ζ(2k)的一種簡便算法

周華生

(江蘇常熟市中學(xué) ，江蘇常熟215500)

定理1設(shè)z∈，則

(1)

其中bn滿足

或

且b0=1，b2k+1=0(k∈+).

設(shè)t=2iz,則

比較tn的系數(shù)得b0=1，且有

兩邊乘以(n+1)!，得

或

(2)

若將bn看成bn，上式可利用如下的二項式定理幫助記憶，即

(b+1)n+1-bn+1=0 (n=1,2,3，…).

由于zcotz為偶函數(shù)，故z2k+1的系數(shù)b2k+1=0(k∈+).

依次將n=1,2,3，…代入(2)，由b0=1可逐步求得

將t換回到z，可得

(3)

zcotz還有另一種展開形式，我們有

定理2當(dāng)|z|<π時，

證首先，考慮coszx是偶函數(shù)，故可以在(-π,π)上展開為余弦級數(shù).又

以x=π代入，得

(4)

所以

又當(dāng)|z|<π時，

故

(5)

其中Bk=(-1)k-1b2k(k=1,2,3，…)稱為貝努利數(shù).

證比較(3),(5)，zcotz兩種展開式相等，令Bk=(-1)k-1b2k，可得

因為z2k的系數(shù)相等，故有

化簡，可得ζ(2k)的表達(dá)式.

(6)

公式(6)稱為歐拉公式，其中Bk稱為貝努利數(shù)，且

由公式(6)可得

(華南工學(xué)院1979年研究生入學(xué)試題)

此外還可求得

歐拉公式還有如下的一些應(yīng)用：

[參 考 文 獻(xiàn)]

[3] 華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論(第一卷第二分冊)[M].北京：科學(xué)出版社，1979：282-284.