康曉蓉，鮮大權(quán)

(西南科技大學(xué)理學(xué)院，四川綿陽(yáng)621010)

本文研究如下形式的(3+1)維Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程

其中a、b、c、d為非零實(shí)數(shù).20 世紀(jì) 80 年代末，Zakharov和Kuznetsov在描述磁化等離子體德?tīng)栄莼^(guò)程中首次導(dǎo)出該模型，B.K.Shivamoggi等［1］用李群方法也得到該方程，A.M.Hamza［2］在強(qiáng)化等離子體的研究中則得到推廣的(3+1)維ZK方程.該模型作為與波動(dòng)現(xiàn)象密切相關(guān)的非線性方程，陸續(xù)出現(xiàn)在許多物理學(xué)領(lǐng)域，因此引起許多物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的關(guān)注.E.G.Fan等［3］用Jacobi橢圓函數(shù)法得到a=6，b=0，c=d=3時(shí)的N孤子解；楊紅娟等［4］利用WTC方法討論在一些特殊變系數(shù)情況下的一組精確孤波解；Z.Y.Yan［5］采用非線性方法得到系統(tǒng)的雙周期波解、奇異波解等，并對(duì)所得解基于一些特殊參數(shù)值的非線性波傳播特性進(jìn)行分析，解釋了相關(guān)物理現(xiàn)象；Z.Z.Dong等［6］應(yīng)用經(jīng)典Lie群方法獲得方程的點(diǎn)對(duì)稱，由此得到方程的一些精確解.但該方程作為高維系統(tǒng)的一個(gè)典型代表，它在不同可積性意義下的相應(yīng)解結(jié)構(gòu)有待研究的內(nèi)容還很多，已嘗試過(guò)的研究方法較少［1-6］，而可用的方法尚多，如F展開(kāi)法［7-8］、雙曲函數(shù)法［9-10］、試探函數(shù)法［11］、擴(kuò)展的G'/G展開(kāi)法［12-13］，等.

本文應(yīng)用微分動(dòng)力系統(tǒng)定性理論對(duì)方程(1)進(jìn)行定性分析，并運(yùn)用橢圓方程映射法尋求相應(yīng)解的顯式表達(dá).

1 定性分析

容易看出λ1或?yàn)?不等實(shí)數(shù)，或?yàn)?共軛純虛數(shù)，因此平衡點(diǎn)P1或?yàn)榘包c(diǎn)或?yàn)橹行狞c(diǎn).

則 λ2，3為2共軛復(fù)數(shù)，此時(shí)平衡點(diǎn)P2，3為焦點(diǎn).

如果

則λ2，3或?yàn)?不等實(shí)數(shù)，或?yàn)?共軛純虛數(shù).此時(shí)平衡點(diǎn)P2，3或?yàn)榘包c(diǎn)或?yàn)橹行狞c(diǎn).

由(5)式可知，系統(tǒng)在相平面(ω，v)上的相軌線滿足

積分(6)式得系統(tǒng)(5)的Hamiliton函數(shù)為

顯然有，因此方程(4)所表達(dá)的系統(tǒng)為保守系統(tǒng).

綜上分析可得，系統(tǒng)(4)存在鞍-鞍同(異)宿軌和周期閉軌，(3+1)維ZK方程(1)相應(yīng)地存在孤波解、沖擊波解和周期波解［14］.

2 孤波解、沖擊波解和周期波解

下面用橢圓方程映射法尋求(3+1)維ZK方程(1)的孤波解、沖擊波解和周期波解.

將(4)式乘以v'后再對(duì)ξ積分一次，取積分常數(shù)為A得

2.3 周期波解

2.3.1 Jacobi橢圓函數(shù)周期波解

這是圍繞中心點(diǎn)的閉軌，且當(dāng)m→1時(shí)，v3→v1，相應(yīng)得到(1)式的周期波解為

這是圍繞中心點(diǎn)的閉軌，且m→1時(shí)，v3→v2.相應(yīng)得到(1)式的周期波解

這是圍繞中心點(diǎn)的閉軌，且m→1時(shí)，v5→v1，相應(yīng)得到(1)式的周期波解為

2.3.2 三角函數(shù)周期解 當(dāng)A=0，，b＜0且(4bc4-c1a2)c1＜0時(shí)，

這也是圍繞中心點(diǎn)的閉軌，相應(yīng)得到(1)式的周期波解為

3 結(jié)論

本文應(yīng)用微分方程動(dòng)力系統(tǒng)定性方法討論了(3+1)維ZK方程的鞍-鞍行波同(異)宿軌和周期閉軌的存在性.運(yùn)用橢圓方程映射法獲得該方程的孤波解、沖擊波解和周期波解.本文的結(jié)果進(jìn)一步豐富了該方程的數(shù)學(xué)物理性態(tài)及其解的內(nèi)容.

［1］Shivamoggi B K，Rollins D K.Generalized painleve formulation of lie group symmetries of the ZK equation［J］.Phys Lett，1991，A160:263-266.

［2］Hamza A M.Akinetic derivation of a generlized ZK equation for inacoustic turbulence in magnetized plasma［J］.Phys Lett，1994，A190:309-316.

［3］Fan E G，Jian Z.Application of the jacobi elliptic function method to special-type nonliear equations［J］.Phys Lett，2002，A305:383-392.

［4］楊紅娟，呂克璞，段文山，等.變系數(shù)(3+1)維ZK方程的變速孤立波解［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，43(2):38-40.

［5］Yan Z Y.Periopdic，solitary and rational wave solutions of the 3D extended quantum ZK equation in dense quantum plasmas［J］.Phys Lett，2009，A373:2432-2437.

［6］Dong Z Z，Chen Y，Lang Y H.Symmetry reduction and exact solutions of the(3+1)D Zakharov-Kuznetsov equation［J］.Chinese Physics，2010，B19:9.

［7］蔣毅，陳渝芝，蒲志林.1+1維空間中變系數(shù)KdV方程組的精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，30(6):670-673.

［8］田應(yīng)輝，陳翰林.一類(lèi)五階非線性發(fā)展方程新的周期解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，29(5):539-541.

［9］帥鯤，蒲志林.三維空間中Zakharov方程的精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，33(4):433-436.

［10］蔣毅，蒲志林，孟憲良.三維空間中Klein-Gordon-Zakharov方程的精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，30(3):262-265.

［11］趙云梅.利用試探函數(shù)法求耦合KdV方程的精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，35(6):746-748.

［12］李靈曉，張金良.擴(kuò)展的G'/G展開(kāi)法和ZK方程的精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，33(5):626-629.

［13］趙云梅.非線性耦合Schr?dinger-KdV方程的新精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，36(2):236-239.

［14］Xian D Q.Saddle-Node heteroclinic orbit and exact nontraveling wave solutions for(2+1)D KdV-Burgers equation［J］.Abstract Appl Anal，2013，696074:1-7.

［15］Zhang S.A generalized auxiliary equation method and its application to(2+1)D KdV equations［J］.Comput Math Appl，2007，54:1028-1038.