基于滾輪導(dǎo)軌接觸模型的高速重載運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)振動(dòng)與疲勞分析

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(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001)

基于滾輪導(dǎo)軌接觸模型的高速重載運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)振動(dòng)與疲勞分析

王銳，劉延杰，楊立冬

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001)

通過(guò)赫茲接觸理論對(duì)滾輪導(dǎo)軌系統(tǒng)建立接觸力學(xué)模型，推導(dǎo)接觸剛度、強(qiáng)度的計(jì)算公式，并分析滾輪、軸承的總接觸剛度。根據(jù)接觸剛度模型、應(yīng)用拉格朗日方程建立高速重載運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，得到機(jī)構(gòu)的自由振動(dòng)微分方程，從而計(jì)算出機(jī)構(gòu)的各階固有頻率。

滾輪導(dǎo)軌；接觸力學(xué)；拉格朗日方程

0 引言

高速重載運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)是Z箍縮驅(qū)動(dòng)的混合堆快速換靶機(jī)構(gòu)的重要環(huán)節(jié)，其作用是當(dāng)運(yùn)輸小車(chē)運(yùn)動(dòng)到靶室正上方時(shí)，帶動(dòng)RTL組件，將其送入靶室。機(jī)構(gòu)做豎直方向的一維運(yùn)動(dòng)，行程達(dá)15 m，機(jī)構(gòu)與負(fù)載總重約為25 t，由于換靶頻率要保證0.1Hz，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)速度也非常高，最高速度將達(dá)到15 m/s。在高速重載工況下，滑動(dòng)導(dǎo)軌摩擦力大，發(fā)熱大故無(wú)法適應(yīng)連續(xù)、精度要求高的工作條件。而在滾動(dòng)導(dǎo)軌中，以滾輪導(dǎo)軌的承載能力最為出眾，因此，選擇許用速度達(dá)15 m/s的滾輪導(dǎo)軌作為導(dǎo)向結(jié)構(gòu)。針對(duì)滾輪導(dǎo)軌這一導(dǎo)向部件，需要滿(mǎn)足高速重載運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的強(qiáng)度與動(dòng)態(tài)性能要求，作出以下分析。

1 建立接觸模型

由于導(dǎo)軌和滾輪的相互接觸是誘發(fā)系統(tǒng)振動(dòng)和導(dǎo)軌疲勞破壞的根源，因此，建立簡(jiǎn)單有效的導(dǎo)軌一滾輪接觸模型是分析系統(tǒng)振動(dòng)的基礎(chǔ)。假定導(dǎo)軌與滾輪間只考慮法向力，采用經(jīng)典的赫茲彈性接觸理論進(jìn)行計(jì)算。

當(dāng)圓柱體受到單位長(zhǎng)度上的壓力為p時(shí)，圓柱體間就會(huì)發(fā)生接觸變形。在接觸長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為 2a的接觸區(qū)[1-3]，根據(jù)Hertz接觸理論可得：

(1)

最大壓力為：

(2)

對(duì)于圓柱體與平面接觸，可以看作是曲率半徑為R和曲率半徑為無(wú)窮大的2個(gè)軸線(xiàn)平行圓柱之間的接觸。

當(dāng)圓柱為有限長(zhǎng)時(shí)，圓柱與平面的趨近量不適合用Hertz理論求解。工程應(yīng)用時(shí)，由于受力情況復(fù)雜，主要采用Palmgren通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出的經(jīng)驗(yàn)公式[4]，對(duì)于鋼材料的接觸，彈性模量E=206 GPa，泊松比u=0.3，即

(3)

F為法向力；l為接觸長(zhǎng)度。因此，可以得到法向力與趨近量的關(guān)系為：

F=a·δ10/9

(4)

a為與l有關(guān)的參數(shù)?？梢?jiàn)，法向力與趨近量之間呈現(xiàn)非線(xiàn)性關(guān)系，然而非線(xiàn)性程度并不高，在趨近量小的時(shí)候是可以用線(xiàn)性關(guān)系近似的。

對(duì)于滾輪導(dǎo)軌副，當(dāng)導(dǎo)軌、滾輪位移都比較小，滾輪上作用有預(yù)加力，滾輪產(chǎn)生的預(yù)加變形為δ0時(shí)，并且預(yù)加位移相比導(dǎo)軌、滾輪的位移較大，式(4)可以用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到：

(5)

用f0表示上式中第1項(xiàng)，并以Kg表示第2項(xiàng)系數(shù)，則式(5)中接觸力計(jì)算公式可以寫(xiě)為：

f=f0+Kgdδ

(6)

f0為預(yù)加力；Kg為近似線(xiàn)性化接觸剛度，dδ為滾輪和導(dǎo)軌間的相對(duì)位移。公式轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性化的接觸力表達(dá)式。預(yù)緊量為0.1mm時(shí)，預(yù)緊力f0=1.73×104N，徑向剛度Kg=1.92×105N/mm。

滾輪為V型結(jié)構(gòu)，夾角為90°。當(dāng)徑向力F作用于滾輪時(shí)，滾輪與導(dǎo)軌之間產(chǎn)生的徑向位移為dx，那么對(duì)于接觸面上產(chǎn)生的趨近量則為：

dδ=dxsinφ

(7)

由此可得，滾輪與導(dǎo)軌間單個(gè)接觸表面間增加的法向接觸力和接觸力在dx方向上的分量為：

fx=Kgdδsinφ=Kgdxsin2φ

(8)

由力平衡關(guān)系可得：

F=2fx=Kgdx

(9)

同理可以得到，滾輪導(dǎo)軌的徑向剛度和軸向剛度均為Kg。滾輪接觸模型如圖1所示。

滾輪與導(dǎo)軌的接觸可以認(rèn)為是線(xiàn)接觸，而對(duì)于滾輪軸承來(lái)說(shuō)，其中的鋼珠與軸承框架則為點(diǎn)接觸，根據(jù)Hertz接觸理論，當(dāng)2個(gè)接觸的外凸形狀的固體相互擠壓時(shí)，接觸點(diǎn)擴(kuò)展為1個(gè)區(qū)域，在接觸區(qū)域內(nèi)會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力和變形。接觸斑的大小取決于接觸體的力學(xué)屬性和外部載荷。

圖1 滾輪接觸模型

對(duì)于彈性圓球點(diǎn)接觸，接觸半徑和接觸應(yīng)力分布可由下式給出[1，5-7]，即

(10)

最大壓力為：

(11)

由于接觸部位附近的變形，接觸體將會(huì)相互趨近。Hertz接觸載荷與趨近量的關(guān)系為：

(12)

工程實(shí)際應(yīng)用中常保持預(yù)緊量為60μm，當(dāng)變形量較小時(shí)，F(xiàn)-δ關(guān)系近似為線(xiàn)性關(guān)系，鋼珠直徑為12mm，復(fù)合彈性模E=1.03×1011Pa，線(xiàn)性擬合后近似線(xiàn)性剛度為KB=1.51×105N/mm，經(jīng)線(xiàn)性擬合的F-δ關(guān)系和原曲線(xiàn)如圖2所示。從圖2可以看出，線(xiàn)性擬合剛度和實(shí)際剛度的差別很小，最大誤差為3.65%。

圖2 滾珠剛度線(xiàn)性擬合曲線(xiàn)

如此滾珠接觸等效為彈簧，當(dāng)滾珠兩端同時(shí)有接觸力作用時(shí)，就是一對(duì)彈簧的串聯(lián)問(wèn)題。若每根彈簧的剛度為KB，則每個(gè)接觸面的剛度為KB/2。軸承內(nèi)圈固定，當(dāng)外圈受軸向力F時(shí)，豎直下降位移為δ。接觸點(diǎn)由A點(diǎn)移動(dòng)到A1點(diǎn)，D點(diǎn)移動(dòng)到D1點(diǎn)。軸承接觸模型如圖3所示。

圖3 軸承接觸模型

從圖3可知，AC接觸對(duì)之間的接觸變形改變量δAC=AA1。因此，接觸變形量為：

δAC=δsinα，δBD=-δsinα

(13)

對(duì)軸承外圈進(jìn)行受力分析得：

F/Z=FACsinα-FBDsinα=Kbδ

(14)

Z為鋼珠數(shù)量，軸承共兩排鋼珠，每排12個(gè)，共24個(gè)，所以軸承的軸向剛度為Kba=24Kb=18.12×105N/mm。

當(dāng)軸承受到徑向力F作用時(shí)，受力情況如圖4所示。因預(yù)緊作用，各鋼珠均受力，而受力情況各不相同，越靠近受力點(diǎn)的鋼珠接觸力越大。各鋼柱法向接觸力為Fj。由受力分析得：

(15)

當(dāng)產(chǎn)生位移量δ時(shí)，每個(gè)滾珠的接觸變形變量為δj，δj=δcosαcosβj，法向接觸力FAC=FBD=Kb(δ0+δjcosα)，因此，有：

Fj=FAC+FBD=2KB(δ0+δcos2αcosβj)

(16)

由此可得：

(17)

所以軸承徑向剛度Kbr=9.06×105N/mm。

圖4 軸承徑向受力分布

2 振動(dòng)特性分析

機(jī)構(gòu)做豎直方向的一維運(yùn)動(dòng)，兩邊各有2組導(dǎo)軌，每組導(dǎo)軌有4對(duì)滾輪。據(jù)上述計(jì)算結(jié)果簡(jiǎn)化模型[8-10]，將接觸作用等效為彈簧單元，滾輪所在位置的滾輪-導(dǎo)軌接觸和軸承接觸可以等效為2個(gè)彈簧單元串聯(lián)之后的結(jié)果。坐標(biāo)系建立方式如圖5所示。設(shè)x軸方向彈簧剛度為kx，y方向彈簧剛度為ky。

(18)

圖5 動(dòng)力學(xué)模型

采用拉格朗日法建立動(dòng)力學(xué)方程[10-11]，設(shè)系統(tǒng)繞x軸，y軸，z軸的坐標(biāo)分別為φ，θ，Φ，則系統(tǒng)沿x軸，y軸和繞x軸，y軸，z軸的振動(dòng)方程可表示為：

(19)

qi為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；T為系統(tǒng)動(dòng)能；V為系統(tǒng)勢(shì)能。系統(tǒng)動(dòng)能為：

(20)

m為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)部分總質(zhì)量；Jx，Jy，Jz分別為機(jī)構(gòu)繞x軸，y軸，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由系統(tǒng)的動(dòng)能可以得到慣性力方程為：

(21)

系統(tǒng)的勢(shì)能為：

(22)

Kx為x方向彈簧剛度；Ky為y方向彈簧剛度；Δxi，Δyi分別為x方向，y方向第i個(gè)彈簧的伸長(zhǎng)量。由系統(tǒng)勢(shì)能可以得到彈性力方程為：

(23)

根據(jù)慣性力方程、彈性力方程得到系統(tǒng)的無(wú)阻尼振動(dòng)方程，方程改成矩陣形式為：

(24)

X為系統(tǒng)的坐標(biāo)位移矩陣，即

X=[x，y，φ，θ，φ]T

(25)

M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣。

(26)

(27)

求解系統(tǒng)特征方程可得系統(tǒng)固有頻率。對(duì)比ANSYS仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，計(jì)算誤差相差無(wú)幾。系統(tǒng)基頻超過(guò)了10Hz，滿(mǎn)足工作需要。結(jié)果如表1所示。

表1 固有頻率計(jì)算結(jié)果 Hz

3 疲勞特性分析

因高速重載運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的尺寸很大，難免產(chǎn)生偏心距。設(shè)質(zhì)心偏離幾何中心線(xiàn)距離為ε，取向右方向?yàn)檎较颍仨槙r(shí)針為正。根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡，計(jì)算傾覆力矩。下降階段重力產(chǎn)生的傾覆力矩始終為(m1+m2)gε，上升過(guò)程為m1gε，其中，m1為滑塊等組件質(zhì)量，m2為RTL組件質(zhì)量。過(guò)程中慣性力產(chǎn)生的傾覆力矩為(m1+m2)aε，上升過(guò)程電機(jī)作用力產(chǎn)生的傾覆力矩為(m1)aε。根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡可計(jì)算出傾覆力矩循環(huán)，如圖6所示。

圖6 傾覆力矩循環(huán)

機(jī)構(gòu)傾覆力矩將由導(dǎo)軌支持力平衡，這樣將對(duì)滾輪導(dǎo)軌產(chǎn)生壓力，根據(jù)平衡條件可計(jì)算滾輪所受壓力，最外側(cè)的一組滾輪受力最大為：

(28)

Li為第i組滾輪距離滾輪組對(duì)稱(chēng)軸的距離，i=1，2，3，4。由Hertz理論可知，滾輪中輪徑小處的接觸力大于輪徑大處的接觸力，所以只需計(jì)算輪徑最小處在工作過(guò)程中的應(yīng)力-時(shí)間數(shù)據(jù)。

滾輪采用GCr15材料，疲勞極限250MPa，屈服極限518 MPa，構(gòu)件承受的應(yīng)力幅水平與發(fā)生疲勞破斷時(shí)所經(jīng)歷的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系，多用如冪函數(shù)的形式表示[12-13]，即

(29)

S為應(yīng)力幅；m，C為與材料有關(guān)的常數(shù)。循環(huán)次數(shù)N=1時(shí)，S為屈服強(qiáng)度Sq，對(duì)于金屬材料，疲勞極限Sh所對(duì)應(yīng)的壽命一般為N=107次，這樣已知Sq和Sh的情況下，就可以聯(lián)立求解出常數(shù)m=22.12和C=1.13×1060，從而近似得到材料的S-N曲線(xiàn)，如圖7所示。

由Hertz接觸理論可以計(jì)算滾輪所受的接觸力-時(shí)間數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)力譜的處理采用雨流計(jì)數(shù)法，這樣就可以得到各級(jí)應(yīng)力的均值與幅值。

圖7 導(dǎo)軌材料S-N曲線(xiàn)

由于應(yīng)力均值對(duì)疲勞累積損傷的影響，必須對(duì)雨流計(jì)數(shù)的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)力均值修正，將非零應(yīng)力均值的應(yīng)力范圍轉(zhuǎn)化為零應(yīng)力均值的應(yīng)力范圍[14-17]。利用Sederberg直線(xiàn)將變幅疲勞應(yīng)力修正為平均應(yīng)力為零(即應(yīng)力比為-1)的疲勞應(yīng)力譜，即對(duì)稱(chēng)循環(huán)載荷譜。

Sederberg直線(xiàn)的表達(dá)式為：

Si=Sai/(1-Sni/SJ)

(30)

Si為第i級(jí)應(yīng)力循環(huán)的等效應(yīng)力；Sai為第i級(jí)應(yīng)力循環(huán)的應(yīng)力幅值；Sni為第i級(jí)應(yīng)力循環(huán)的應(yīng)力均值；SJ為材料的屈服強(qiáng)度。將雨流計(jì)數(shù)法得到的Sai和Sai代入即可求得對(duì)稱(chēng)循環(huán)應(yīng)力。

圖8為用雨流計(jì)數(shù)法計(jì)算得到的等效應(yīng)力，經(jīng)計(jì)算各級(jí)應(yīng)力均遠(yuǎn)小于疲勞極限，其中最大級(jí)應(yīng)力為S=94.19 MPa。也即各級(jí)應(yīng)力對(duì)疲勞壽命沒(méi)有影響，可認(rèn)為滾輪工作循環(huán)數(shù)為107。

圖8 接觸力分布

4 結(jié)束語(yǔ)

基于赫茲接觸理論對(duì)滾輪導(dǎo)軌系統(tǒng)建立了接觸力學(xué)模型，得到滾輪、軸承的總接觸剛度。根據(jù)接觸剛度模型、拉格朗日方程法建立了高速重載運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，得到機(jī)構(gòu)的自由振動(dòng)微分方程，從而計(jì)算出機(jī)構(gòu)的各階固有頻率，其一階固有頻率為13.4Hz。借助有限元分析軟件ANSYS對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了方法的正確性。對(duì)滾輪導(dǎo)軌進(jìn)行了接觸疲勞強(qiáng)度分析。采用雨流計(jì)數(shù)法和Sederberg直線(xiàn)處理接觸應(yīng)力載荷譜，計(jì)算出滾輪導(dǎo)軌的最大級(jí)循環(huán)應(yīng)力為95 MPa。

[1] Johnson K L. 接觸力學(xué)[Z].劍橋大學(xué)出版社，1985.

[2] 劉曙光. 滾柱直線(xiàn)導(dǎo)軌副的力學(xué)性能分析[D]. 武漢：華中科技大學(xué)，2011.

[3] Chen J L，Wijaya M T. The control of long-range single-axis nanometer positioning system[C]//International Design Engineering TechnicalConferences & Computers and Information in Engineering Conference,New York，2008.

[4] Wu J S，Chang J，Hung J. The effect of contact interface on dynamic characteristics of composite structures[J]. Mathematics and Computers in Simulation,2007,74(6):454-467.

[5] Ohta H，Kitajima Y，Kato S，et al. Effects of ball groupings on ball passage vibrations of alinear guideway type ball bearing(pitching and yawing ballpassage vibrations)[J]. Journal of Tribology，2007，129(1): 188-193.

[6] Zhang Xueliang．Mechanical joint surface dynamic characteristics and application[M]．Beijing：China Science and Technology Publishing House，2002．

[7] Fujiwara H. Logarithmic profiles of rollers in roller bearings and optimization of the profiles[Z]. Kawase T，2007.

[8] 李丹達(dá). 電梯輪軌耦合振動(dòng)建模及分析[D].上海： 同濟(jì)大學(xué)，2006.

[9] Sun W，Wang B，Wen B C. Dynamics characteristics testing and parameter identification for joints of linear rolling guide way[J]. Journal of Northeastern University，2011，32(5): 716-719.

[10] Liu Yanjie，Song Lei，Liu Niuniu. Modeling and parameter identification of the cross roller guide way[C]//Proceedings of the IEEE/ICMA International Conference on Mechatronics and Automation，2012:692-696.

[11] Zhou Chuanrong. Structural dynamic design[J]. Journal of Vibration Measurement and Diagnosis，2001，21(1):1-7.

[12] Xie Jilong. Dynamic response and fatigue strength of depressed center flat frame[J]. Journal of Mechanical Engneering，2010,46(16):16-22.

[13] Howell L J．Power spectral density analysis of vehicle vibration using the NASTRAN computer program[J]．SAE Tramns,1974,83(2)：1415-1424．

[14] Pen Zunsong.Vehicle system dynamics[M]．Beijing：China Railway Publishing House，2007．

[15] 謝基龍，張 燕，謝云葉. 鐵路凹底平車(chē)凹底架動(dòng)態(tài)響應(yīng)及其疲勞強(qiáng)度[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46 (16):16-22.

[16] British Standards Institution．BS EN 1993·l·9 2005 Euroeode 3.Design of steel structures．Fatigue[S]．London：British Standards Institution，2005．

[17] 辛天佐. 輕量化 LNG 罐車(chē)的強(qiáng)度分析與疲勞研究[D].南京：南京理工大學(xué)，2012.

Vibration and Fatigue Analysis of High-speed Heavy Mechanism Basedon Roller Contact Model

WANGRui，LIUYanjie，YANGLidong

(State Key Laboratory of Robotics and System，Harbin Institude of Technology，Harbin 150001，China)

Established the mechanism’s roller guide contact mechanics model by Hertz contact theory，derived contact stiffness，strength calculation and analyze the total contact stiffness of the wheels and the bearing. According to the contact stiffness model of high-speed heavy motion mechanism，established dynamic mode by using Lagrange equations of motion mechanism，Thus，established freedom vibration differential equation to calculate the natural frequencies of mechanism.

roller guide；contact mechanics；Lagrange equation

2014-05-05

黑龍江省科研機(jī)構(gòu)創(chuàng)新能力提升專(zhuān)項(xiàng)計(jì)劃項(xiàng)目(YC13D004);國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(八六三)資助項(xiàng)目(2013AA040901)

TH112

A

1001-2257(2014)09-0047-05

王銳(1989-)，男，黑龍江佳木斯人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械電子工程；劉延杰(1975-)，男，黑龍江哈爾濱人，教授，研究方向?yàn)闄C(jī)器人技術(shù)。