一類重積分解法的探討

龔偉楓， 吳 潔

(1.華中科技大學(xué)光學(xué)與電子信息學(xué)院，湖北武漢430074； 2.華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北武漢430074)

在2010年全國碩士生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三中有如下試題：

圖1

解法1區(qū)域D如圖1所示.

=14/15 .

說明：

(i)ρ和t并沒有幾何意義，它們僅表示關(guān)于x,y的某個表達(dá)式的值.

圖2 圖3

圖4 圖5

解法1利用直角坐標(biāo)并由對稱性，得

可見，當(dāng)被積函數(shù)含x2-y2，用“雙曲坐標(biāo)變換”避免了復(fù)雜的計算過程.例3將說明當(dāng)被積函數(shù)和積分區(qū)域同時含有x2-y2項時，采用“雙曲坐標(biāo)變換”的優(yōu)越性.

解法2利用直角坐標(biāo)并由對稱性，得

由于后面的積分過程比較復(fù)雜，積分結(jié)果由以下Matlab程序提供.

syms y;

f=inline(′sqrt(1+y.^2)′);

i=quad(f,0,1);

f1=inline(′y.^2.*log(sqrt(1+y.^2)+1)′);

i1=quad(f1,0,1);

i2=quad(′sqrt(2).*y.^2′,0,1);

f3=inline(′y.^2.*log((sqrt(2)+1).*y)′);

i3=quad(f3,0,1);

i0=i-i1-i2+i3;

運行結(jié)果：

i0=0.5876.

兩種方法的計算結(jié)果一致，說明了運用“雙曲坐標(biāo)變換”方法的正確性.

類似于極坐標(biāo)，利用雙曲坐標(biāo)變換還可以處理一些直角坐標(biāo)無法計算的問題.

注 該題被積函數(shù)為ey2·e-x2，在直角坐標(biāo)系下，無論是先對x還是先對y積分，均無法積出.

“雙曲坐標(biāo)變換”的方法也可以運用到三重積分的計算上.如果單葉雙曲面、雙葉雙曲面、圓錐面、雙曲拋物面或雙曲柱面的標(biāo)準(zhǔn)形式出現(xiàn)在積分區(qū)域邊界上或被積函數(shù)中，可以根據(jù)需要做相應(yīng)的變換，變換的形式可以多樣.

圖6

因此

解法2利用對稱性，

例5的積分區(qū)域含單葉雙曲面，且單葉雙曲面在積分區(qū)域邊界上.對比兩種解法可以看出 “雙曲坐標(biāo)變換”更加直觀和自然.例6則根據(jù)區(qū)域的不同邊界選取了不同的“雙曲坐標(biāo)變換”，均可達(dá)了到簡化計算的效果.

圖7

解法1利用對稱性，

因此

本文引入的“雙曲坐標(biāo)變換”實際上是重積分極坐標(biāo)代換的一種推廣.極坐標(biāo)代換便于解決積分區(qū)域為圓域、被積表達(dá)式中含有平方和項的重積分問題，從前面幾例可以看出，“雙曲坐標(biāo)變換”適用于積分區(qū)域邊界含有雙曲線、被積表達(dá)式中含有平方差項的重積分問題.在這類問題上，這種變換有著不可替代的優(yōu)越性.應(yīng)當(dāng)指出的是，使用“雙曲坐標(biāo)變換”時積分區(qū)域受到一定限制，積分區(qū)域不應(yīng)當(dāng)越出該變換可以使用的范圍，否則該方法失效.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系. 微積分學(xué)[M].3版.北京：高等教育出版社, 2008.