田福慶,羅榮,李萬,丁慶喜

(海軍工程大學(xué)兵器工程系, 430033, 武漢)

改進的卷積型小波包分解及在故障診斷中的應(yīng)用

田福慶,羅榮,李萬,丁慶喜

(海軍工程大學(xué)兵器工程系, 430033, 武漢)

針對卷積型小波包分解存在頻帶錯位與頻帶重疊缺陷,提出了一種改進的卷積型小波包分解算法。該算法通過交換偶數(shù)位置節(jié)點小波包分解后的兩節(jié)點順序來消除頻帶錯位缺陷,引入兩算子分別從頻域除去低、高頻子帶理想通帶范圍外的頻率成分以消除頻帶重疊缺陷。由構(gòu)造的故障信號進行仿真實驗,并使用某直升機中減速器疲勞實驗的故障數(shù)據(jù)進行了驗證。結(jié)果表明:由于消除了卷積型小波包和內(nèi)積型小波包分解算法中廣泛存在的頻率折疊、頻帶重疊和頻帶錯位缺陷,改造的卷積型小波包分解算法能更方便、更有效地提取隱藏在強噪聲和其他強干擾背景下的故障特征信息,從而為機械故障的診斷提供了一種強有力的分析手段。

內(nèi)積型小波包;卷積型小波包;頻帶錯位;頻帶重疊;故障診斷

小波包分解是比小波分解更加精細的信號分解方法,可以將振動信號各個故障調(diào)制頻帶分解到各個子帶中,從而凸顯故障信息,便于故障特征提取,因此小波包分解是機械故障中一種應(yīng)用非常廣的信號預(yù)處理方法[1-3]。在機械故障診斷領(lǐng)域中,通常采用基于內(nèi)積運算的小波包變換,并利用Mallat算法來實現(xiàn)其快速運算[1-3]。由于Mallat算法中的下采樣環(huán)節(jié)以及小波濾波器組為非理想頻率特性,使得內(nèi)積型小波包在機械故障診斷中存在許多缺陷:①下采樣環(huán)節(jié)使得各層頻帶的點數(shù)隨分解層數(shù)的增加而越來越少,所含的信息量也不斷減少,因此導(dǎo)致信號失真,不利于機械故障特征的提取[4];②下采樣環(huán)節(jié)會使信號采樣率不夠而產(chǎn)生頻率折疊[5],影響了分析結(jié)果的可讀性;③下采樣環(huán)節(jié)還會帶來頻帶錯位現(xiàn)象,給提取機械故障特征帶來了不便[6-7];④由于分解過程會產(chǎn)生能量泄漏[8],因此分解結(jié)果存在頻帶重疊現(xiàn)象[5]。

為了消除上述缺陷,更好地應(yīng)用小波包進行機械故障診斷,目前的主要研究工作有:文獻[9]構(gòu)造出了濾波性能更為理想的巴特沃斯小波基,并用于信號降噪與內(nèi)燃機故障診斷;文獻[10-11]提出了沒有下抽樣環(huán)節(jié)的基于卷積運算的小波包及其快速算法,克服了Mallat算法存在頻率混疊的固有缺陷。但是,由于小波濾波器組的非理想頻率特性,分解過程仍然存在能量泄漏,分解結(jié)果依舊存在頻帶重疊。雖然卷積型小波包不存在下采樣環(huán)節(jié),但仍然存在頻帶錯位缺陷?；诖?本文提出一種改進的卷積型小波包分解算法,成功地消除了卷積型小波包分解存在的頻帶重疊與頻帶交錯缺陷。最后,通過仿真實驗與實例分析驗證了該算法在實際應(yīng)用中的有效性。

1 卷積型小波包分解算法

(1)

(2)

(3)

式中:S為最大分解層數(shù);m為小波包節(jié)點序號。對式(3)進行傅里葉變換,并由卷積定理得

(4)

(5)

根據(jù)小波包的定義有

(6)

式中:μm(t)為小波包;h0(k)與h1(k)為小波濾波器組。由于式(6)中的μm(2t-k)實質(zhì)是指μm(2t-t0)對t0離散取值得到的,假設(shè)取值間隔為Ts,因此μm(2t-k)即為μm(2t-nTs)。令t=2-jx,對式(6)進行傅里葉變換,可得

(7)

將式(7)代入式(4)、式(5),得到

(8)

將式(8)轉(zhuǎn)換到時域,得到

(9)

同理

(10)

式(9)、式(10)即為文獻[10-11]推出的卷積小波包變換快速分解算法。從式(9)、式(10)可見,卷積型小波包變換在迭代運算時并沒有進行隔二抽一采樣,而只是對上一尺度的分解結(jié)果進行移位,所以就克服了Mallat算法的頻率折疊缺陷。

對式(9)、式(10)進行z變換,得

(11)

2 改進的卷積型小波包分解算法

由于小波濾波器組的非理想頻率特性以及在分解過程中存在隔點采樣過程,因此內(nèi)積型小波包的分解結(jié)果中存在頻帶錯位、頻帶重疊和頻率折疊的缺陷。卷積型小波包在分解過程中,由于沒有進行隔點采樣,因此其分解結(jié)果就不會出現(xiàn)頻率折疊的缺陷,但卷積型小波包分解仍存頻帶錯位和頻帶重疊的缺陷。

2.1 頻帶錯位及其消除算法分析

假設(shè)對20尺度進行分解的小波濾波器組為2-1/2H0(ω)、2-1/2H1(ω),由式(11)可知,對2j尺度分解的小波濾波器組為2-1/2H0(2jω)、2-1/2H1(2jω)。因此,卷積型小波包在對2j尺度分解時使用的濾波器周期是在對20尺度分解時使用的濾波器周期的1/2j倍。又因為|H0(ω)|、|H1(ω)|均是以2π為周期的偶函數(shù),因此可得到H0(2jω)和H1(2jω)頻率特性如下。

以db10小波為例,當(dāng)尺度j為0、1和2時,H0(2jω)與H1(2jω)的頻率響應(yīng)如圖1所示。從圖1中可知:H0(2ω)在[0,π/4]區(qū)間表現(xiàn)為低通濾波特性,而在[3π/4,π]頻率區(qū)間表現(xiàn)為高通濾波特性;H1(2ω)在[π/4,π/2]區(qū)間表現(xiàn)為高通濾波特性,而在[π/2,3π/4]頻率區(qū)間表現(xiàn)為低通濾波特性。對于21尺度上的2個小波包節(jié)點,其通帶范圍分別是[0,π/2]和[π/2,π],當(dāng)用H0(2ω)和H1(2ω)對通帶在[0,π/2]的小波包節(jié)點進行分解時,分解后兩個子節(jié)點的通帶范圍分別為[0,π/4]和[π/4,π/2],頻帶順序正確。當(dāng)對通帶在[π/2,π]的小波包節(jié)點進行分解時,由于H0(2ω)和H1(2ω)的濾波特性互換了,H0(2ω)分解得到的子帶實為高頻子帶,其通帶范圍為[3π/4,π],卻位于低頻子帶的位置上,H1(2ω)分解得到的子帶實為低頻子帶,其通帶范圍為[π/2,3π/4],卻位于高頻子帶的位置上,因此頻帶發(fā)生了錯位。

圖1 db10小波濾波器的頻率特性

2.2 頻帶重疊及消除算法分析

(12a)

(12b)

(13a)

(13b)

圖2 改進的卷積型小波包分解算法

3 仿真實驗

為驗證改進的卷積型小波包分解算法在實際應(yīng)用中的優(yōu)勢,構(gòu)造的故障仿真信號如下

(14)

式中用2倍頻信號模擬低頻轉(zhuǎn)速信號(轉(zhuǎn)速為5Hz),用多載波調(diào)幅信號模擬齒輪故障信號(嚙合頻率為140 Hz),用等間隔的微弱沖擊信號模擬軸承故障信號(故障特征頻率為10 Hz)。對此信號以1 024 Hz的采樣率采樣1 024點,如圖3所示。

圖3 故障的仿真信號及其頻譜

由式(14)可以看出,等間隔的微弱沖擊信號幅值小,對整個信號的能量貢獻小,因此在圖3中很難發(fā)現(xiàn)其存在,所以傅里葉分析是發(fā)現(xiàn)不了此信號的。采用改進的卷積型小波包分解算法對仿真信號進行2層分解,所用小波為db10小波,分解結(jié)果如圖4所示。由圖4知,改進的卷積型小波包將模擬轉(zhuǎn)速信號、模擬齒輪故障信號、模擬軸承故障信號無頻帶錯位、無頻帶重疊、無頻率折疊地分解到了相互正交的頻帶,清晰完美地提取到了低頻段的2倍頻振動特征,齒輪故障信號的轉(zhuǎn)頻調(diào)制1、2倍嚙合頻率振動特征以及軸承故障信號的等間隔沖擊振動特征。

(a)時域波形 (b)頻譜

(a)頻帶包絡(luò) (b)頻帶包絡(luò)譜

改進的卷積型小波包分解得到的頻帶2、4包絡(luò)及包絡(luò)譜如圖5所示。由圖5可知,改進的卷積型小波包分解得到的頻帶2、4包絡(luò)非常完美光滑,且包絡(luò)譜中特征頻率相當(dāng)清晰,表明改進的卷積型小波包算法已清晰地提取到了模擬齒輪故障與軸承故障的包絡(luò)譜特征。

分別采用卷積型小波包和內(nèi)積型小波包對仿真信號進行2層分解,所用小波都為db10,消除頻帶錯位并重構(gòu)(重構(gòu)僅對內(nèi)積型小波包分解而言)后的分解結(jié)果分別如圖6和圖7所示(僅顯示頻帶1、4)。由圖6可知,卷積型小波包分解結(jié)果中同樣沒有出現(xiàn)頻率折疊,但出現(xiàn)了嚴(yán)重的頻帶重疊現(xiàn)象,導(dǎo)致提取振動特征明顯不如圖4清晰,特別是頻帶4混進了較大的模擬齒輪故障信號,以致完全掩蓋了該頻帶的模擬軸承故障信號,所以卷積型小波包沒能成功提取模擬軸承故障的等間隔微弱沖擊振動特征。由圖7可知,內(nèi)積型小波包分解各頻帶中不僅出現(xiàn)了頻帶重疊,還出現(xiàn)了明顯的虛假頻率,所以內(nèi)積型小波包各頻帶提取振動特征同樣明顯沒有圖4清晰,而且其也同樣沒有提取到模擬軸承故障的等間隔微弱沖擊振動特征。

(a)時域波形 (b)頻譜

(a)時域波形 (b)頻譜

卷積型小波包和內(nèi)積型小波包分解得到的頻帶2、4的包絡(luò)及包絡(luò)譜分別如圖8、圖9所示。對比圖5、圖8可知,卷積型小波包分解得到的各頻帶包絡(luò)較為粗糙,并且頻帶4混入了較多的嚙合頻率及其邊頻帶,以致該頻帶的包絡(luò)譜僅在轉(zhuǎn)頻及其2倍頻存在峰值,因此軸承故障的包絡(luò)譜特征已完全被齒輪故障的包絡(luò)譜特征所掩蓋。對比圖5、圖9可知,內(nèi)積型小波包分解后頻帶2、4包絡(luò)非常粗糙,并且包絡(luò)譜出現(xiàn)了明顯的虛假譜峰,同樣沒有在軸承故障特征頻率及其倍頻處出現(xiàn)明顯峰值。

綜上所述,改進的卷積型小波包算法提取的時域、頻域和包絡(luò)譜故障特征都明顯優(yōu)于其他兩種小波包,所以改進的卷積型小波包應(yīng)用于故障診斷比其他2種小波包更有優(yōu)勢。

(a)頻帶包絡(luò) (b)頻帶包絡(luò)譜

(a)頻帶包絡(luò) (b)頻帶包絡(luò)譜

4 應(yīng)用實例

故障數(shù)據(jù)來源于某直升機中減速器的疲勞試驗。該中減速器主動輪25齒,從動輪31齒。試驗結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)主動輪上一齒附近出現(xiàn)了疲勞裂紋及剝落。在試驗過程中,主動轉(zhuǎn)速為68.5Hz,采樣率為100 kHz。這里選用安裝在主動輪附近傳感器采集的信號進行分析,如圖10a所示。由于原信號采樣率較高,并且從圖10a可知,原始信號頻譜在10 kHz的高頻分量沒有齒輪的嚙合頻率成分,因此這里首先對原始信號進行5倍降采樣(見圖10b)。從圖10b可知,故障信號時域波形出現(xiàn)了故障沖擊,但從圖中還難以確定沖擊發(fā)生的周期,其頻譜的主要頻率成分為嚙合頻率及其2、3倍諧波,且在嚙合頻率及其2、3倍諧波兩側(cè)出現(xiàn)了些不對稱的邊頻帶,這些說明齒輪發(fā)生了故障。相對于嚙合頻率及其諧波的幅值,邊頻帶的幅值相當(dāng)微弱,并且夾雜有一定的噪聲,因此從頻譜圖上難以確定其間隔。

圖10 主動輪故障信號

為提取到清晰的故障特征信息,采用改進的卷積型小波包對原始信號進行2層分解,所選小波為db10,分解結(jié)果如圖11所示。由圖11可知,改進的卷積型小波包將齒輪的嚙合頻率及其2、3倍頻連同它們各自的故障調(diào)制邊頻帶分離到了相互正交的頻帶中,且無頻帶錯位、無頻帶重疊、無頻率折疊。因此,頻帶1～3時域圖中均出現(xiàn)了非常明顯的間隔T為0.015s(即對應(yīng)故障齒輪旋轉(zhuǎn)頻率68.5Hz)的等間隔故障沖擊。

(a)時域波形 (b)頻譜

分別采用卷積型小波包和內(nèi)積型小波包對原始信號進行2層分解,所用小波仍為db10小波,消除頻帶錯位并重構(gòu)(重構(gòu)僅對內(nèi)積型小波包分解)后的分解結(jié)果分別如圖12、圖13所示(僅顯示頻帶1、2)。由圖12可知,卷積型小波包分解結(jié)果不存在虛假頻率,但卷積型小波包并沒有將各個嚙合頻率及其故障調(diào)制邊頻帶完美地剝離開來,各個頻帶存在一定的頻帶重疊,造成其提取的故障特征明顯沒有圖11清晰。由圖13可知,內(nèi)積型小波包不僅沒有將各個嚙合頻率及其故障調(diào)制邊頻帶完美地剝離開來,而且各個頻帶還產(chǎn)生了虛假頻率,這對故障特征提取是相當(dāng)不利的,因此其提取的故障特征同樣明顯沒有圖11清晰。

(a)時域波形 (b)頻譜

(a)時域波形 (b)頻譜

選擇3類小波包分解結(jié)果的頻帶2進行解調(diào)分析,解調(diào)結(jié)果如圖14所示。對比圖14a、圖14b和圖14c可知,卷積型小波包和內(nèi)積型小波包分解得到的頻帶2包絡(luò)譜在故障齒輪轉(zhuǎn)頻及其倍頻處也出現(xiàn)明顯的峰值,但是圖14a在故障齒輪轉(zhuǎn)頻及其倍頻處的峰值最為清晰,特別是在故障齒輪轉(zhuǎn)頻的高次倍頻處。這說明改進的卷積型小波包提取的包絡(luò)譜故障特征好于另外2種小波包。

圖14 故障信號不同小波包分解結(jié)果包絡(luò)譜比較

5 結(jié) 論

本文提出了一種改進的卷積型小波包分解算法,該算法通過交換偶數(shù)位置節(jié)點小波包分解后的兩節(jié)點順序來消除頻帶錯位現(xiàn)象,通過引入兩算子分別從頻域強制性除去低、高頻子帶理想通帶范圍外的頻率成分來消除頻帶重疊現(xiàn)象。因此,本文算法克服了現(xiàn)有小波包分解算法中廣泛存在頻率折疊、頻帶重疊以及頻帶錯位等缺陷,能更有效地提取隱藏在強噪聲和其他強干擾中的微弱故障特征,在機械故障特征提取中具有顯著優(yōu)勢。

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(編輯 管詠梅)

ImprovedConvolution-TypeWaveletPacketDecompositionwithApplicationstoFaultDiagnosis

TIAN Fuqing,LUO Rong,LI Wan,DING Qingxi

(Department of Weapon Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Aiming at frequency band derangement and overlap in convolution-type wavelet packet, an improved one is proposed.Exchanging the order of sub-nodes originated from father nodes sequenced in even serial numbers, the frequency band derangement is removed.Introducing two operators eliminating the frequencies outside the pass bands of low and high frequency sub-bands, the frequency band overlap is forced to be avoided.The simulated fault signals and endurance test datasets of a helicopter intermediate gearbox are respectively collected to certificate the improved convolution-type wavelet packet.The results show that the improved convolution-type wavelet packet enables to expediently and effectively detect the fault features submerged in strong interference owing to the elimination of frequency aliasing, frequency band overlap and derangement.

inner product type wavelet packet; convolution-type wavelet packet; frequency band derangement; frequency band overlap; fault diagnosis

10.7652/xjtuxb201403017

2013-05-05。

田福慶(1962—),男,教授,博士生導(dǎo)師。

國家自然科學(xué)基金資助項目(50775218);國家部委基金資助項目(4010801020202)。

時間: 2014-01-10

TH113.1

:A

:0253-987X(2014)03-0089-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址: http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20140110.1749.007.html