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      基本功顯內(nèi)力 創(chuàng)造力解新題
      ——例析導(dǎo)數(shù)背景下如何證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題

      2014-08-08 03:24:00
      中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2014年12期
      關(guān)鍵詞:壓軸正整數(shù)實(shí)數(shù)

      (黃陂一中盤(pán)龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

      在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題背景下證明含有正整數(shù)的不等式問(wèn)題,一般都設(shè)置有幾個(gè)小題,最后證明不等式.這類問(wèn)題一般可以用數(shù)學(xué)歸納法或者不等式適當(dāng)放縮進(jìn)行證明.命題者通常還有一個(gè)重要意圖是利用前幾個(gè)小題中已經(jīng)得出的結(jié)論,充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力,把函數(shù)中的變量x用含有n的式子進(jìn)行替換,再通過(guò)適當(dāng)變形證明不等式.但是如何替換及變形對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn),應(yīng)該怎樣突破呢?下面歸類分析,幫助學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題.

      1 證明含有二元正整數(shù)的不等式

      (1)求實(shí)數(shù)a的值;

      分析(1)a=1.

      (2)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),(1,+∞).

      亦即

      因?yàn)閙>n>1,由第(2)小題可知g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以

      g(m)>g(n),

      點(diǎn)評(píng)含2個(gè)變?cè)牟坏仁?,通過(guò)變形(2邊取對(duì)數(shù)、取倒數(shù)等),把它變形為一個(gè)函數(shù)f(x)背景下2個(gè)函數(shù)值的大小f(m)≥f(n)(或f(m)≤f(n))形式,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.

      2 證明含有一元正整數(shù)的不等式

      2.1 直接替換,再求和

      (1)當(dāng)a=2時(shí),試比較f(x)與1的大??;

      分析(1)當(dāng)a=2時(shí),

      ①當(dāng)x>1時(shí),f(x)>1;

      ②當(dāng)0

      ③當(dāng)x=1時(shí),f(x)=1.

      (2)根據(jù)第(1)小題的結(jié)論,當(dāng)x>1時(shí),

      從而

      于是

      點(diǎn)評(píng)含有一元正整數(shù)不等式的證明,且是求和形式,可聯(lián)想

      2.2 替換,放縮,再求和

      分析(1)實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,2].

      (2)由第(1)小題,當(dāng)x≥1時(shí),

      從而

      將以上不等式2邊分別相加,得

      但與所證結(jié)果有“距離”,再?gòu)挠疫呌^察推理,需將替換后的式子進(jìn)行一次放縮,即

      再2邊求和,不等式得證.

      2.3 “巧”替換,“活”變形,再求和

      例4已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1(其中a>0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

      (1)求函數(shù)f(x)的最小值;

      (2)若f(x)≥0對(duì)任意的x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的值;

      (3)在第(2)小題的條件下,證明:

      分析(1)f(x)的最小值為

      f(lna)=elna-alna-1=a-lna-1.

      (2)f(x)≥0對(duì)任意的x∈R恒成立,即在x∈R上,f(x)min≥0,易得a=1.

      (3)由第(2)小題知,因?yàn)閍=1,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有

      ex-x-1≥0,

      1+x≤ex.

      e-(n-1)+e-(n-2)+e-(n-3)+…+e-2+e-1,

      e-(n-1)+e-(n-2)+e-(n-3)+…+e-2+e-1+1=

      此時(shí)“順序顛倒”著出現(xiàn)結(jié)果,不等式得證.

      2.4 替換,變形,添(減)項(xiàng)

      (1)用a表示b,c;

      (2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

      (2010年湖北省數(shù)學(xué)高考理科壓軸題)

      解得

      其中x≥1,當(dāng)x=1時(shí)取到等號(hào).當(dāng)x>1時(shí),

      依次令k=1,2,3,…,n,得

      各式相加得

      原不等式得證.

      2邊求和得到不等式

      2.5 執(zhí)果索因,恰當(dāng)替換,“活”變形,“巧”構(gòu)造

      例6已知函數(shù)g(x)=x2-(2a+1)x+alnx.

      (1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

      (2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;

      (3)在第(1)小題的條件下,設(shè)f(x)=g(x)+4x-x2-2lnx,證明:

      (參考數(shù)據(jù):ln2≈0.693 1.)

      (2)函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞增,則a≤1.

      由x∈[2,+∞),h′(x)<0,得

      k-f(k)=lnk,

      此時(shí)右邊如何得到是難點(diǎn).從要證明的結(jié)果分析,要“善”變形,如

      也即

      “巧”構(gòu)造函數(shù)

      2.6 “靈活”變形,“恰當(dāng)”賦值,“疊加”求和

      例7設(shè)n是正整數(shù),r是正有理數(shù).

      (1)求函數(shù)

      f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1

      (其中x>-1)的最小值;

      (2)證明:

      (2013年湖北省數(shù)學(xué)高考理科壓軸題)

      分析(1)f′(x)= (r+1)(1+x)r-(r+1)=

      (r+1)[(1+x)r-1],

      從而f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,得

      f(x)min=f(0)=0.

      (2)由第(1)小題知:當(dāng)x>-1時(shí),

      (1+x)r+1>(r+1)x+1(伯努利不等式),

      所證不等式即為

      若n≥2,則

      nr+1-(r+1)nr<(n-1)r+1,

      從而

      (1)

      因?yàn)?/p>

      所以

      故式(1)成立.

      若n=1,則nr+1-(r+1)nr<(n-1)r+1顯然成立.由

      nr+1+(r+1)nr<(n+1)r+1,

      (2)

      因?yàn)?/p>

      所以

      故式(2)成立.原不等式成立.

      (3)由第(2)小題可知:當(dāng)k∈N*時(shí),

      210.225,

      210.9,

      于是

      [S]=211.

      再用疊加法求和.

      在導(dǎo)數(shù)背景下含正整數(shù)的證明問(wèn)題,作為壓軸題其解答方法雖然很多,但是在高考中能新穎別致、頗具創(chuàng)意地完整解答的學(xué)生很少,大部分學(xué)生會(huì)采用通性通法.壓軸題的命題思路,往往是環(huán)環(huán)相扣,“遞進(jìn)”式設(shè)問(wèn),既能考查學(xué)生的功力,又能考查學(xué)生的靈性,讓優(yōu)秀的學(xué)生能脫穎而出.但是在高考有限時(shí)間內(nèi)真正能做對(duì)做全的學(xué)生極少,學(xué)生常常在關(guān)鍵位置“迷路”.因此教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)壓軸題的研究,幫助學(xué)生逐步掌握解答壓軸題的策略,學(xué)生也就不會(huì)望而生畏,更不會(huì)果斷放棄.學(xué)生在平時(shí)的備考復(fù)習(xí)中要增強(qiáng)信心,多思考、多積累,從而提高壓軸題的得分率.

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      1.1 實(shí)數(shù)
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