劉 洋， 何 璐， 孫麗英， 許貴橋

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，天津300387)

1 引 言

統(tǒng)計(jì)推斷是根據(jù)帶隨機(jī)性的觀測數(shù)據(jù)(樣本)以及問題的條件和假定(模型)而對未知事物作出的以概率形式表述的推斷.統(tǒng)計(jì)推斷的應(yīng)用已經(jīng)遍及幾乎所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，在質(zhì)量管理活動(dòng)中應(yīng)用尤其普遍.因此，如何提高推斷的準(zhǔn)確性，是國內(nèi)外研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題.隨機(jī)變量的分布函數(shù)是統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)，現(xiàn)在各種推斷方法中均假定隨機(jī)變量為連續(xù)型分布，而實(shí)際問題有許多都是連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的積，如單個(gè)電器的壽命為指數(shù)分布(連續(xù)型)，而工廠隨機(jī)生產(chǎn)的電器數(shù)量為泊松分布(離散型)，提供的總服務(wù)時(shí)間實(shí)際為連續(xù)型分布與離散型分布的積，把它用連續(xù)型隨機(jī)變量來處理是失真的，因此推斷所得結(jié)果的準(zhǔn)確性也是有問題的.注意到目前為止,文獻(xiàn)[1，2]得到了利用Lebesgue-Stieltjes積分給出的一般隨機(jī)變量的和的分布函數(shù)，而文獻(xiàn)[3]給出了一般隨機(jī)變量的差的分布函數(shù)，但有關(guān)隨機(jī)變量積的分布函數(shù)計(jì)算公式僅限于兩個(gè)隨機(jī)變量均為離散型或均為連續(xù)型，因此我們將利用Lebesgue-Stieltjes積分給出一般隨機(jī)變量的積的分布函數(shù)計(jì)算公式，并由此公式處理一些實(shí)際問題.下面具體敘述問題.

設(shè)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)

F(x)=P{-∞<ξ≤x}

為ξ的分布函數(shù)，其滿足性質(zhì)：

1.F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)不減；

2.F(x)任意點(diǎn)x處皆右連續(xù)；

(1)

若ξ，η均為連續(xù)型隨機(jī)變量且互相獨(dú)立，則容易得出其積的分布密度函數(shù)；若ξ，η均為離散型隨機(jī)變量且相互獨(dú)立，則容易得出其積的分布列.但當(dāng)ξ，η分別是連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量時(shí)，其積的分布問題尚未見到導(dǎo)論.本文將利用Lebesgue-Stieltjes積分給出相應(yīng)的分布函數(shù)，并用實(shí)例說明其應(yīng)用.

2 隨機(jī)變量積的分布函數(shù)

定理1設(shè)ξ是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F(x)，η是一個(gè)隨機(jī)變量，分布函數(shù)為G(x).若ξ，η是互相獨(dú)立的，則隨機(jī)變量ζ=ξη的分布函數(shù)為

其中G(x-)表示函數(shù)G(x)于x處的左極限，而

證由ξ，η的獨(dú)立性及F(x) ，G(x)的定義可知在二維隨機(jī)變量(ξ,η)中，事件a<ξ≤b,c<η≤d的概率為

P(a<ξ≤b,c<η≤d)=(F(b)-F(a))(G(d)-G(c)).

(2)

由(2)及二重積分的定義可知，對任意二維空間的Lebesgue可測集E,有

(3)

由(3)可得對任意x∈(-∞,∞)

(4)

由Fubini定理可知此二重積分可先化為關(guān)于s再關(guān)于t的二次積分，即

(5)

其中

(6)

由分布函數(shù)的定義及(1)可得

(7)

由F(x)的連續(xù)性及(1)可計(jì)算得

(8)

由Lebesgue-Stieltjes積分的定義及(1)可得

(9)

由(5)-(9)可得

注1 若ξ,η均為連續(xù)型隨機(jī)變量且互相獨(dú)立，其概率密度分別為f(x),g(x)，則

(10)

此時(shí)由定理可知ζ=ξη的分布函數(shù)為

(11)

由(11)可知ζ=ξη的概率密度為

即定理1是連續(xù)型隨機(jī)變量積的密度函數(shù)求積公式的推廣.

注2 若η為離散分布，其分布列為

(12)

則由定理可知ζ=ξη的分布函數(shù)為

(13)

注3 對任意兩個(gè)隨機(jī)變量，定理1不一定成立.例如，若ξ,η分別為取值為1和-1的單點(diǎn)分布，則

(14)

由(14)直接計(jì)算可得

(15)

由于其不是右連續(xù)的，因此其不等于ζ=ξη的分布函數(shù).

3 隨機(jī)變量積的相關(guān)實(shí)例

例1 學(xué)校教務(wù)處欲建立一辦公室為學(xué)生提供咨詢服務(wù)，經(jīng)調(diào)查知道單位時(shí)間內(nèi)的學(xué)生平均咨詢次數(shù)量為λ，每次咨詢的平均服務(wù)時(shí)間為μ，在此情況下辦公室至少安排幾名工作人員，才能使得學(xué)生咨詢無須等候的概率不小于0.9？

解由于學(xué)生的咨詢是隨機(jī)的，故由概率知識知道每次服務(wù)的時(shí)間ξ服從均值為μ的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為

(16)

由概率知識知道單位時(shí)間內(nèi)的咨詢次數(shù)η服從均值為λ的泊松分布，其分布列為

(17)

辦公室在單位時(shí)間內(nèi)需要的總咨詢?yōu)棣?ξη.因此由(13)，(16)和(17)可得ξ的分布函數(shù)為

(18)

由H(x)的嚴(yán)格單調(diào)性知方程

的根是唯一的.求出其根A.當(dāng)工作人員的個(gè)數(shù)大于A時(shí)，才能保證學(xué)生咨詢無須等候的概率不小于0.9.

例2某養(yǎng)羊牧場每年冬天出售成羊，同時(shí)選擇種羊供下年用.現(xiàn)已知每只母種羊平均生λ只羊羔，羊群每年秋天的個(gè)體食草量的需求服從正態(tài)分布N(μ,σ2).牧場每年秋天的蓄草量是穩(wěn)定的，其值為A.當(dāng)羊群的總食草量需求超過牧場的蓄草量時(shí)，羊群就會由于饑餓大批死亡且引發(fā)一系列環(huán)境問題.問冬天應(yīng)如何保留種羊，才能保證羊群安全過秋的概率不小于0.95？

解假設(shè)羊群第二年無意外死亡，則若保留n頭公種羊與m頭母種羊，則由概率知識知第二年秋天羊的數(shù)量η的分布列為

(19)

記ξ為正態(tài)分布N(μ,σ2)，則其分布函數(shù)為

(20)

羊群的總食草量需求為ζ=ξη，因此由(13)，(19)和(20)可得ζ的分布函數(shù)為

(21)

(22)

再令

(23)

當(dāng)n,m滿足(23)式時(shí)，才能保證羊群安全過秋的概率不小于0.95.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 王梓坤.概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社.1976.

[2] 楊豐凱.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量之和的分布[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2005，11(4)：95-96.

[3] 田貴辰,高印芝,胡景明.隨機(jī)變量的差的分布函數(shù)的積分表達(dá)式[J].大學(xué)數(shù)學(xué).1998，14(4)：125-127.

[4] 魏宗舒，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M]. 北京：高等教育出版社.1983.

[5] 周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)[M].北京：北京大學(xué)出版社.1995.