周 曉 軍

(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 廈門 361005)

分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,并逐漸成為一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域．分?jǐn)?shù)階微分算子與整數(shù)階微分算子不同,它具有非局部性,從而非常適合用來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)生活中具有記憶和遺傳特性的材料．譬如:分形和多孔介質(zhì)中的彌散[1-2],電容理論[3],電解化學(xué)[4],生物系統(tǒng)中的電導(dǎo)[5],黏彈性系統(tǒng)量子力學(xué)[6-7],混沌同步[8]等等．然而,在這一領(lǐng)域還有許多未解決的問(wèn)題,分?jǐn)?shù)階微分方程解的物理意義還沒(méi)有確切的解釋．盡管如此,這一新的領(lǐng)域仍然是科學(xué)工作者廣泛關(guān)注的焦點(diǎn)．我們知道,大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程是沒(méi)有準(zhǔn)確解的,即使有解,多半也是級(jí)數(shù)表示,非常不便于實(shí)際應(yīng)用,因此,設(shè)計(jì)有效穩(wěn)定的數(shù)值算法求解分?jǐn)?shù)階微分方程是迫切需要的．目前,分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法主要有變分迭代法[9]、同倫攝動(dòng)法[10-11]、Adomian分解法[12]、同倫分析法[13]、譜方法[14-15]等等．

Klein-Gordon方程是相對(duì)論量子力學(xué)和量子場(chǎng)論中的最基本方程,它是薛定諤方程的相對(duì)論形式,用于描述自旋為0的粒子，它是物理學(xué)中提出的一類非常重要的非線性發(fā)展方程,在數(shù)學(xué)物理、固態(tài)物理、非線性光學(xué)、量子場(chǎng)論[16]等領(lǐng)域有著極其重要的地位．關(guān)于它的理論和數(shù)值研究不斷呈現(xiàn),Li等[17]針對(duì)非線性Klein-Gordon方程,提出了一種保結(jié)構(gòu)的有限差分格式,即原問(wèn)題離散后,離散格式仍然保有連續(xù)問(wèn)題的能量守恒性質(zhì)．Bao等[18]對(duì)非相對(duì)論極限狀態(tài)下Klein-Gordon方程的數(shù)值算法做了詳盡分析和比較．

眾所周知,逼近論中常用正交多項(xiàng)式作為一組基底來(lái)表示微分方程的解．Legendre多項(xiàng)式在數(shù)值計(jì)算中被廣泛采用,陳一鳴等[19]運(yùn)用Legendre 多項(xiàng)式求解變系數(shù)的分?jǐn)?shù)階Fredholm積分微分方程．本文將用移位Legendre正交多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的有效數(shù)值算法,我們?cè)跁r(shí)間方向用有限差分格式,空間用移位Legendre正交多項(xiàng)式來(lái)逼近,并給出了算法的矩陣表示,便于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn),將該算法用于線性和非線性的空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程求解中．?dāng)?shù)值結(jié)果證實(shí)了所提出的算法是有效可行的．

1 問(wèn)題描述及一些記號(hào)

空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程為:

(x,t)∈(0,1)×(0,T)，

(1)

初始條件為:

u(x,0)=φ0(x),ut(x,0)=φ1(x),

(2)

邊界條件為:

u(0,t)=φ0(t),u(1,t)=φ1(t)，

(3)

其中m是不小于α的最小整數(shù),記為m=α．Dm是m階經(jīng)典導(dǎo)數(shù),Iμ是Riemann-Liouville積分算子,定義如下：

由Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義立即得到：

當(dāng)α>0,λ≥0時(shí),有[20]

(4)

從純粹數(shù)學(xué)角度來(lái)看,Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)比Caputo導(dǎo)數(shù)更受歡迎,但在工程和數(shù)值計(jì)算上,在處理具體的物理問(wèn)題時(shí),Caputo導(dǎo)數(shù)只需給出在初始條件下的經(jīng)典導(dǎo)數(shù)的值,這樣導(dǎo)數(shù)就有明確的物理意義,然而,Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)需給出未知解在初始條件下的一些分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的具體值,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可能沒(méi)有合適的物理意義,因此,人們更愿意采用Caputo導(dǎo)數(shù)．且由兩者的關(guān)系知道,在齊次條件下,Caputo導(dǎo)數(shù)和Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)是等價(jià)的．

2 移位Legendre多項(xiàng)式及其分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

眾所周知,Legendre多項(xiàng)式,記為{Ln(z)},z∈[-1,1],是由勒讓德方程的通解推導(dǎo)出來(lái)的,Ln(z)滿足以下的奇異Sturm-Liouville方程

1)Ln(z)=0,z∈[-1,1].

關(guān)于Legendre多項(xiàng)式的遞歸關(guān)系是

L0(z)=1,

L1(z)=z,

(5)

(6)

(7)

(8)

下面的定理給出了yN(x)的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式．

(9)

證明由Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義可知,它是一個(gè)線性算子,因此有

(10)

由式(4),易知,

當(dāng)k=m,…,N,

代入式(10)即得要證明的結(jié)果．

3 數(shù)值格式

問(wèn)題(1)中,由于1<α<2,故m=α=2.為了構(gòu)造方程的數(shù)值格式,首先逼近u(x,t)為

(11)

將式(11)代入式(1),并應(yīng)用定理1,得到

g(uN(x,t))=f(x,t),

(12)

g(uN(xi,t))=f(xi,t),

i=0,1,…,N-2.

(13)

將式(11)代入式(3)得到

(14)

式(13)和(14)構(gòu)成了N+1維常微分方程組,未知量為u0(t),u1(t),…,uN(t)．

pmk=

f(xi,t),i=0,1,…,N-2,n=1,2,…,M.

將上式與式(14)聯(lián)立,寫(xiě)為矩陣形式是

P(Un+1-2Un+Un-1)-QUn+1+

g(PUn+1)=Fn+1.

(15)

注意:這里的g(PUn+1)是將函數(shù)g作用到向量PUn+1的每個(gè)元素上．

下面計(jì)算初始值U0,U1．由式(11)知

那么由正交性質(zhì)(6)有

k=0,1,…,N.

(16)

又因?yàn)?/p>

整理上式,并再一次由正交性質(zhì)(6)得到

k=0,1,…,N,

(17)

那么由(16)、(17),再通過(guò)式(15)就能夠求出U2,U3,…,UM．

特別地,(i) 取N=3,g(u)=u時(shí),有

P=

P(Un+1-2Un+Un-1)-QUn+1+PUn+1=Fn+1．

即

(2P-Q)Un+1=2PUn-PUn-1+Fn+1.

(18)

利用初始值U0,U1,通過(guò)式(18)容易求出U2,U3,…,UM．

(ii) 取N=3,g(u)=u3時(shí),有

P(Un+1-2Un+Un-1)-QUn+1+

(PUn+1)3=Fn+1.

(19)

這是一個(gè)非線性的方程組,可以通過(guò)Newton迭代法來(lái)進(jìn)行求解．

4 數(shù)值算例

首先,我們來(lái)看看分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程與整數(shù)階Klein-Gordon方程解之間的關(guān)系:

例1 考慮整數(shù)階Klein-Gordon方程:

圖1 T=1,α=1.3,1.5,1.7,1.9,1.99,2,Δt=10-5,N=4時(shí)的解Fig.1 The solutions of (20) for T=1,α=1.3,1.5,1.7,1.9,1.99,2,Δt=10-5,N=4

(x,t)∈(0,1)×(0,1)，

(20)

其中f(x,t)=-2x(x3-x2-6x+3)e-t,精確解為:u(x,t)=x3(1-x)e-t．

接下來(lái),為了測(cè)試算法的有效性,用提出的數(shù)值格式(15)求解分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程．

例2 線性分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程

u(x,t)=x3(1-x)e-t．

為了觀察解的精度,圖2給出了數(shù)值解與它的精確解的對(duì)比,從圖中可以看出采用本文數(shù)值算法求得的數(shù)值解較好地?cái)M合了精確解,數(shù)值算例進(jìn)一步驗(yàn)證了文中所給方法的可行性與有效性．

我們計(jì)算誤差error=‖u(x,T)-uN(x,T)‖L2隨著多項(xiàng)式次數(shù)變化的情況,見(jiàn)表1.我們?nèi)r(shí)間步長(zhǎng)為Δt=10-5,當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)由3變?yōu)?時(shí),誤差變化是極快的,在這里,由于時(shí)間僅僅是一階逼近,所以多項(xiàng)式繼續(xù)變化時(shí),解的誤差也不會(huì)繼續(xù)縮小,這是符合實(shí)際情況的．值得指出的是,這里僅用4次正交多項(xiàng)式就能達(dá)到比較高的精度,說(shuō)明數(shù)值格式是有效可行的．表2示出了固定多項(xiàng)式階數(shù)為N=4時(shí),不同的時(shí)間步長(zhǎng)下誤差的變化情況,從所列結(jié)果可以看出,誤差隨著時(shí)間步長(zhǎng)的減小而急劇變小,說(shuō)明算法是收斂的．

圖2 T=1,α=1.2,Δt=10-5,N=4時(shí)數(shù)值解 與準(zhǔn)確解的比較Fig.2 The compare of numerical and exact solution for T=1,α=1.2,Δt=10-5,N=4.

例3 非線性分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程

(0,1)×(0,1)，

表2 T=1,Δt=10-1,10-2,10-3,10-4,10-5, α=1.2,1.5,1.8,N=4時(shí)的L2誤差Tab.2 The L2 error to example 2 at T=1 for different α and Δt with N=4

為了進(jìn)一步測(cè)試算法的可靠性,我們對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程利用提出的數(shù)值格式作了測(cè)試．由于問(wèn)題是非線性的,計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng),所以數(shù)值結(jié)果中的時(shí)間步長(zhǎng)只取到Δt=10-4,結(jié)果見(jiàn)表 3和表 4．

表3 T=1,Δt=10-4,α=1.2,1.5,1.8,N=3,4時(shí)的L2誤差Tab.3 The L2 error to example 3 at T=1 for different α and N with Δt=10-4

表4 T=1,Δt=10-1,10-2, 10-3,10-4,α=1.2,1.5,1.8,N=4時(shí)的L2誤差Tab.4 The L2 error to example 3 at T=1 for different α and Δt with N=4

5 結(jié) 論

本文利用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的特點(diǎn)以及正交多項(xiàng)式的良好性質(zhì),提出了時(shí)間用有限差分,空間用移位Legendre正交多項(xiàng)式來(lái)逼近求解空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的算法．得到的數(shù)值格式簡(jiǎn)單,編程實(shí)現(xiàn)容易．運(yùn)用較低的多項(xiàng)式次數(shù)就得到了對(duì)解很好的逼近．從算法的推導(dǎo)可以看出,該算法可以推廣到二維和三維情形．文中給出的數(shù)值算例驗(yàn)證了上述算法的有效性和可行性．

[1] Kusnezov D,Bulgac A,Dang G.Quantum levy processes and fractional kinetics[J].Physical Re-view Letters,1999,82(6):1136-1139.

[2] Mainardi F.Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena[J].Chaos Solitons Fractals,1996,7(9):20-31.

[3] Ichise M,Nagayanagi Y,Kojima T.An analog simulation of non-integer order transfer functions for analysis of electrode processes[J].J Electroanal Chem Interfacial Electrochem,1971,33:253-265.

[4] Sun H,Abdelwahab A,Onaral B.Linear approximation of transfer function with a pole of fractional power[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1984,29(5):441-444.

[5] Cole K.Electric conductance of biological systems[J].Cold Spring Harb Symp Quant Biol,1933,1:107-116.

[6] Mainardi F.Fractional calculus:some basic problems in continuum and statistical mechanics[J].Course and Lectures-international Centre for Mechanical Sciences,1997,378:291-348.

[7] Rossikhin Y,Shitikova M.Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids[J].Applied Mechanics Reviews,1997,50:15-67.

[8] Deng W.Generalized synchronization in fractional order systems[J].Physical Review E,2007,75(5):1-7.

[9] He J H.Approximate analytical solution for seepage flow with fractional derivatives in porous media[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1998,167(1):57-68.

[10] El-Sayed A M A,Elsaid A,Hammad D.A reliable treatment of homotopy perturbation method for solving the nonlinear Klein-Gordon equation of arbitrary (fractional) orders[J].Journal of Applied Mathematics,2012,2012:1-13.

[11] Sweilam N H,Khader M M,Al-Bar R F.Numerical studies for a multi-order fractional differential equation[J].Physics Letters A,2007,371:26-33.

[12] Jafari H,Daftardar-Gejji V.Solving linear and nonlinear fractional diffusion and wave equations by ADM[J].Appl Math and Comput,2006,180:488-497.

[13] Hashim I,Abdulaziz O,Momani S.Homotopy analysis method for fractional IVPs[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simul,2009,14:674-684.

[14] Lin Y M,Xu C J.Finite difference/spectral approximation for the time fractional diffusion equations[J].J Comp Physics,2007,2(3):1533-1552.

[15] Li X J,Xu C J.A space-time spectral method for the time fractional diffusion equation[J].SIAM J Numer Anal,2009,47:2108-2131.

[16] Wazwaz A M.Compacton solitons and periodic solutions for some forms of nonlinear Klein-Gordon equations[J].Chaos,Solitons and Fractals,2006,28(4):1005-1013.

[17] Li S,Vu-Quoc L.Finite difference calculus invariant structure of a class of algorithms for the nonlinear Klein-Gordon equation[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,1995,32(6):1839-1875.

[18] Bao W,Dong X.Analysis and comparison of numerical methods for the Klein-Gordon equation in the nonrelativistic limit regime[J].Numerische Mathematik,2012,120(2):189-229.

[19] 陳一鳴,孫慧,劉樂(lè)春,等.Legendre 多項(xiàng)式求解變系數(shù)的分?jǐn)?shù)階Fredholm積分微分方程[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2013,48(6):80-86.

[20] Diethelm K.The analysis of fractional differential equations:an application-oriented exposi-tion using differential operators of Caputo type[M].Berlin:Springer,2010.