來自于文獻[22]的問題集，包含任務節(jié)點數(shù)分別為10、20和30的子問題集rip-j10、rip-20和rip-30，都涉及1、3或5個可更新資源。此外，這些問題集中問題的表現(xiàn)形式在下載文件中有詳細說明，在此不一一闡述。

4 RanGen問題集生成器

RanGen問題集生成器，包含Demeulemeester E(2003)開發(fā)的RanGen1和Vanhoucke M(2008)開發(fā)的RanGen2，其開始界面見圖1(見網(wǎng)站http://www.projectmanagement.ugent.be/rangen.html)。這兩個問題集生成器都包含兩類參數(shù)：網(wǎng)絡拓撲結構和資源。它們的唯一區(qū)別在于設定網(wǎng)絡拓撲結構的參數(shù)不同，這需要在開始界面加以選擇。下面分別介紹RanGen問題集生成器需設定的相關參數(shù)。

Figure 1 Welcome page of RanGen圖1 RanGen問題集生成器開始界面

4.1 RanGen1網(wǎng)絡拓撲結構參數(shù)

RanGen1問題集生成器表示網(wǎng)絡拓撲結構參數(shù)有以下三種：

(1)調(diào)度問題的任務節(jié)點數(shù)n(Number of activities)。

(2)排序強度OS(Order Strength)：網(wǎng)絡結構中實際緊前關系數(shù)除以理論上最大緊前關系數(shù)(不包含虛擬節(jié)點)，其取值范圍為(0,1)。OS越大，表示網(wǎng)絡中存在緊前關系約束越多。

(3)復雜度系數(shù)CI(Complexity Index)：度量網(wǎng)絡結構趨于串行/并行結構的程度。

在開始界面選擇RanGen1問題集生成器后，需在“Max#Networks”窗口設置生成問題集的時間限制(Time limit)和問題集中調(diào)度問題個數(shù)的限制(Maximum number of generated networks)，見圖2，再在“Input Parameters”窗口設置問題集中調(diào)度問題的任務節(jié)點數(shù)n和排序強度OS，見圖3。隨后，RanGen1問題集生成器將在規(guī)定時間內(nèi)迅速計算復雜度系數(shù)CI。

Figure 2 “Max#Networks” of RanGen1圖2 RanGen1 “Max#Networks”窗口

Figure 3 “Input Parameters” of RanGen1圖3 RanGen1 “Input Parameters”窗口

4.2 RanGen2網(wǎng)絡拓撲結構參數(shù)

RanGen2問題集生成器表示網(wǎng)絡拓撲結構參數(shù)有以下六種：

(1)網(wǎng)絡大小指標I1(Network size indicator)：調(diào)度問題的任務節(jié)點數(shù)I1=n；

(2)串行/并行指標I2(serial/parallel indicator)：

用于度量網(wǎng)絡結構是否接近串行網(wǎng)絡結構(所有任務節(jié)點都在一條鏈上)或接近并行網(wǎng)絡結構(不存在前置任務)，取值范圍為[0,1]。當I2=0，表示項目中所有任務節(jié)點并行(m=1)；當I2=1，表示項目中所有任務節(jié)點串行(m=n)。

(3)任務節(jié)點分布指標I3(Activity distribution indicator)：

度量網(wǎng)絡結構中在漸進水平上任務節(jié)點的分布，取值范圍為[0,1]。當I3=0，表示所有任務節(jié)點在漸進水平上服從均勻分布；當I3=1，表示漸進水平為m-1的網(wǎng)絡寬度為1，漸進水平為1的網(wǎng)絡寬度為n-(m-1)。

(4)最短弧指標I4(Short arcs indicator):

度量漸進水平中尾節(jié)點與各弧開始節(jié)點之間存在差異的短弧的所有緊前關系數(shù)，取值范圍為[0,1]。當I4=0，表示網(wǎng)絡中最短弧的最小數(shù)為n-w1；當I4=1，表示網(wǎng)絡中各任務節(jié)點與下一級任務節(jié)點都相連。

(5)最長弧指標I5(Long arcs indicator):

度量漸進水平中尾節(jié)點與各弧開始節(jié)點之間存在差異的長弧的所有緊前關系數(shù)，取值范圍為[0,1]。當I5=0，表示網(wǎng)絡中有n-w1條弧的長度為1，其它弧的最長長度為m-1；當I5=1，表示網(wǎng)絡中所有弧的長度為1。

(6)拓撲浮動指標I6(Topological float indicator):

用于度量項目網(wǎng)絡結構中漸進和回歸水平之間存在差異的任務節(jié)點的拓撲浮動因子，取值范圍為[0,1]。當I6=0，表示網(wǎng)絡中所有任務節(jié)點的拓撲浮動因子為0；當I6=1，表示網(wǎng)絡中有m個串行任務節(jié)點的拓撲浮動因子為0，有n-m個并行任務節(jié)點的拓撲浮動因子為m-1。

在開始界面選擇RanGen2問題集生成器后，同樣需在“Max#Networks”窗口設置生成問題集的時間限制(Time limit)和問題集中調(diào)度問題個數(shù)的限制(Maximum number of generated networks)，同圖2，然后再在“Input Parameters”窗口設置問題集中調(diào)度問題的任務節(jié)點數(shù)I1和串行/并行指標I2，見圖4。隨后，RanGen2問題集生成器將在規(guī)定時間內(nèi)迅速計算I3、I4、I5和I6，見圖5。

Figure 4 “Input Parameters” of RanGen2圖4 RanGen2 “Input Parameters”窗口

Figure 5 “Morphological Measures” of RanGen2圖5 RanGen2 “Morphological Measures”

4.3 RanGen1和RanGen2資源參數(shù)

RanGen1和RanGen2問題集生成器中“Resource Related Measures”窗口設置三大類資源參數(shù)：資源類型數(shù)(Number of resources)、資源要求量(Resource requirement measures)和資源需求量(Resource demand measures)，見圖6。其中資源要求量是用來決定各任務節(jié)點的資源類型，它有兩個備選指標參數(shù)：

(1)資源因子RF(Resource Factor):

(2)資源使用量RUi(Resource Use):

而資源需求量則是確定各任務節(jié)點的資源可用量，也有兩個備選指標參數(shù)：

(1)資源強度RSk(Resource Strength):

(2)資源約束度RCk(Resource constrainedness):

Figure 6 “Resource Related Measures” window圖6 “Resource Related Measures”窗口

5 RCMPSP問題集生成器及其問題集

RCMPSP問題集生成器是由Browning T R等人于2010年在Microsoft office excel平臺上設計而成的，設定參數(shù)見表3。

Table 3 Input parameters in RCMPSP generator表3 RCMPSP問題集生成器輸入?yún)?shù)

Figure 7 Test Bank in the Excel sheet圖7 Excel工作簿中概括性工作表“Test Bank”

RCMPSP問題集可在網(wǎng)站http://sbuweb.tcu.edu/tbrowning/RCMPSPinstances.htm下載。該問題集共包含12 320個子問題，每個子問題含有三個子項目，每個子項目有20個任務節(jié)點和四種資源，并且子項目是用設計結構矩陣DSM(Design Structure Matrix)的形式表示。RCMPSP問題集分別存放在20個文件夾中(由于這20個文件夾是復制而成的，所以含有相同的電子表格結構和VBA代碼，僅僅隨機生成的問題不同)，即每個文件夾包含616個子問題，這616個子問題分別存放在八個Excel工作簿中，每個Excel工作簿含有77個獨立的子問題工作表和一個位于首端的概括性工作表“Test Bank”(見圖7)。此外，每個Excel工作簿還含有RCMPSP問題集生成器代碼，當按概括性工作表中的“Generate TestBank”鍵或啟動宏文件時，將重新生成不同的子問題。這八個Excel工作簿的區(qū)別在于復雜度期望值(四個等級：“HHH”、“HHL”、“HLL”或“LLL”)和MAUF期望方差(兩個等級：0或0.25)的不同，而工作簿中77個獨立子問題的區(qū)別在于NARLF期望值([-3，3]之間七個不同整數(shù)等級)和MAUF期望值([0.6，1.6]之間以0.1為遞增的11個不同等級)的不同。用戶可以根據(jù)自己的需要設置上述參數(shù)生成相應的問題集。

6 測試問題集選取一般流程及測試問題集構建方法的有效性分析

6.1 測試問題集選取一般流程及測試問題集構建方法

項目調(diào)度中測試問題集選取的一般流程如下(見圖8)：

Step1根據(jù)需測試PSP確定項目的個數(shù)，判斷其是單項目PSP還是多項目PSP。若為單項目PSP，轉Step 2；反之，若為多項目PSP，轉Step 3。

Step2在確定需測試PSP是單項目PSP后，判斷PSP的類型：單模式或多模式PSP。若為單模式PSP，轉Step 4；反之，若為多模式PSP，轉Step 5。

Step3在確定需測試PSP是多項目PSP后，判斷所需測試問題集是否能由RCMPSP問題集生成器生成。若能，轉Step 6；反之，轉Step 12。

Step4在確定需測試PSP是單模式單項目PSP后，判斷所需測試問題集是否能直接采用現(xiàn)成問題集(Patterson問題集或PSPLIB標準問題庫中相應問題集)，若能，轉Step 7；若不能，轉Step 8。

Step5在確定需測試PSP是多模式單項目PSP后，判斷所需測試問題集是否能直接采用PSPLIB問題庫中相應問題集，若能，轉Step 9；若不能，轉Step 10。

Step6利用RCMPSP問題集生成器生成滿足相關要求的多項目調(diào)度問題的測試問題集。

Step7選用Patterson問題集或PSPLIB標準問題庫中相應問題集。

Step8是否能直接采用ProGen、ProGen/Max或RanGen問題集生成器生成問題集，若能，轉Step11；若不能，轉Step 12。

Step9選用PSPLIB標準問題庫中問題集。

Step10是否能直接采用ProGen、ProGen/Max或RanGen問題集生成器生成問題集，若能，轉Step 11；若不能，轉Step 12。

Figure 8 Flow chat of instances sets selection in project scheduling problems圖8 項目調(diào)度中測試問題集選取流程圖

Step11根據(jù)需求，利用ProGen、ProGen/

Max問題集生成器或RanGen問題集生成器生成滿足相關要求的單項目PSP的測試問題集。

Step12根據(jù)需求，構建合適的、滿足要求的測試問題集。

在測試問題集選取的一般流程中發(fā)現(xiàn)：當不能從現(xiàn)有國際上常用問題庫中選用合適問題集時，或不能采用常用問題集生成器生成合適問題集時，就需要構建合適、滿足測試需求的問題集。通常，構建測試問題集一般分兩步：第一，根據(jù)需求構建問題集的網(wǎng)絡結構(包括大小、形狀、復雜度等)；第二，根據(jù)需求構建其它參數(shù)(可用資源量、資源需求量等)。

6.2 有效性分析及應用前景

下面分別以文獻[23]和文獻[24]中所采用的測試問題集來說明測試問題集選取一般流程與測試問題集構建方法的有效性。

文獻[23]研究MRCPSP的反應式調(diào)度算法，作者選用PSPLIB標準問題庫中MRCPSP子問題庫中問題集作為測試問題集。下面根據(jù)測試問題集選取的一般流程進行分析。Step1：判斷研究的問題是屬于單項目PSP，轉Step2；Step2：判斷其為多模式PSP，轉Step5；Step5：判斷可能直接從PSPLIB標準問題庫選取合適問題集，轉Step9；Step9：選用PSPLIB標準問題庫中MRCPSP子問題庫中問題集。

文獻[24]為了進行離散時間/資源權衡問題DTRTP(Discrete Time/Resource Trade-off Problem)中調(diào)度策略比較研究，構建了DTRTP問題集。下面根據(jù)測試問題集選取的一般流程進行分析。Step1：判斷研究的問題是屬于單項目PSP，轉Step2； Step2：由于DTRTP是MRCPSP子問題，判斷其為多模式PSP，轉Step5；Step5：判斷不能直接從PSPLIB標準問題庫中MRCPSP子問題庫中選取合適問題集(雖然DTRTP是MRCPSP子問題，但DTRTP區(qū)別于MRCPSP有兩個方面：DTRTP僅含有一種可更新資源，而MRCPSP問題集中問題至少含有兩種資源；MRCPSP中任務的執(zhí)行模式數(shù)以及在此執(zhí)行模式下任務工期和所需資源量都是已知的，而DTRTP僅已知工作量，需由工作量轉化成工期和所需資源量，并計算相應模式數(shù))，轉Step10；Step10：同理不能直接采用ProGen、ProGen/Max或RanGen問題集生成器生成問題集，轉Step12；Step12：需根據(jù)需求構建合適的、滿足要求的測試問題集。文獻[24]首先選用PSPLIB標準問題庫中MRCPSP子問題庫中任務節(jié)點為10的網(wǎng)絡結構作為測試DTRTP問題集的網(wǎng)絡結構；然后，DTRTP工作量的均值及方差分別來自于[10,50]和[1,5]均勻分布；最后，由于需比較可用資源量的影響，所以選取10、15、20三種不同層次的可用資源量，這就意味著會生成可用資源量分別為10、15和20的三類測試問題集。

通過對文獻[23]和文獻[24]所采用的測試問題集的分析，說明本文提出的測試問題集選取一般流程與測試問題集構建方法是有效的，該方法可以廣泛應用于項目調(diào)度問題中測試問題集的選取與構建。這不僅為今后項目調(diào)度問題中進行算法測試所需問題集的選取及構建提供了一種思路，而且還對采用的測試問題集起到規(guī)范作用。

7 結束語

測試問題集的提出及研究是為了更好比較項目調(diào)度問題中求解算法的性能。本文在介紹國際上常用的兩套標準問題集和兩款用于生成問題集的軟件的基礎上，提出測試問題集選取的一般流程及其問題集構建方法，為算法測試所需問題集提供思路。

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