彭建榮 (陜西師范大學(xué)音樂學(xué)院 陜西西安 710100)

音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系初探

彭建榮 (陜西師范大學(xué)音樂學(xué)院 陜西西安 710100)

在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，音樂理論、音樂作曲、電子音樂制作等方面，都需要數(shù)學(xué)。同時，在音樂界也有一些數(shù)學(xué)素養(yǎng)很好的學(xué)者為音樂的發(fā)展做出了重要的貢獻。他們和我們都希望有志于音樂事業(yè)的同學(xué)們學(xué)好數(shù)學(xué)，因為在將來的音樂事業(yè)中，數(shù)學(xué)將起著非常重要的作用。小提琴協(xié)奏曲《梁?！穬?yōu)美動聽的旋律、《十面埋伏》的錚錚琵琶聲、貝多芬令人激動的交響曲，田野中昆蟲啁啾的鳴叫等等。當(dāng)我們沉浸在這些美妙的音樂中時，我們是否想到了它們與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系？

音樂；數(shù)學(xué)；畢達哥拉斯

長久以來，音樂和數(shù)學(xué)一直被聯(lián)系在一起。從基本的阿拉伯?dāng)?shù)字到“黃金分割”，音樂中不僅包含了數(shù)學(xué)中的“數(shù)列”“變換”等知識，而且樂譜的書寫乃至樂器的制作等等也無不透著數(shù)學(xué)的蹤影。數(shù)學(xué)家研究音樂，音樂家們也在探索數(shù)學(xué)的奧秘。正因如此，越來越多的人開始關(guān)注音樂，思考音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系!

其實，人們對數(shù)學(xué)與音樂之間聯(lián)系的認(rèn)識和研究可以說源遠(yuǎn)流長。在2500年前，古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯曾發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律，“音響的和諧與發(fā)聲體體積的一定比例有關(guān)”。比如，當(dāng)一根琴弦被縮短到原來長度的一半時，撥動琴弦，音調(diào)將提高8度；比率為3∶2和4∶3時，相對應(yīng)的是提高5度和4度的和聲?！爱?dāng)時畢達哥拉斯學(xué)派用比率將數(shù)學(xué)與音樂聯(lián)系起來。他們把‘?dāng)?shù)’看作是萬物的本源體，認(rèn)為世界上的一切事物都是由一定的數(shù)及其相互關(guān)系構(gòu)成的，并表現(xiàn)出了數(shù)的和諧性。他們還認(rèn)為，音樂的和諧是由于數(shù)的原因才得以實現(xiàn)，沒有了數(shù)，也就失去了音樂藝術(shù)的存在價值。”1

在我國《管子?地員篇》中也有所述：“凡將起五音，凡首，先主一而三之。四開以合九九，以是生黃鐘小素之首以成宮，三分而益之以一，為百有八，為徵，不無有三分而去其乘，適足，以是生商，有三分而復(fù)于其所，以是成羽，有三分去其乘，適足，以是成角?！蔽闹小靶∷亍奔础鞍拙毮耸旖z”?？芍怯孟襾砬舐傻?。其方法是先以一條弦為基礎(chǔ)，將其長度分為三等份，“益”是增加其長的1/3，即4/3；“損”是減其長度的1/3，即2/3，求得其純四度音：

1×3×3×3×3=81............宮

81×4/3=108.................徵(益一)

108×2/3=72.................商(損一)

72×4/3=96...................羽(益一)

96×2/3=64...................角(損一)2

在古代，音樂的發(fā)展就與數(shù)學(xué)緊密地聯(lián)系在了一起。從那時起到現(xiàn)在，隨著數(shù)學(xué)和音樂的不斷發(fā)展，人們對它們之間關(guān)系的理解和認(rèn)識也在不斷地加深，音樂中處處閃現(xiàn)著理性的數(shù)學(xué)。看一下樂器之王 ——鋼琴的鍵盤吧（如圖1），其上恰好與斐波那契數(shù)列有關(guān)。我們知道在鋼琴的鍵盤上，從一個 C 鍵到下一個C 鍵就是音樂中的一個八度音程。其中共包括13個鍵，有8個白鍵和5個黑鍵，而5個黑鍵分成2組 ，一組有2個黑鍵 ，一組有3個黑鍵。而2、3、5、8、13……恰好就是著名的斐波那契數(shù)列中的前幾個數(shù)。如果說斐波那契數(shù)在鋼琴鍵上的出現(xiàn)是一種巧合，那么等比數(shù)列在音樂中的出現(xiàn)就決非偶然了。1、2、3、4、5、6、7、i等音階就是利用等比數(shù)列規(guī)定的。來看一下（圖1），顯然這個八度音程被黑鍵和白鍵分成了12個半音，并且我們知道下一個C鍵發(fā)出樂音的頻率是第一個C鍵頻率的2倍，因為用2來分割，所以這個劃分是按照等比數(shù)列而作出的。

既然音樂中存在著數(shù)學(xué)變換，而數(shù)學(xué)中存在著平移變換，那么音樂中是否也存在著平移變換呢？我們可以通過兩個音樂小節(jié)來尋找答案（如圖2）。顯然可以把第一個小節(jié)中的音符平移到第二個小節(jié)中去，就出現(xiàn)了音樂中的平移，這實際上就是音樂中的反復(fù)。把兩個音節(jié)移到直角坐標(biāo)系中（如圖3），顯然，這正是數(shù)學(xué)中的平移。

音樂中不僅僅只出現(xiàn)平移變換，可能會出現(xiàn)其他的變換及其組合，比如反射變換等等。兩個音節(jié)就是音樂中的反射變換。如果我們?nèi)詮臄?shù)學(xué)的角度來考慮，把這些音符放進坐標(biāo)系中，那么它在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)就是我們常見的反射變換。同樣，我們也可以在時間音高直角坐標(biāo)系中把這兩個音節(jié)用函數(shù)近似地表示出來。通過以上分析可知，一首樂曲有可能就是對一些基本曲段進行各種數(shù)學(xué)變換的結(jié)果。

然而，大自然中的音樂與數(shù)學(xué)的聯(lián)系更加神奇?！绑傍Q叫可以說是大自然之音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率與氣溫有著很大的關(guān)系，我們可以用一個一次函數(shù)來表示:C=4t–160。其中C代表蟋蟀每分鐘叫的次數(shù)，t代表溫度。按照這一公式，我們只要知道蟋蟀每分鐘叫的次數(shù)，不用溫度計就可以知道天氣的溫度了！理性的數(shù)學(xué)中也存在著感性的音樂，由一段三角函數(shù)圖像出發(fā)，我們只要對它進行適當(dāng)?shù)姆侄?，形成適當(dāng)?shù)男」?jié)，并在曲線上選取適當(dāng)?shù)狞c作為音符的位置所在，那么就可以作出一節(jié)美妙的樂曲?！?

由此可見，我們不僅能像匈牙利作曲家貝拉、巴托克那樣利用黃金分割來作曲，而且也可以從純粹的函數(shù)圖像出發(fā)來作曲。其中最典型的代表人物就是20世紀(jì)20年代的哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)和音樂教授約瑟夫?希林格。他曾經(jīng)把紐約時報的一條起伏不定的商務(wù)曲線描述在坐標(biāo)紙上，然后把這條曲線的各個基本段按照適當(dāng)?shù)模椭C的比例和間隔轉(zhuǎn)變?yōu)闃非?，最后在樂器上進行演奏，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這竟然是一首曲調(diào)優(yōu)美、與巴赫的音樂作品極為相似的樂曲！

因而我們說，音樂中存在數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)中存在音樂并不是一種偶然，而是數(shù)學(xué)和音樂融和貫通于一體的一種體現(xiàn)。我們知道音樂通過演奏出一串串音符而把人的喜怒哀樂或?qū)Υ笞匀?、人生的態(tài)度等表現(xiàn)出來，即音樂抒發(fā)人們的情感，是對人們自己內(nèi)心世界的反映和對客觀世界的感觸，它是用來描述客觀世界的，只不過是以一種感性的或者說是更具有個人主體色彩的方式來進行。而數(shù)學(xué)是以一種理性的、抽象的方式來描述世界，使人類對世界有一個客觀的、科學(xué)的理解和認(rèn)識，并通過一些簡潔、優(yōu)美、和諧的公式來表現(xiàn)大自然。因此可以說數(shù)學(xué)和音樂都是用來描述世界的，只是描述方式有所不同，但最終目的都是為人類更好地生存和發(fā)展服務(wù)。所以，它們之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系應(yīng)該是一件自然而然的事。

既然數(shù)學(xué)與音樂有如此美妙的聯(lián)系，為何不讓我們沉浸在《梁祝》優(yōu)美動聽的旋律中或置身于昆蟲啁啾鳴叫的田野里靜下心來思考數(shù)學(xué)與音樂的內(nèi)在聯(lián)系呢？為何不讓我們在錚錚琵琶聲中或令人激動的交響曲中充滿信心地對它們的內(nèi)在聯(lián)系繼續(xù)探索呢？

數(shù)學(xué)的抽象美，音樂的藝術(shù)美，經(jīng)受了歲月的考驗，進行了相互的滲透。如今，有了數(shù)學(xué)分析和電腦的顯示技術(shù)，眼睛也可辨別音律。但對音樂美更深的奧秘至今還缺乏更合適的數(shù)學(xué)工具加以探究，還有待于音樂家和數(shù)學(xué)家今后的合作和努力。

注釋：

1.朱秋華編著.《西方音樂史》第三頁.北京大學(xué)出版社， 2002（9）.

2.陳四海編著.《中國古代音樂史》（上冊）.陜西旅游出版社，2000（9）.

3.郝飛.周艷艷.撰寫.《淺談音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系》.http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-IWAS2011Z6074.htm 2011年Z6期.

彭建榮（1993—）男，漢族，陜西（商洛）人，現(xiàn)就讀于陜西師范大學(xué)音樂學(xué)院音樂文化學(xué)專業(yè)，主要從事中國古代音樂史研究。