張超,陳天寧,王小鵬,陳衛(wèi)華,2

(1.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室, 710049, 西安;2.蘭州理工大學機電工程學院, 730050, 蘭州)

顆粒阻尼線性離散元模型參數(shù)的選取方法

張超1,陳天寧1,王小鵬1,陳衛(wèi)華1,2

(1.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室, 710049, 西安;2.蘭州理工大學機電工程學院, 730050, 蘭州)

為了研究不同形式顆粒阻尼的減振特性及其在旋轉條件下的阻尼效果,建立顆粒阻尼的線性離散元模型,提出了一種顆粒接觸線性模型的參數(shù)選取方法。根據(jù)Hertz接觸非線性模型,假設顆粒相對運動在達到屈服極限時,Hertz接觸模型接觸力所做的功和線性模型接觸力所做的功相等,對顆粒接觸的力和位移的關系進行了線性化處理;利用離散元法對重力場下不同材料的非阻塞性顆粒阻尼(NOPD)、柔性約束顆粒阻尼和旋轉條件下的NOPD進行建模;根據(jù)顆粒材料的屈服強度、泊松比、彈性模量等物理屬性確定了仿真計算的相關接觸參數(shù)。與實驗確定顆粒接觸參數(shù)的方法相比,所提方法適用范圍更廣。數(shù)值計算結果與實驗結果在趨勢和數(shù)值上吻合得較好,為顆粒阻尼的進一步研究奠定了基礎。

顆粒阻尼;離散元;參數(shù)選取;線性模型

傳統(tǒng)阻尼技術如粘彈性阻尼、摩擦阻尼等容易受到溫度、腐蝕、老化等因素的影響,從而限制了其在惡劣環(huán)境下的使用[1]。顆粒阻尼由于其結構簡單,減振頻帶寬,受溫度、強輻射條件影響很小,而且不易老化,因此得到了人們的廣泛關注[2]。

顆粒阻尼是將金屬或者非金屬顆粒按一定的填充比填充到一個空腔結構內,通過顆粒之間以及顆粒與空腔內壁之間的非彈性碰撞、摩擦和動量交換來消耗系統(tǒng)的動能,從而達到減振的目的[3]。顆粒阻尼已經成功應用于航天飛機發(fā)動機分流葉片、齒輪機組、筋板類等不同結構,其減振效果明顯[4]。

顆粒阻尼器的振動耗能機理非常復雜,目前相關的研究很多,如功率流法、內蘊時間理論、湍流理論等[5-7]。離散元法(DEM)是研究顆粒材料的一種常用方法,其核心是接觸模型,目前最常用的接觸模型是Hertz-Mindlin非線性接觸模型。宏觀上,在與顆粒碰撞實驗進行對比時,線性模型得到的碰撞力、碰撞速度以及回彈角等參數(shù)與沖擊角度之間的關系與實驗結果吻合較好。力、速度和位移等參數(shù)隨時間的微觀變化,以Maw的理論結果(計算耗時較長)為準確值,原則上Hertz-Mindlin非線性模型反映碰撞參數(shù)細節(jié)更多,但是采用線性模型仍取得了比較準確的結果,因此當參數(shù)設置比較準確時,線性模型比復雜的非線性模型所得的結果更加準確[8],而且在線性模型的基礎上更加容易對顆粒進行處理,如對柔性約束顆粒阻尼的柔性邊界的建模[9]。目前,關于顆粒阻尼線性模型參數(shù)選取的研究較少,雖然研究表明相關參數(shù)與顆粒材料的性能有關,但是如何選取還缺少比較系統(tǒng)的方法[8]。本文在對Hertz非線性接觸模型進行線性化處理的基礎上,提出了一種較為完整的顆粒阻尼離散元線性模型參數(shù)的選取方法,并通過與實驗結果對比驗證了其有效性。

1 顆粒阻尼離散元模型

離散元是計算顆粒材料力學以及運動特性的一種常用的數(shù)值方法[10],最早是由Cundall和Strack于1979年提出的。離散元法將顆粒材料視為不連續(xù)體,利用牛頓第二定律建立每個顆粒單元的運動方程,用動態(tài)松弛迭代求解各顆粒單元的運動方程,從而得到顆粒材料整體的運動形態(tài)。離散元法的核心是接觸模型[11-12],它將顆粒之間以及顆粒與腔壁之間的法向接觸簡化為一個彈簧阻尼結構,將切向結構簡化為一個彈簧阻尼結構和一個滑動摩擦器結構,結構原理如圖1所示。當2個顆粒之間的切向力大于最大靜摩擦力時,兩顆粒產生相對滑動,此時滑動摩擦器起作用,否則,彈簧阻尼器起作用。

(a)顆粒與腔體之間的接觸模型 (b)顆粒之間的接觸模型kn:法向接觸剛度;cn:法向接觸阻尼系數(shù);ks:切向接觸剛度;cs:切向接觸阻尼系數(shù);μ:摩擦系數(shù)

每個顆粒的運動都是由作用在其上的合力和合力矩決定的,在任意時刻t,每一個顆粒的運動都可由牛頓第二定律得到。每個顆粒的運動都可以分為平移和轉動,t時刻顆粒的加速度和角加速度分別為

(1)

(2)

式中:Ft為顆粒i在t時刻所受的力;Mt為顆粒i在t時刻所受的力矩;mi、Ii分別為顆粒i的質量和轉動慣量。t時刻顆粒的加速度和角加速度可以用中心差分的格式表示如下

(3)

(4)

將式(1)、式(2)帶入式(3)、式(4)中,顆粒i在t+Δt/2時刻的速度和角速度分別為

(5)

(6)

最終可以得到在t+Δt時刻的顆粒的位移及角位移

(7)

(8)

從而得到顆粒的新位置,以及新產生的接觸力和力矩。通過這一循環(huán)過程,可以得到每個顆粒單元的運動軌跡和顆粒阻尼的整體運動特性,其計算流程如圖2所示。

圖2 顆粒阻尼離散元法的計算流程

2 顆粒阻尼線性模型參數(shù)的選取方法

研究表明[8],線性顆粒阻尼模型具有更加準確的研究效果,而且更加適合后期對不同形式以及不同環(huán)境下的顆粒進行處理。本文是在Hertz接觸模型的基礎上對接觸力和位移的關系進行了線性化處理,并對整體線性模型的參數(shù)選取進行了研究。在此首先對Hertz接觸模型進行簡單的介紹[13]。

2.1Hertz接觸模型

根據(jù)Hertz接觸理論,球形顆粒在相互接觸時的接觸面為圓,顆粒之間的法向接觸力與法向位移的關系為

(9)

(10)

2.2 線性模型

在線性模型中其接觸力與位移之間是線性關系,本文采用的是基于Hertz接觸理論的線性化方法。對于球形顆粒接觸,假設在接觸重疊位移達到屈服極限時線性模型法向力所做的功等于Hertz接觸模型法向力所做的功[14],即

(11)

(12)

(13)

ce是法向位移量z與接觸半徑a之比的函數(shù),即

(14)

式中:v為顆粒材料的泊松比。

對于顆粒接觸的切向剛度ks,可以由剛度折算系數(shù)γ進行計算[8],即ks=γkn

(15)

(16)

式中:Gi、Gj為顆粒i、j接觸時的剪切模量。假設法向阻尼與切向阻尼相等,通過下式可以計算顆粒間的阻尼比

(17)

式中:e為顆粒之間的恢復系數(shù)。

3 數(shù)值計算結果與實驗對比

根據(jù)上述參數(shù)的選取方法,本文對顆粒阻尼中的非阻塞性顆粒阻尼(NOPD)和柔性約束顆粒阻尼,以及在旋轉條件下的非阻塞性顆粒阻尼進行了離散元建模,通過與實驗結果進行對比驗證了該方法的可靠性。模型參數(shù)通過軟件Matlab進行計算,而顆粒阻尼模型采用離散元軟件PFC 3D進行建模仿真。

3.1 非阻塞性顆粒阻尼的離散元模型

非阻塞性顆粒阻尼對于懸臂類結構的沖擊振動具有良好的減振效果,參考Saeki的實驗[15]對NOPD進行了仿真計算,對比了不同材料顆粒的減振效果。實驗采用的裝置是亞克力材料制成的結構,與板彈簧組成了一個單自由度彈簧質量系統(tǒng),腔體為58 mm×38 mm×38 mm的矩形腔體,其主質量M=0.293 kg,阻尼系數(shù)c=0.116 N·s/m,彈簧剛度k=1 602.7 N/m。

本文分別對比了鉛粒、SUS304不銹鋼顆粒、普通鋼珠以及亞克力顆粒材料的減振效果。顆粒直徑d均為6 mm,采用位移簡諧激勵,激振幅值為1 mm,激振頻率為系統(tǒng)的固有頻率,顆粒質量與主質量的質量比為0.092。通過工具手冊以及相關文獻查詢了上述顆粒材料的材料屬性,如表1所示,通過2.2節(jié)中的參數(shù)選取方法可以計算出顆粒接觸的數(shù)值計算參數(shù),其實驗和仿真結果如圖3所示。

表1 顆粒材料的屬性

(a)實驗結果

(b)仿真結果

通過對比可以看出,實驗與仿真結果吻合得比較好。鉛粒的減振效果最差,這是因為鉛顆粒密度最大,在相同質量條件下鉛粒的數(shù)量最少,所以顆粒之間的摩擦和碰撞作用就比較小,從而導致顆粒與系統(tǒng)的碰撞摩擦耗能減少,仿真與實驗結果一致。本文還對不同質量比的亞克力顆粒,以及不同激勵幅值的顆粒阻尼系統(tǒng)進行了仿真計算,得到的仿真與實驗結果符合得也比較好。

3.2 柔性約束顆粒阻尼結構的離散元模型

在失重環(huán)境下,由于顆粒處于懸浮狀態(tài),顆粒之間的相互作用減少,使得NOPD的減振效果變差。對于柔性約束顆粒阻尼來說,由于外部柔性約束的作用,使得內部顆粒相互作用增大,在失重環(huán)境下仍具有較好的減振效果,因此本文對柔性約束顆粒阻尼減振器進行了離散元建模。柔性約束顆粒阻尼簡稱豆包阻尼,它是將大量顆粒用包袋包裝起再放入相應的結構空腔中所形成的一種附加阻尼結構。先將外部起柔性約束作用的布包離散化,構建一個顆粒-彈簧模型,并對邊界顆粒進行粘接處理,使得顆粒之間可以承受拉力,從而模擬柔性邊界的約束。然后,將減振顆粒填充到柔性邊界的顆粒-彈簧模型中,從而構成了豆包阻尼器的離散元模型,如圖4所示。整個豆包阻尼減振器的離散元模型可以分為內部顆粒之間的相互作用、顆粒與柔性邊界的相互作用,以及柔性邊界與系統(tǒng)腔壁的相互作用3個部分。

圖4 豆包阻尼器的離散元模型

實驗參考了關于豆包阻尼器強迫振動的減振特性研究[16],文中構建了一系列的單自由度系統(tǒng),對豆包阻尼的了阻尼性能進行了研究。在此對主系統(tǒng)質量為1.0 kg、彈簧剛度為135104.79 N/m、阻尼系數(shù)為1.47 N·s/m的單自由度系統(tǒng)建立了仿真模型,其中腔體參數(shù)為30 mm×30 mm×50 mm,豆包阻尼器內部顆粒直徑為4 mm的滾動軸承用鋼珠,其彈性恢復系數(shù)為0.75,摩擦系數(shù)為0.2,豆包阻尼器包袋材料為0.1 mm厚的聚乙烯塑料。豆包的直徑為30 mm,長度為38 mm。采用的正弦激勵振幅為0.1 N,激振頻率為系統(tǒng)的固有頻率。根據(jù)2.2節(jié)中的參數(shù)選取原則以及實驗給定的摩擦系數(shù)及彈性恢復系數(shù)建立了豆包阻尼器的模型。填充豆包阻尼器前、后主系統(tǒng)數(shù)值計算時域振動幅值如圖5所示。對穩(wěn)態(tài)時的振幅進行傅里葉變換,其數(shù)值計算結果與實驗結果對比如表2所示。

表2 豆包阻尼仿真與實驗結果對比

(a)填充豆包阻尼前的振動衰減圖

(b)填充豆包后的振動衰減圖

通過對比,可以發(fā)現(xiàn)仿真與實驗結果之間的誤差小于10%,減振效率誤差小于1%。另外,本文還與實驗中另外幾組單自由度系統(tǒng)振動效果進行了對比,模型的詳細參數(shù)以及對比結果詳見文獻[9],仿真結果與實驗結果吻合得比較好。

3.3 旋轉條件下非阻塞性顆粒阻尼的離散元模型

旋轉條件下,由于離心力的作用,顆粒被擠壓在一起,振動發(fā)生時顆粒之間相對運動減少,使得NOPD失去作用。為了研究在離心載荷下NOPD減振失效的關鍵參數(shù),以及探尋使其恢復作用的方法,依據(jù)上述線性模型,對旋轉條件下的顆粒阻尼進行離散元仿真,并與Daniel Nicolaas Johannes Els的實驗進行了對比驗證[14],其模型如圖6所示。腔體為直徑D=12.5mm、高L=37 mm的圓柱;直徑為d=4 mm的鋼球,顆粒個數(shù)為26。腔體旋轉半徑為0.4 m,轉軸為z軸,旋轉平面為xy平面,沿z向做自由衰減振動。

圖6 離心載荷下NOPD的離散元模型

實驗采用自由衰減振動來研究顆粒阻尼的減振特性,起始位移為-6.5mm。轉速n=138 r/min時梁端點振動位移時域衰減的實驗與仿真結果如圖7所示。

(a)振動時域衰減實驗結果

(b)振動時域衰減仿真結果I:阻尼值較大的區(qū)域;II:過渡區(qū)域;III:阻尼值較小的區(qū)域

通過對比發(fā)現(xiàn),實驗與仿真結果在振動衰減趨勢以及幅值上吻合得都比較好。在開始振動時,由于振動比較大,大部分顆粒處于運動狀態(tài)并參與了減振,幅值衰減比較快,顆粒運動為類液態(tài)運動,該部分阻尼比較大。然后,隨著振幅的減小,顆粒由類液態(tài)運動向類固態(tài)運動過渡。最后,整個顆粒材料作為一個整體隨系統(tǒng)振動,類似于一個固體,此時顆粒材料阻尼作用很小,整體系統(tǒng)的阻尼基本上等于主系統(tǒng)的阻尼。這也證明了線性模型參數(shù)選取的方法對于離心載荷下的顆粒阻尼仍然是適用的。

4 結 論

本文對Hertz非線性接觸模型進行了線性化處理,提出了線性接觸模型參數(shù)的選取方法。該方法可以直接根據(jù)顆粒材料的屈服強度、泊松比、彈性模量等物理屬性來確定仿真計算所需的相關接觸參數(shù),從而克服了根據(jù)實驗確定參數(shù)適用范圍窄的問題,為顆粒阻尼的數(shù)值分析提供了準確的物理模型。通過仿真與實驗結果的對比,驗證了該方法的可靠性。本文方法不僅適用于重力場下顆粒阻尼參數(shù)的計算,而且也可以用于柔性約束顆粒阻尼以及離心載荷下顆粒阻尼的參數(shù)選取,因此為不同環(huán)境下顆粒阻尼特性的仿真研究提供了理論依據(jù)。

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(編輯 管詠梅)

ParameterSelectionMethodforLinearDiscreteElementModelofParticleDamper

ZHANG Chao1,CHEN Tianning1,WANG Xiaopeng1,CHEN Weihua1,2

(1.State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049,China; 2.College of Mechano-Electronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

To investigate the damping effects of different kinds of particle dampers (PDs) and the vibration properties of PDs under centrifugal loads and establish the linear discrete element models, a parameter selection strategy for PDs linear contact model is introduced.According to the Hertz nonlinear contact model, it is assumed that an equivalent linear spring stores the same amount of energy up to a similar yield force for a Hertzian model, and the relationship between the force and the displacement of two particles is treated as linear.The discrete element method is used for modeling non-obstructive particle damper (NOPD), and bean bag damper under gravity and NOPD under centrifugal loads.The contact parameters are determined by means of the granular material properties, such as yield strength, Poisson’s ratio, elasticity modulus etc.Compared with the experiments for contact parameter of particle dampers, this strategy is suitable for a wider application range.And the simulations coincide well with the experiments, in both quantitative values and evolving trends.

particle damper; discrete element method; parameter selection; linear model

10.7652/xjtuxb201403018

2013-10-10。

張超(1984—),男,博士生;王小鵬(通信作者),男,副教授。

長江學者和創(chuàng)新團隊發(fā)展計劃資助項目(IRT1172)。

O121.8;G558

:A

:0253-987X(2014)03-0096-06