變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程的怪波解*1

劉 慧

(華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 102206)

變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程的怪波解*1

劉 慧

(華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 102206)

首先通過規(guī)范變換建立了該方程與標(biāo)準的耦合非線性薛定諤方程的聯(lián)系；進而運用達布變換求出標(biāo)準的耦合非線性薛定諤方程的怪波解，得到變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程的怪波解；最后討論了超格勢阱影響下的耦合非線性薛定諤方程的怪波解的動力學(xué)行為.

變系數(shù)可積系統(tǒng)；耦合薛定諤方程；達布變換；怪波解

怪波(也叫做異常波、巨波)是海洋表面突然出現(xiàn)的一種大振幅波.這種怪波通常有很深的低谷和高峰，并且波的低谷發(fā)生在最大波峰之前或之后.怪波通常會突然出現(xiàn)，不像由臺風(fēng)、地震引發(fā)的海嘯可以提前幾小時或幾天被預(yù)測，所以會帶來很大的災(zāi)難[1].海洋學(xué)家從20世紀70年代就對怪波展開觀測研究，近年來，越來越多的學(xué)者開始關(guān)注怪波這一現(xiàn)象，從理論上以及數(shù)值模擬中尋找怪波的解釋.

變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程(VCNLS)是非線性領(lǐng)域最重要的方程之一，它可以應(yīng)用于非線性光學(xué)、生物物理、海洋學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、玻色-愛因斯坦凝聚等多個領(lǐng)域[2].方程具有很多變系數(shù)項，因此可以更好地描述生活中的一些現(xiàn)象.國內(nèi)外許多學(xué)者對耦合非線性薛定諤方程的怪波解進行了深入的研究[3-4].但是因為VCNLS形式的復(fù)雜性，它的求解更困難，所以對此類怪波解的研究沒有那么廣泛.

文獻[5]通過引入規(guī)范變換建立了變系數(shù)非線性薛定諤方程與常系數(shù)非線性薛定諤方程之間的聯(lián)系，得到變系數(shù)非線性薛定諤方程的解，從而簡化了求解過程.筆者推廣了該規(guī)范變換，將它應(yīng)用到VCNLS中，用達布變換求解出了耦合非線性薛定諤方程的怪波解，從這個怪波解出發(fā)，通過規(guī)范變換，最終得到VCNLS的怪波解.

1 變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程

考慮如下的變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程：

iψ1t+a1ψ1xx+(b1|ψ1|2+b2|ψ2|2)ψ1+vψ1=0，

(1)

iψ2t+a2ψ2xx+(b1|ψ1|2+b2|ψ2|2)ψ2+vψ2=0.

(2)

其中：ψ1和ψ2代表2種模式的傳播光線的復(fù)雜包絡(luò)；x表示空間坐標(biāo)；t表示時間坐標(biāo)；a1=a2=a(x,t)，b1=b1(x,t)，b2=b2(x,t)，v=v(x,t)是4個待定的二元實函數(shù).在這里a(x,t)代表群散射速度，b1(x,t)，b2(x,t)表示非線性交互項，v(x,t)代表外勢.經(jīng)典的耦合非線性薛定諤方程為

(3)

(4)

引入如下的變換建立方程(1)，(2)與(3)，(4)之間的聯(lián)系：

ψ1(x,t)=q1(X,T)p1(x,t)eiφ(x,t)，

(5)

ψ2(x,t)=q2(X,T)p2(x,t)eiφ(x,t)，

(6)

其中X=X(x,t)，T=T(t).

研究方程的可積性，將變換(5)，(6)代入方程(1)，(2)后，進一步計算，發(fā)現(xiàn)方程組變系數(shù)及變換滿足如下的關(guān)系式:

(7)

其中F(x)，f1(t)，f2(t)，f3(t)是待定的x或t的函數(shù).

這樣一來，通過上述變換，建立了變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程與耦合非線性薛定諤方程之間的聯(lián)系，從而可以通過方程(3)，(4)的解得到方程(1)，(2)的解，很大程度地簡化計算過程.進一步，限制方程中的外勢v=v(x,t)來研究方程的怪波解的一些性質(zhì).

2 耦合非線性薛定諤方程的怪波解

接下來，主要應(yīng)用拉克斯對和達布變換等經(jīng)典方法求解耦合非線性薛定諤方程的怪波解.

耦合非線性薛定諤方程的拉克斯對為

Φx=UΦ，Φt=VΦ.

(8)

其中：

(9)

如果令特定的λ=λ1，那么耦合非線性薛定諤方程的達布變換為[6]

首先，令規(guī)范變換為

(9)

將變換(9)代入，拉克斯對方程將變?yōu)?/p>

ΨX=(MU0M-1+MXM-1)Ψ=U1Ψ，ΨT=(MV0M-1+MTM-1)Ψ=V1Ψ,

其中：

將矩陣U1，V1同時對角化，即U1=PJP-1,V1=PJ1P-1，其中

(10)

(11)

3 非自治耦合非線性薛定諤方程的怪波解

將耦合非線性薛定諤方程的怪波解(10)，(11)以及(7)式代入(5)和(6)式就可以得到VCNLS的怪波解.這里主要考慮光學(xué)中超格勢阱影響下的VCNLS的怪波解的動力學(xué)行為.為了得到超格勢阱，假設(shè)關(guān)系式(8)中的待定函數(shù)為

圖1 耦合非線性薛定諤方程的勢阱

進一步得到VCNLS方程的a(x,t)，b1(x,t)，b2(x,t)，p1(x,t)，p2(x,t)以及φ(x,t)的表達式，最終通過這些已知量，就能求出變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程的怪波解.利用Maple軟件，得到勢阱影響下的變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程的怪波解的圖像.從圖2可以看到，隨著取值d0的不同，勢阱對于怪波解的影響也在發(fā)生變化.在這里只得到了一階的怪波解，通過多次達布變換，也可以得到更高階的怪波解.

圖2 變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程的怪波解

4 結(jié)語

運用達布變換求解經(jīng)典的耦合非線性薛定諤方程的怪波解，然后通過建立變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程與經(jīng)典的耦合非線性薛定諤方程之間的聯(lián)系，得到變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程的怪波解.這個方法很好地簡化了求解過程.特別地，研究了超格勢阱下變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程的怪波解.變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，研究它的怪波解具有很重要的實際意義.筆者還將在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究此類方程的其他類型的解.

[1] SMITH R.Giant Waves[J].Fluid Mech.,1976,77:417-431.

[2] RADHAKRISHNAN R,LAKSHMANAN M.Bright and Dark Solitons Solutions to Coupled Nonlinear Schr?dinger Equation[J].J. Phys. A:Math. Gen.,1995,28:2 683-2 692.

[3] GUO Boling,LING Liming.Rogue Wave,Breathers and Bright Dark Rogue Solutions for the Coupled Schr?dinger Equations[J].China. Phys. Lett.,2011,28(11):110 202.

[4] AKHMEDIEV N,ANKIEWICZ A,SOTO CRESPO J M.Rogue Waves and Rational Solutions of the Nonlinear Schr?dinger Equation[J].Phys. Rev. E,2009,80:026 601.

[5] HE Jingsong,LI Yishen.Designable Integrability of the Variable Coefficient Nonlinear Schr?dinger Equations[J].Math. Applied. Studies.,2010,126:1-15.

[6] MATVEEV V B,SALE M A.Darboux Transformations and Solitons[M].Nonlinear Dynamics:Springer,1991.

(責(zé)任編輯 向陽潔)

RogueWaveinCoupledNonlinearSchr?dingerEquationswithVariableCoefficients

LIU Hui

(Department of Mathematical and Physical Sciences,North China Electric Power University,Beijing 102206,China)

Firstly,the special Schr?dinger equations are connected to the classical coupled nonlinear Schr?dinger equations by a gauge transformation.Next,rogue wave solutions of the classical coupled nonlinear Schr?dinger equations are obtained through Darboux transformation.Therefore,we can get the rogue wave solutions of the coupled nonlinear Schr?dinger equations with variable coefficients.Finally,the dynamic behavior of the coupled nonlinear Schr?dinger equations with variable coefficients under the influence of the super lattice potentials is discussed.

integrable system with variable coefficients;coupled nonlinear Schr?dinger equations;Darboux transformation;rogue wave solutions

1007-2985(2014)04-0023-04

2014-01-21

國家自然科學(xué)基金青年項目(11301179)

劉 慧(1989-)，女，山西呂梁人，華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院碩士研究生，主要從事偏微分方程研究.

O175.29

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.04.006