廖慧敏，譚滿春

暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣州 510632

不確定線性系統(tǒng)新的穩(wěn)定性準(zhǔn)則

廖慧敏，譚滿春

暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣州 510632

1 引言

時滯現(xiàn)象經(jīng)常存在于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、自動化系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、運輸系統(tǒng)等許多動態(tài)系統(tǒng)中。由于時滯會導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和性能變差，因此時滯的穩(wěn)定性得到了廣泛的關(guān)注[1-25]。

為得到時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，許多學(xué)者提出了不同的方法[1-12]。文獻(xiàn)[1-2]通過引入自由權(quán)矩陣來處理Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的相關(guān)項，優(yōu)勢在于不必對交叉項進(jìn)行處理，但引入過多的變量會增加計算的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[3-4]采用Jensen積分不等式對交叉項進(jìn)行放大處理。文獻(xiàn)[5-6]構(gòu)造含有三重積分項的新型Lyapunov函數(shù)，并結(jié)合積分不等式法或自由權(quán)矩陣方法。文獻(xiàn)[7-8]利用時滯中點法，用時滯區(qū)間的中點(h1+h2)/2把時滯區(qū)間分割成相等的兩個區(qū)間，再充分利用積分不等式等方法。

基于上述研究成果，本文不同于文獻(xiàn)[7-8]，不再把時滯分割成相等的兩區(qū)間，而用分割點h=λh1+(1-λ)h2將時滯區(qū)間分割成任意兩段。通過構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù)，并結(jié)合積分不等式，得到了新的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。本方法引入了狀態(tài)向量x(t-h)，含有更多的時滯區(qū)間信息。通過數(shù)值實例說明本文方法的有效性和較小的保守性。

本文符號說明：I表示單位矩陣，Rn表示n維歐式空間，Rn×m表示n×m矩陣，T表示矩陣轉(zhuǎn)置，*表示矩陣相應(yīng)的對稱部分，對任意矩陣A,B,A＞B表示矩陣A-B是正定矩陣。

2 問題描述

考慮如下不確定系統(tǒng)：

本文定理證明將用到如下引理：

3 主要結(jié)果

備注1系統(tǒng)最大允許時滯上界的大小與λ的精度有關(guān)。假設(shè)λ的精度為0.01，由于0＜λ＜1，那么λ的值是0.01，0.02，…，0.99。把每個λ的值作為已知數(shù)，由上述定理，利用MATLAB的LMI工具箱，可以求得相應(yīng)的最大允許時滯上界，取這些最大允許時滯上界的最大值做為系統(tǒng)的最大允許時滯上界。為求得更大的系統(tǒng)最大允許時滯上界，可以提高λ的精度，但這樣會增加計算的復(fù)雜度，需要更多的計算時間。

4 數(shù)值實例

例1考慮具有如下系數(shù)矩陣的不確定線性系統(tǒng)：

當(dāng)假設(shè)λ的精度為0.1。當(dāng)h1=0時，對不同的時滯變化率d，系統(tǒng)式（1）最大允許時滯上界h2值見表1。當(dāng)d=0.1時，文獻(xiàn)[15]的最大允許時滯上界為1.107 5,而由定理1，令λ=0.5，計算得到最大允許時滯上界為1.178 2。由表1知，與文獻(xiàn)[14-15]相比，本文方法具有較小保守性。

表1 h?1=0時，對不同d的最大允許時滯上界

例2考慮具有如下系數(shù)矩陣的不確定線性系統(tǒng)：

假設(shè)λ的精度為0.01。當(dāng)d=0.5,h1=0時，由定理1，系統(tǒng)式（1）在λ=0.55時取得系統(tǒng)的最大允許時滯上界h2=2.194 0。當(dāng)d=0.5,h1=1時，系統(tǒng)式（1）在λ=0.31時取得系統(tǒng)的最大允許時滯上界h2=2.279 2，見表2。當(dāng)d=0.2,h1=0時，系統(tǒng)在λ=0.48時取得最大允許時滯上界為3.293 6，見表3。由表2，3可知，在h1較小的情況下，與文獻(xiàn)[7-8]相比，本文方法具有較小保守性。

表2 d=0.5時，對不同h1的最大允許時滯上界

表3 d=0.2,h1=0時，最大允許時滯上界

5 結(jié)論

本文研究了帶有區(qū)間時滯的不確定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。利用時滯分割法，通過構(gòu)造適當(dāng)Lyapunov函數(shù)，并結(jié)合積分不等式，得到了不確定線性系統(tǒng)新穩(wěn)定性的準(zhǔn)則。數(shù)值實例表明，新的穩(wěn)定性準(zhǔn)則具有更小的保守性。

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LIAO Huimin,TAN Manchun

Department of Mathematics,Jinan University,Guangzhou 510632,China

The stability problem for uncertain linear systems with interval time-varying delay is studied.Based on the delaydividing approach,the delay interval is partitioned into two subintervals.By constructing an appropriate Lyapunov function and using integral inequalities,some delay-dependent stability criteria are obtained.Numerical examples are given to illustrate the effectiveness of the results.

uncertain linear systems;Lyapunov function;delay-dependent;stability

研究了帶有區(qū)間時滯的不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。通過采用時滯分割法，把時滯區(qū)間分割成任意兩小段，并構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，利用積分不等式，得到了新的時滯相關(guān)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。通過數(shù)值例子驗證了結(jié)果的有效性。

不確定線性系統(tǒng)；Lyapunov函數(shù)；時滯依賴；穩(wěn)定性

A

TP13；O213.2

10.3778/j.issn.1002-8331.1212-0016

LIAO Huimin,TAN Manchun.New stability criteria for uncertain linear systems.Computer Engineering and Applications,2014,50（22）：256-259.

廣東省自然科學(xué)基金（No.S201201001036）；廣東省科學(xué)計劃項目（No.2009B011400046）。

廖慧敏（1987—），男，碩士研究生，主要研究方向：系統(tǒng)優(yōu)化與控制；譚滿春（1968—），男，教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向：系統(tǒng)優(yōu)化與控制。E-mail：tanmc@jnu.edu.cn

2012-12-03

2013-02-18

1002-8331（2014）22-0256-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-03-13，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130313.0950.011.html