離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差

了解隨機(jī)變量的概念，理解隨機(jī)變量的分布列、期望和方差；會(huì)求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差.

離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率和. 求離散型隨機(jī)變量的分布列必須解決好兩個(gè)問(wèn)題，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一個(gè)值時(shí)的概率.對(duì)求離散型隨機(jī)變量的期望和方差的應(yīng)用問(wèn)題，首先應(yīng)仔細(xì)地分析題意，當(dāng)概率分布不是一些熟知的類型時(shí)，應(yīng)全面地剖析各個(gè)隨機(jī)變量所包含的各種事件，并準(zhǔn)確判斷各事件的相互關(guān)系，從而求出各隨機(jī)變量相應(yīng)的概率.

英語(yǔ)老師要求學(xué)生從星期一到星期四每天學(xué)習(xí)3個(gè)英語(yǔ)單詞；每周五對(duì)一周內(nèi)所學(xué)單詞隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行檢測(cè)（一周所學(xué)的單詞每個(gè)被抽到的可能性相同）.

（1）英語(yǔ)老師隨機(jī)抽了4個(gè)單詞進(jìn)行檢測(cè)，求至少有3個(gè)是后兩天學(xué)習(xí)過(guò)的單詞的概率；

（2）某學(xué)生對(duì)后兩天所學(xué)過(guò)的單詞每個(gè)能默寫對(duì)的概率為 ，對(duì)前兩天所學(xué)過(guò)的單詞每個(gè)能默寫對(duì)的概率為

若老師從后三天所學(xué)單詞中各抽取一個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，求該學(xué)生能默寫對(duì)的單詞的個(gè)數(shù)ξ的分布列和期望.

破解思路 此題主要考查古典概型及其計(jì)算公式，互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式，離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）=x1p1+x2p2+…+xnpn+…等核心知識(shí)，對(duì)概率型應(yīng)用性問(wèn)題，理解題意是基礎(chǔ)，然后進(jìn)行分類、分步轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.

完美解答 （1）設(shè)“英語(yǔ)老師隨機(jī)抽到的4個(gè)單詞中，至少有3個(gè)是后兩天學(xué)過(guò)的單詞”為事件A，則由題意可得P某大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課，學(xué)生是否選修哪門課互不影響. 已知某學(xué)生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用ξ表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒(méi)有選修的課程門數(shù)的乘積.

（1）記“函數(shù)f（x）=x2+ξx為R上的偶函數(shù)”為事件A，求事件A的概率；

（2）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

破解思路 概率型應(yīng)用性問(wèn)題是高考命題的一個(gè)重要考點(diǎn)，且常考常新，對(duì)于此類考題，要注意認(rèn)真審題，從數(shù)學(xué)與實(shí)際生活兩個(gè)角度來(lái)理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，將問(wèn)題成功轉(zhuǎn)化為古典概型及獨(dú)立事件、互斥事件等概率模型來(lái)求解.

完美解答 （1）設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別為x，y，z，？搖依題意得x（1-y）（1-z）=0.08，xy（1-z）=0.12，1-（1-x）（1-y）（1-z）=0.88，解得x=0.4，y=0.6，z=0.5.

若函數(shù)f（x）=x2+ξx為R上的偶函數(shù)，則ξ=0.？搖

當(dāng)ξ=0時(shí)，表示該學(xué)生選修三門功課或三門功課都沒(méi)選，所以P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24，所以事件A的概率為0.24. ？搖

（2）依題意知ξ=0，2，則ξ的分布列為：

所以ξ的數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=0×0.24+2×0.76=1.52.

1. 已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球. 現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.

（1）求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；

（2）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；

（3）設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2. 某城市有大明湖、趵突泉、千佛山、園博園4個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人瀏覽這四個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值.

（1）求ξ=0對(duì)應(yīng)的事件的概率；

（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.endprint