朱春蓉，竇彩玲

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

一類三階非線性色散方程的不變子空間和精確解

朱春蓉，竇彩玲

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

本文給出了一類三階非線性色散方程的不變子空間，并通過不變子空間方法構(gòu)造了方程中一些方程的精確解.由此得到一些方程的尖峰孤子解、緊孤子解和爆破解.

非線性色散方程；不變子空間方法；尖峰孤子解；緊孤子解；爆破解

[1]中，Degasperis和Procesi研究了一類三階非線性色散方程

(1)

本文旨在給出在方程(1)中非線性微分算子F[u]允許的不變子空間，并在這些不變子空間中構(gòu)造相應(yīng)方程的精確解，從而得到這類方程中一些方程的尖峰孤子解、緊孤子解和有限時(shí)間爆破解，其中包括Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程的尖峰孤子解.

1 不變子空間方法

考慮一般的演化方程

ut=G[u],

(2)

其中G[u]是一個(gè)k-階微分算子，且G[u]≡G(x,u,ux,uxx,…)關(guān)于括號內(nèi)的變量充分光滑.給定一個(gè)由n個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)f1(x),…,fn(x)擴(kuò)張而成的線性空間Wn=L{f1(x),…，fn(x)}．如果G[Wn]?Wn,則稱算子G允許線性子空間Wn，或者稱線性空間Wn在算子G作用下不變，即存在函數(shù)ψi,使得

如果算子G允許子空間Wn,則方程(2)有解形如

(3)

其中ci(t)滿足n維動(dòng)力系統(tǒng)

如果算子G允許的子空間Wn是由線性常微分方程

L[y]≡y(n)+an-1(x)y(n-1)+…+a1(x)y′+a0(x)y=0

(4)

解空間定義的，則Wn在算子G作用下的不變條件為

L[G[u]]|[H]≡0，

(5)

其中[H]表示方程L[u]=0及其關(guān)于x的微分結(jié)果.由不變條件可以推導(dǎo)出下面關(guān)于不變子空間方法中重要的維數(shù)定理[7].

定理1如果線性子空間Wn在k階微分算子G作用下不變，則n≤2k+1.

由定理1知，在考慮方程(1)中微分算子F由方程(4)定義的不變子空間，要分別考慮n=2,…,7.在本文中，我們考慮微分算子F由常系數(shù)常微分方程

L[y]≡y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y′+a0y=0

(6)

定義的不變子空間，并在這些不變子空間中構(gòu)造方程(1)的解.這里及下文中ai均表示常數(shù)，并使用下面的記號

2 微分算子F[u]允許的不變子空間

2.1二維不變子空間

在本小節(jié)，我們分別考慮方程(1)中微分算子F[u]允許的由方程

L2[y]≡y″+a1y′+a0y=0

(7)

定義的不變子空間.此時(shí)，不變條件為

L2[F[u]]|[H2]=D2F+a1DF+a0F|[H2]=0，

(8)

其中[H2]表示方程L2[u]=0及其關(guān)于x的微分結(jié)果.經(jīng)過計(jì)算(8)式左端為關(guān)于u1和u0的多項(xiàng)式

由此，我們得到關(guān)于ai和ci的約束條件

求解此方程組，我們得到下面的結(jié)果：

情形1a0=0

情形2a0≠0

由此，我們得到下面的定理.

定理2有四個(gè)形如F[u]的非線性微分算子允許由(7)式定義的二維不變子空間W2，它們?yōu)?/p>

2.2三維、四維、五級、六維和七維不變子空間

在本小節(jié)，我們根據(jù)上述類似的計(jì)算方式，分別給出在方程(1)中非線性微分算子F[u]允許的由方程(6)定義的三維、四維、五維、六維和七維不變子空間.

定理3有三個(gè)形如F[u]的非線性微分算子允許由(6)式(n=3)定義的三維不變子空間W3，它們分別為

定理4有三個(gè)形如F[u]的非線性微分算子允許由(6)式(n=4)定義的四維不變子空間W4，它們分別為

定理5僅有一個(gè)形如F[u]的非線性微分算子允許由(6)式(n=5)定義的五維不變子空間W5，它們是

定理6僅有一個(gè)形如F[u]的非線性微分算子允許由(6)式(n=6)定義的六維不變子空間W6，它們是

定理7沒有形如F[u]的非線性微分算子允許由(6)式(n=7)定義的七維不變子空間.

3 例子

例1由定理3知，方程

(9)

有解形如

u=b0(t)+b1(t)exp(a1x)+b2(t)exp(-a1x)，

其中bi(t)(i=0,1,2)滿足常微分方程組

u=b0+b1exp(a1x+At)+b2exp(-a1x-At)，

u=λexp(-|a1x+At|).

u=b0+b1(t)exp(a1x)+b2(t)exp(-a1x)，

其中b1(t),b2(t)均是任意函數(shù).另外，取c0=-γ/α2，可以驗(yàn)證Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程都有解形如

其中b1(t),b2(t)均是任意函數(shù).由此，可以構(gòu)造這兩個(gè)方程尖峰孤子解形如

由上節(jié)中的結(jié)論及類似于例1中的計(jì)算，我們可以得到下面的例子.

例2方程

(10)

有解

例3方程

例4方程

具有有限時(shí)間爆破解

方程

具有有限時(shí)間爆破解

方程

具有有限時(shí)間爆破解

參考文獻(xiàn)：

[1] DEGASPERIS A, PROCESI M. Asymptotic integrability. In symmetry and perturbation theory[C]. Singapore: World Scientific, 1999,23-37.

[2] DRAZIN P G, JOHNSON R S. Soliton: an introduction[M]. Cambridge: Cambridge University, 1989.

[3] MCKEAN H P. Global analysis Springer lectures notes in mathematics[R]. New York: Springer, 1979,755.

[4] LENELLS J. Conservation laws of the camassa-holm equation[J]. J Phys A: Math Gen, 2005,38:869-880.

[5] FOKAS A, FUCHSSTEINER B. Symplectic structure, their bcklund transformation and hereditary symmetries[J]. Physica D, 1981,4:47-66.

[6] DEGASPEIS A, HOLM D D, HONE A N W. A new integral equation with peakon solutions[J]. Theor Math Phys, 2002,133:1463-1474.

[7] GALAKTIONOV V A, SVIRSHCHEVSKII S R. Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics[M]. London: Chapman and Hall/CRC, 2007.

[8] ZHU C R, QU C Z. Classification and reduction of generalized thin film equations[J]. Commun Theor Phys, 2009,52:403-410.

[9] QU C Z, ZHU C R. Classification of coupled systems with two-component nonlinear diffusion equations by the invariant subspace method[J]. J Phys A: Math Theor, 2009,42(475201):1-27.

[10] ZHU C R， QU C Z. Maximal dimension of invariant subspaces admitted by nonlinear vector differential operators[J]. J Math Phys, 2011,52(043507):1-15.

[11] MA W X, LIU Y P. Invariant subspaces and exact solutions of a class of dispersive evolution equations[J]. Commun Nonlinear Sci Number Simulat,2012,17:3795-3801.

ExactSolutionsandInvariantSubspacesofaFamilyofThirdOrderNonlinearDispersiveEquations

ZHU Chun-rong, DOU Cai-ling

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Invariant subspaces of a family of third order nonlinear dispersive equations are given. Then exact solutions of some equations within this family are constructed by invariant subspaces method. Peakon solutions, compacton solutions and blow-up solutions of some equations are obtained.

nonlinear dispersive equation; invariant subspace method; peakon solution; compacton solution; blow-up solution

2013-09-20

國家自然科學(xué)基金(11301007，11126237)；安徽師范大學(xué)博士科研資助計(jì)劃項(xiàng)目(160-751024).

朱春蓉(1979-)，女，漢族，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，從事數(shù)學(xué)物理方向的研究.

朱春蓉，竇彩玲.一類三階非線性色散方程的不變子空間和精確解[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，37(1)：20-25.

O175.2

A

1001-2443(2014)01-0020-06

引言