馮 振，郭 禾，王宇新，賈 棋，侯廣峰

(1. 大連理工大學(xué)軟件學(xué)院，遼寧 大連 1 16620；2. 大連理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 1 16024)

CS-MRI中稀疏信號(hào)支撐集混合檢測(cè)方法

馮 振1，郭 禾1，王宇新2，賈 棋1，侯廣峰1

(1. 大連理工大學(xué)軟件學(xué)院，遼寧 大連 1 16620；2. 大連理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 1 16024)

針對(duì)磁共振成像技術(shù)采樣過(guò)程過(guò)慢的問(wèn)題，給出一種新的基于壓縮感知的圖像重建方法。通過(guò)分析一種特殊的基于奇異值分解(SVD)的信號(hào)稀疏表示方法，提出一種結(jié)合稀疏信號(hào)位置和大小信息的支撐集混合檢測(cè)方法，并根據(jù)該方法改進(jìn)稀疏信號(hào)重建算法FCSA。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，在相同的欠采樣率下，改進(jìn)FCSA算法重建圖像的峰值信噪比(PSNR)比傳統(tǒng)的基于小波稀疏基的FCSA算法重建圖像的PSNR高2.21 dB～12.72 dB，比基于SVD稀疏基的FCSA算法重建圖像的PSNR高0.87 dB～2.05 dB，且重建時(shí)間從基于小波稀疏基的FCSA算法的103.21 s下降至改進(jìn)FCSA算法的36.91 s。

壓縮感知；磁共振成像；支撐集檢測(cè)；奇異值分解；稀疏信號(hào)；FCSA算法

1 概述

基于壓縮感知的磁共振成像技術(shù)(Compressed Se nsing-Magnetic Resonance Imaging CS-MRI)能夠以遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率的采樣頻率對(duì)目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行采集，從而極大降低采樣時(shí)間[1-2]。該技術(shù)自提出以來(lái)，得到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注。目前對(duì)CS-MRI的研究已經(jīng)擴(kuò)展到磁共振成像技術(shù)的各方面，如壓縮感知方法與并行成像技術(shù)的結(jié)合[3]、與動(dòng)態(tài)磁共振成像的結(jié)合[4]、與三維磁共振成像的結(jié)合[5]等。

FCSA(Fast C omposite Splitting Al gorithm)是一種有效的CS-MRI圖像重建方法[6]，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在同等欠采樣頻率和相似重建時(shí)間下，該方法能獲得比CG算法[7]、TVCMRI算法[8]和RecPF算法[9]等更好的重建效果。本文提出了一種基于支撐集檢測(cè)的FCSA方法(FCSA w ith Support)，該方法采用一種特殊的基于奇異值分解(Singular Value Decompo sition, SVD)的信號(hào)稀疏化方法[10]，并根據(jù)SVD稀疏信號(hào)的分布特性給出一種結(jié)合信號(hào)位置和大小信息的支撐集檢測(cè)方法。

2 CS-MRI方法

2.1 基于支撐集檢測(cè)的CS-MRI技術(shù)

在CS-MRI技術(shù)框架下，磁共振圖像可以通過(guò)滿足以下約束條件重建：

其中，矩陣x是磁共振圖像m經(jīng)過(guò)稀疏變換ψ得到的稀疏信號(hào)，即ψ-1(x)=m；uφ是欠采樣傅里葉變換，即首先對(duì)圖像m做傅里葉變換，然后欠采樣k空間信號(hào)；y是磁共振線圈采集到的k空間信號(hào)；ε則和線圈采樣過(guò)程中的噪音誤差相關(guān)。式(1)約束了信號(hào)的稀疏性，式(2)約束了信號(hào)的數(shù)據(jù)一致性。

基于支撐集檢測(cè)的CS-MRI技術(shù)是對(duì)傳統(tǒng)CS-MRI技術(shù)的一個(gè)改進(jìn)，該技術(shù)利用了稀疏信號(hào)在一些先驗(yàn)知識(shí)，即稀疏信號(hào)在某些已知的位置是非零的，或具有較大的信號(hào)值，則在做信號(hào)稀疏性約束時(shí)，便不需要考慮這些位置的信號(hào)。設(shè)這些已知位置的集合，即支撐集為Τ，信號(hào)中其他位置為Δ，則基于支撐集檢測(cè)CS-MRI技術(shù)可以通過(guò)約束以下條件重建磁共振圖像：

其中，xΔ表示了稀疏信號(hào)x中除支撐集Τ以外位置的信號(hào)。

2.2 結(jié)合信號(hào)位置和大小信息的支撐集檢測(cè)方法

求解稀疏信號(hào)的支撐集T是一個(gè)迭代求解不斷精確化的過(guò)程，前人的工作表明，支撐集T越精確，在同樣欠采樣頻率下重建出的圖像越好。支撐集有2種檢測(cè)方法：

(1)基于信號(hào)位置的方法，如文獻(xiàn)[11]在時(shí)域傅里葉信號(hào)的中心位置指定一個(gè)矩形作為為支撐集。

(2)基于信號(hào)大小的閾值方法，有2種閾值設(shè)定方法[12]：

傳統(tǒng)的CS-MRI技術(shù)使用小波變換作為稀疏基，而本文采用一種特殊的基于SVD的磁共振圖像稀疏表示方法。設(shè)m是目標(biāo)磁共振圖像，mu是m在k空間欠采樣后得到的圖像。對(duì)mu做SVD分解：

研究人員發(fā)現(xiàn)，欠采樣圖像mu的SVD矩陣Uu和Vu可以作為全采樣圖像m的稀疏基[10]，即：

如圖1所示，圖1(a)是全采樣圖像m，圖1(b)是欠采樣圖像mu，欠采樣率為1/5，圖1(c)表示了m的稀疏信號(hào)Sm?？梢钥闯?，基于SVD的磁共振圖像稀疏表示具有極強(qiáng)的分布特性，稀疏信號(hào)的較大值集中在了圖像的左上角和對(duì)角線附近。據(jù)此，本文提出一種結(jié)合稀疏信號(hào)位置和大小信息的支撐集檢測(cè)方法。

圖1 S VD分解圖像的稀疏表示方法

設(shè)所有位置信號(hào)的集合為?。?1)根據(jù)信號(hào)的位置信息，即該信號(hào)與原點(diǎn)及對(duì)角線的距離，將該信號(hào)劃分為Α1和Α2，其中，A1距離原點(diǎn)及對(duì)角線的距離小于某個(gè)給定的閾值，Α2=Α/ Α1；(2)使用顯著第一跳的方法確定本次迭代的閾值t(s)，在Α1集合中大于閾值t(s)的信號(hào)集合作為本次迭代的支撐集T，Α1中小于閾值t(s)的信號(hào)的集合與Α2的并集組成信號(hào)集合Δ，即Δ=A1/T+A2。

本文采用以下方法將信號(hào)集合Α劃分為Α1和Α2。設(shè)稀疏信號(hào)的一個(gè)像素點(diǎn)為xi，xi與原點(diǎn)(original)的歐式距離為，xi與對(duì)角線(diagonal)的歐式距離為，則xi的位置信息權(quán)值表示為其中，α, β是 2種距離的權(quán)值，且α, β＞0。

2.3 基于支撐集的FCSA算法

為重建磁共振圖像，F(xiàn)CSA算法將式(1)轉(zhuǎn)變?yōu)橐韵轮亟▎?wèn)題：

其中，k是迭代重建的次數(shù)；TV是對(duì)磁共振圖像的全變分操作；ρ、α和β是數(shù)據(jù)一致性、信號(hào)全變分稀疏性和信號(hào)L1稀疏性的平衡因子。

FCSA算法首先將變量x分裂為x1和x2，然后對(duì)x1和x2獨(dú)立地執(zhí)行運(yùn)算符分裂，最后將更新后的x1和x2線性組合在一起得到更新后的x。

基于支撐集的FCSA算法將式(6)轉(zhuǎn)換為以下重建問(wèn)題：

該算法可以采用類似于FCSA算法中變量分裂和運(yùn)算符分裂的方法重建信號(hào)x。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

全部實(shí)驗(yàn)在一臺(tái)筆記本上進(jìn)行，硬件配置為Intel i 7-3612QM處理器，6 GB內(nèi)存，軟件環(huán)境為Windows 7 64位，Matlab R2008a。

采用2幅磁共振圖像作為測(cè)試集，一幅為膝部圖片，如圖2(a)所示；一幅為乳房圖片，如圖2(b)所示。2幅圖片均由西門子公司1.5T磁共振系統(tǒng)采集獲得。將磁共振圖像在k空間內(nèi)欠采樣，欠采樣模板如圖3所示。在實(shí)驗(yàn)中，欠采樣率設(shè)置為1/4、1/5和1/6。作為對(duì)比實(shí)驗(yàn)，共使用了3種算法重建欠采樣圖像，即以小波變換(Daubechies-4)為稀疏基的FCSA算法(FCSA with Wavelet)、以SVD為稀疏基的FCSA算法(FCSA with SVD)和基于支撐集的FCSA算法(FCSA with Support)。

圖2 磁共振圖像

圖3 k空間欠采樣模板

表1記錄了上述3種算法在不同欠采樣率下重建得到的圖像的峰值信噪比(PSNR)。對(duì)相同的欠采樣圖像，F(xiàn)CSA with SVD算法和FCSA with Support算法都獲得了比FCSA with Wavelet算法更高的PSNR值。相比于FSCA with SVD算法，F(xiàn)CSA with Support算法根據(jù)檢測(cè)到的支撐集進(jìn)一步約束了信號(hào)的稀疏性，因此后者獲得了更高的PSNR值。

表1 重建圖像峰值信噪比

圖4顯示對(duì)欠采率為1/4的膝部圖像的重建效果。圖5顯示對(duì)欠采樣率為1/4的乳房圖像的重建效果。第1行為重建的圖像；第2行為重建圖像與原始圖像的差值圖，為更清晰地顯示重建錯(cuò)誤，圖中差值均擴(kuò)大了5倍。

圖4 欠采樣率為1/4的膝部圖像的重建效果

圖5 欠采樣率為1/4的乳房圖像的重建效果

從圖4、圖5可以看出，F(xiàn)CSA with SVD方法和FCSA with Support方法能夠比FCSA with Wavelet方法重建出質(zhì)量更好的圖像；同時(shí)也可以看出FCSA with Support方法重建的圖像具有比FCSA with SVD方法重建的圖像更小的重建錯(cuò)誤。

表2比較了上述3種方法對(duì)膝部和乳房圖像重建時(shí)，在不同欠采樣率下的平均重建時(shí)間。在實(shí)驗(yàn)中，F(xiàn)CSA算法的迭代次數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為50次，不同的信號(hào)稀疏變換方法導(dǎo)致了重建時(shí)間的差異。FCSA wi th W avelet方法使用了Daubechies-4小波作為稀疏基，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)對(duì)512×512的矩陣執(zhí)行Daubechies-4小波變換的平均時(shí)間為0.51 s；FCSA with SVD方法和FCSA with Support方法使用的基于SVD的信號(hào)稀疏方法需要對(duì)3個(gè)矩陣做2次連續(xù)的矩陣乘法運(yùn)算，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)對(duì)3個(gè)512×512的矩陣執(zhí)行2次連續(xù)矩陣乘法的平均時(shí)間為0.009 s，遠(yuǎn)小于小波變換所需時(shí)間；因?yàn)镕CSA with Support方法在約束信號(hào)稀疏性時(shí)需要在全部信號(hào)中選擇非支撐集信號(hào)，通過(guò)稀疏信號(hào)點(diǎn)乘以2值矩陣執(zhí)行該選擇操作，2值矩陣中0值表示支撐集信號(hào)的位置，該矩陣點(diǎn)乘操作(平均0.001 s)導(dǎo)致FCSA with Support方法比FCSA with SVD方法的執(zhí)行時(shí)間略長(zhǎng)。

表2 圖像重建平均時(shí)間 s

4 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)基于SVD稀疏基的磁共振圖像稀疏表示，提出一種結(jié)合了稀疏信號(hào)位置和大小信息的支撐集檢測(cè)方法，并根據(jù)該方法改進(jìn)了FCSA重建算法。本文實(shí)驗(yàn)證實(shí)，對(duì)于某些稀疏信號(hào)，其特殊的信號(hào)分布特性可以作為一種有效的先驗(yàn)知識(shí)用于欠采樣信號(hào)的重建。今后的研究重點(diǎn)有2個(gè)研究方向：(1)針對(duì)其他的稀疏基，研究其稀疏信號(hào)的分布特征，提出優(yōu)化的支撐集檢測(cè)方法；(2)本文方法經(jīng)過(guò)擴(kuò)展，可以應(yīng)用到解決磁共振并行成像、動(dòng)態(tài)成像和三維成像等問(wèn)題中。

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編輯 索書志

Hybrid Detection Method of Sparse Signal Support Set in CS-MRI

FENG Zhen1, GUO He1, WANG Yu-xin2, JIA Qi1, HOU Guang-feng1

(1. School of Software Technology, Dalian University of Technology, Dalian 116620, China; 2. School of Computer Science and Technology, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

Aiming at the problem of slow sampling time in Magnetic Resonance Imaging(MRI), a new Compressed Sensing(CS) method is proposed. Singular Value Decomposition(SVD)-based sparse representation is an effective but not widely studied method in the CS-MRI field. This sparse representation is improved using the partially known signal sup port method. A hybrid support d etection method is proposed to make use both the position and magnit ude knowledge of the sparse signals. This hybrid support detection method is f urther applied in Fast Composite Splitt ing Algorithm(FCSA), which is an effective reconstruction algorithm for CS-MRI problem. Experimental results show that the proposed FCSA algorithm outperforms the FCSA with Wavelet method and the FCS A with SVD method in th e reconstructed image qualities, its PSNR is 2.21 dB～12.72 dB higher than the FCSA with Wavelet method, 0.87 dB～2.05 dB higher than the FCSA with SVD method, and the reconstruction time is 36.91 s compared with 103.21 s of the FCSA with Wavelet method.

Compressed Sensing(CS); Magnetic Resonance Imaging(MRI); support set detection; Singular Value Decomposition(SVD); sparse signal; FCSA algorithm

10.3969/j.issn.1000-3428.2014.05.034

國(guó)家自然科學(xué)基金資助重點(diǎn)項(xiàng)目(61033012)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61003177)。

馮 振(1987－)，男，博士研究生，主研方向：圖像處理；郭 禾，教授；王宇新，副教授；賈 棋，講師；侯廣峰，助教。

2013-04-10

2013-06-03E-mail：fengz@mail.dlut.edu.cn

1000-3428(2014)05-0164-04

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