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(沂南教育局 山東沂南 276399)

“未來的文盲不是不能閱讀的人，而是沒有學會學習的人”.未來的競爭不僅僅是知識量的競爭，更是學習能力的競爭.怎樣才能讓學生掌握“會學習”的本領(lǐng)從而具有較強的學習能力呢？實施問題解決策略是有效途徑之一.

1 對問題解決的再認識

“問題解決”是1990年4月美國數(shù)學教師聯(lián)合會(NCTM)在“關(guān)于行動的議程”報告中提出來的，該報告對問題解決的意義作了3點說明：第一，問題解決包括將數(shù)學應用于現(xiàn)實世界，為現(xiàn)時和將來出現(xiàn)的科學理論與實際服務，拓廣數(shù)學科學本身前沿的問題；第二，問題解決從本質(zhì)上說是一種創(chuàng)造性的活動；第三，問題解決能力的發(fā)展，其基礎(chǔ)是虛心、好奇和探索的態(tài)度，是進行試驗和猜測的意向;等等.

許多數(shù)學教育學家對問題解決的含義進行了探討，比較一致的認識主要有：

(1)問題解決是心理活動.問題解決指的是人們在日常生活和社會實踐中，面臨新情境、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾卻沒有現(xiàn)成對策時，所引起的尋求處理問題辦法的一種心理活動.

(2)問題解決是一個過程.問題解決是把前面學到的知識運用到新的情境中的過程.

(3)問題解決是一種教學形式.應將“問題解決”的活動形式看作教和學的形式，不應將其看成課程所附加的東西.

(4)問題解決是目的.學習數(shù)學的主要目的在于問題解決.

(5)問題解決是一種數(shù)學能力.在1982年考克羅夫特(Cockeroft)報告中提出：“那種把數(shù)學用之各種情況的能力，叫做問題解決.”

我國的《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標2011年版》)提出3條課程“總目標”后，又從知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度這4個方面作出了具體的闡述，其中針對“問題解決”，是這樣強調(diào)的：

(1)初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；

(2)獲得分析和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；

(3)學會與他人合作交流；

(4)初步形成評價與反思的意識.

綜上所述，問題解決是數(shù)學課程的目標，是一種能力，是一個發(fā)現(xiàn)、探索的過程.學生借此過程可以真正認識、感悟和理解數(shù)學，是培養(yǎng)學生學會自主學習的一個重要手段.

2 作為“問題解決”的數(shù)學題的特征

培養(yǎng)學生的各種數(shù)學能力都離不開解題，數(shù)學能力是伴隨解題過程逐步形成和發(fā)展起來的.實施問題解決教學的“問題”不同于一般的數(shù)學題.羅增儒教授認為，這樣的數(shù)學題具有如下特征：

(1)接受性：學生有解決它的知識和能力基礎(chǔ)，題目有激發(fā)解題心向的因素(比如趣味性和魅力)；

(2)障礙性：“對人具有智力挑戰(zhàn)特征”，學生不能直接看出它的解法和答案，需要經(jīng)過數(shù)學思考，綜合地運用各種數(shù)學知識和方法才能解決；

(3)探究性：“沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法”，學生不能簡單地模仿現(xiàn)成的公式或沿用常規(guī)的解題套路，需要進行觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等探究活動才能解決；

(4)情境性：往往不是簡單的“已知—求解”模式，而常常是給出一種實際情境，通過數(shù)學化的手段，建立相關(guān)的數(shù)學模型來解決，其中隱含的數(shù)學問題要學生自己去提出、求解并作出解釋；

(5)開放性：條件可以多余，答案不必唯一(也可以沒有終極的答案)，解決方法多樣，各種水平的學生都有機會由淺入深地作出一定程度的回答，當然不一定都能給出最終的解答.

具體針對某一個數(shù)學題來說，它不一定同時具備這些特征，但只要能具備其中的2個以上，就是一個很好的問題.

這是2014年山東省青島市數(shù)學中考試題.本題文字敘述較長，為敘述方便，我們用下面幾個部分給出：

2.1 原題呈現(xiàn)

探究問題為解決上面的數(shù)學問題，我們運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究.

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)2等分，……；

……

圖1

根據(jù)第n次分割圖可得等式：

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)3等分，……；

……

圖2

根據(jù)第n次分割圖可得等式

2邊同除以2，得

(仿照上述方法，在圖3中畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程.)

圖3 圖4

(在圖4中畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空.)

2.2 特點分析

(2)障礙性：針對要求的問題，部分學生無從下手.一時難以直接看出它的解法和答案，需要仔細閱讀前2個探究活動的解答過程，利用類似的方法經(jīng)過一定的數(shù)學思考，借助圖形的直觀性才能得以解決.

(4)情境性：最后就是通過一系列的探究活動，在圖4中畫出第n次分割圖，并且根據(jù)第n次分割圖，得到等式

從而得到模型通解

(5)開放性：可能有部分學生不能給出全部的解答，但就探究3來說，各種水平的學生都能仿照探究1和探究2作出回答.

基于以上分析，本題對于考查學生問題解決能力具有重要的教學價值.

2.3 分析與解答

本題分為“數(shù)學問題—探究問題—解決問題—拓廣應用”這4個部分，題目敘述篇幅較長，需要學生有很強的閱讀理解能力.

并且在它2邊同除以2，得

這2個探究活動是第二部分的關(guān)鍵，相當于教科書中的“例題”，目的是讓學生掌握探究一類計算問題的通用方法，學會根據(jù)面積的大小分割圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，積累探究經(jīng)驗.

2邊同除以3，得

從而

這是一個關(guān)于這類問題的模型通解.

然后在上面的模型通解中令m=5即可.

2.4 試題點評

本題主要考查學生的閱讀理解能力、觀察分析能力以及書面表達能力，對于培養(yǎng)學生的數(shù)學綜合能力非常有益.從思想方法角度看，主要用到了數(shù)形結(jié)合的思想，這是一種重要的數(shù)學方法，它在處理一些問題時，具有“柳暗花明又一村”的功效.這樣的考題體現(xiàn)了《課標2011年版》的課程理念，應成為教師培養(yǎng)學生觀察能力、發(fā)現(xiàn)能力、探究等綜合數(shù)學能力的首選例題.

3 培養(yǎng)學生問題解決能力的主要方法

3.1 激發(fā)學生的學習興趣

愛因斯坦有句至理名言：“興趣是最好的老師.”如果一個學生連學習數(shù)學的興趣都沒有，那么培養(yǎng)他的問題解決能力是不可能的.《課標2011年版》非常注重培養(yǎng)學生的學習興趣，指出“數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，調(diào)動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維.”學生原本對客觀世界就有濃厚的好奇心，數(shù)學教學應該努力把學生的這種好奇心引導到探索事物的數(shù)量關(guān)系和空間位置關(guān)系上來，有了這種探索精神，就很容易自覺地去創(chuàng)新一些方法，從而實現(xiàn)問題解決的目的.

3.2 強化“四基”教學

“四基”是指《課標2011年版》界定的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗.強調(diào)“四基”有兩重含義：首先，中學教育是基礎(chǔ)教育，許多知識將在學生進一步學習中得到應用，有為學生進一步深造打基礎(chǔ)的任務，因而不能要求所學的知識立即在實際中都能得到應用.其次，要解決任何一個問題，必須具有相關(guān)的基礎(chǔ)知識和基本技能，并且會利用一些基本的數(shù)學思想，能借鑒基本的數(shù)學活動經(jīng)驗.事實上，學生問題解決能力和學習能力是伴隨著他對“四基”的掌握程度而逐漸提高的.因此，必須強化“四基”的教學，為此，教師應當把數(shù)學概念的建立過程、運算法則及定律的歸納過程、數(shù)學命題的發(fā)現(xiàn)過程、解(證)數(shù)學問題時思路的分析過程等充分地“暴露”給學生.

例2無理數(shù)的建立過程.

無理數(shù)對初學的學生來說是一個難點內(nèi)容.在引入這個概念前，教師應設(shè)法讓學生感受到無理數(shù)是確實存在的數(shù).我們以計算邊長為突破口用下面的問題引導學生去思考：

(1)作一個腰長是1的等腰直角△ABC，利用勾股定理，你能計算出斜邊AB的長嗎？

這樣引入無理數(shù)概念，學生自然經(jīng)歷了如下的過程：面對問題→感受新數(shù)(體現(xiàn)出擴充數(shù)系的必要性)→探究新數(shù)特點(體現(xiàn)出擴充數(shù)系的合理性)→作出定義→數(shù)學能力得到進一步發(fā)展.學生經(jīng)歷了上述探索過程，不僅能理解、掌握無理數(shù)的意義，而且還能借助學習無理數(shù)所獲得的數(shù)學活動經(jīng)驗，科學地探究其他相關(guān)的數(shù)學問題，這一點對于培養(yǎng)學生的問題解決能力是非常必要的.我們的教學如果能盡量把教學內(nèi)容以“問題”的形式展示給學生，引導他們對所給的問題進行觀察、分析、猜測、實驗、驗證，那么學生的問題解決能力必將得到“空前”的發(fā)展.

3.3 創(chuàng)造情境引導學生去探索、猜想、發(fā)現(xiàn)

學生學習的過程本身就是一個問題解決的過程.對于一些規(guī)律性的內(nèi)容，在不違背數(shù)學知識邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)上，根據(jù)學生的數(shù)學學習認知規(guī)律、知識背景和活動經(jīng)驗，合理地設(shè)計問題，引導學生圍繞問題進行觀察、分析、綜合、推理、判斷等思維活動，在活動的過程中發(fā)現(xiàn)、歸納得到有關(guān)的規(guī)律、法則等.

案例3判定一次函數(shù)關(guān)系的過程.

我們知道，世界各國溫度之間的計量單位尚不統(tǒng)一，常用的有攝氏溫度(℃)和華氏溫度(℉).它們之間的關(guān)系如表1所示：

表1 攝氏溫度和華氏溫度之間的關(guān)系

(1)觀察表1，如果把表中的攝氏溫度與華氏溫度都看作變量，那么它們之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)嗎？你是如何探索得到的？

圖5

(2)你能利用第(1)小題中的圖像，寫出y與x的函數(shù)表達式嗎？

(3)你能通過分析表1中2個變量間的數(shù)量關(guān)系，判定它們之間是一次函數(shù)關(guān)系嗎？

(4)你能求出華氏溫度為0度(即0℉)時，攝氏溫度是多少度嗎？

(5)華氏溫度的值與對應的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？你會用哪幾種方法解決這個問題？與同學交流.

設(shè)計意圖探究和確定某個函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)是比較難的問題，也是很有價值的問題.我們以華氏溫度與攝氏溫度為素材，直接給出了它們之間的對應關(guān)系表，并提出了一系列的問題.首先引導學生用待定系數(shù)法根據(jù)函數(shù)圖像上的點確定一次函數(shù)表達式.并且能根據(jù)已有經(jīng)驗以表中每一對(x，y)(用x表示攝氏溫度，y表示華氏溫度)的值作為點的坐標，在直角坐標系中描出表中相應的點，畫出圖5所示的圖像，根據(jù)直線上2個點的坐標確定出一次函數(shù)表達式.然后引導學生從計算2個變量對應數(shù)值之差的比入手，判定一個函數(shù)是一次函數(shù)(具體過程略).

由于問題解決中所指的問題比較新穎，似乎無規(guī)律可循，使得學生沒有現(xiàn)成的對策，因而需要進行創(chuàng)造性地思考、探究、猜測等活動.只要學生具有扎實的基礎(chǔ)知識和基本技能，掌握一些探究數(shù)學問題的經(jīng)驗和方法，就不難解決.長期堅持這樣的訓練，學生的問題解決能力將不斷得到提高，并且逐漸形成和提高自己學習的能力.

參 考 文 獻

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[3] 李樹臣.數(shù)學課堂教學改革的特點[J].中學數(shù)學雜志，2011(4)：1-5.

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