分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學. 相對于傳統(tǒng)幾何學的研究對象為整數(shù)維數(shù)，如零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體乃至四維的時空，分形幾何學的研究對象為分數(shù)維數(shù)，如0.63、1.58、2.72. 因為它的研究對象普遍存在于自然界中，比如云彩、閃電、山脈、樹枝、蕨葉以及生物細胞等，因此分形幾何學又被稱為“大自然的幾何學”.

康托爾三分集

1883年，德國著名數(shù)學家康托爾構造了一個奇異的集合：取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，將剩下的兩段各再三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段各再三等分，這樣一直繼續(xù)操作下去，直至無窮，便可得到康托爾三分集.

皮亞諾曲線

取一個正方形并把它分成4個相等的小正方形，然后從左上角的正方形開始至左下角的正方形結束，依次將小正方形的中心連接起來；下一步把每個小正方形再分成4個相等的正方形，然后按上述方式把其中心連接起來……如此繼續(xù)不斷作下去，以至無窮，也便形成了一條皮亞諾曲線.一般來說，一維的直線是不可能填滿二維的平面的，但是皮亞諾曲線恰恰給出了反例.

謝爾賓斯基三角形墊片

1915～1916年，波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基構造了這樣一種圖形：將邊長為1的等邊三角形均分成四個小等邊三角形，去掉中間的一個小等邊三角形，再對其余3個小等邊三角形進行相同操作，這樣操作繼續(xù)下去直至無窮，所得圖形稱為謝爾賓斯基三角形墊片. 我們可以發(fā)現(xiàn)，剩下的三角形面積在不斷操作下趨近于零，但它的周長卻趨近于無限大.

謝爾賓斯基地毯

謝爾賓斯基地毯的構造與謝爾賓斯基三角形相似，區(qū)別僅在于謝爾賓斯基地毯是以正方形而非等邊三角形為基礎的. 將一個實心正方形劃分為3×3的9個小正方形，去掉中間的小正方形，再對余下的小正方形重復這一操作便能得到謝爾賓斯基地毯.

門杰海綿與謝爾賓斯基金字塔

奧地利數(shù)學家門杰從三維的單位立方體出發(fā)，用與構造謝爾賓斯基地毯類似的方法，構造了門杰海綿（1999年以前，大部分分形著作中，均誤稱之為謝爾賓斯基海綿）；謝爾賓斯基用與構造謝爾賓斯基三角形墊片類似的方法，構造了謝爾賓斯基金字塔. 這是兩座宏偉的集合大廈，里面有無數(shù)的通道，連接著無數(shù)的門窗. 這種“百孔千窗”、“有皮沒有肉”的結構的表面積是無窮大，它們是由反復挖去一撥比一撥小的立體所生成，是化學反應中催化劑或阻化劑最理想的結構模型.

海岸線有多長

1967年，數(shù)學家曼德爾布羅在著名的《科學》雜志上發(fā)表了一篇奇怪的文章《英國的海岸線有多長》，使人們大吃一驚. 原來海岸線長度不是一個固定不變的數(shù)值. 海岸線的長短取決于人們所用的尺. 如果用1千米的尺子測量，小于1千米的彎彎曲曲的海岸線便會被忽略；如果用1米的尺子測量，便會增加許多彎曲的部分，海岸線必然大大增大；如果讓蝸牛來測量，海岸線必然大得驚人.

曼德爾布羅

波蘭裔法國數(shù)學家曼德爾布羅是分形幾何的創(chuàng)始人. 他的科學興趣極其廣泛，具有極強的創(chuàng)造能力和形象思維能力，利用計算機開創(chuàng)了一門嶄新的分形幾何學.