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      若干數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的統(tǒng)一解法

      2014-09-17 06:55:14蘇化明
      大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年6期
      關(guān)鍵詞:哈爾濱工業(yè)大學(xué)哈爾濱陜西省

      潘 杰, 蘇化明

      (合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥 230009)

      首先介紹幾道關(guān)于定積分計(jì)算的數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題.

      本文將給出一個(gè)關(guān)于定積分的命題,由此命題可以給出以上幾道試題的統(tǒng)一解答,然后再通過(guò)另外的實(shí)例進(jìn)一步說(shuō)明此命題的應(yīng)用.

      命題設(shè)f(x),g(x)為[a,b] (b>a)上的連續(xù)函數(shù). 若f(x)=f(a+b-x),g(x)+g(a+b-x)=m(常數(shù)),則有

      (1)

      證令x=a+b-t,則

      于是

      由于f(a+b-x)=f(x),所以

      試題(A)的解答.

      故由(1)可得

      試題(B)的解答.

      故由(1)可得

      試題(C)的解答.

      令x=tant,則有

      故由(1)可得

      注 本試題還有其他解法.

      試題(D)的解答.

      試題(E)的解答.

      故In=In-2(n=2,3,…).

      由于I0=0,I1=π,所以

      試題(F)的解答.

      故由(1)可得

      因此

      下面再舉幾個(gè)例子進(jìn)一步說(shuō)明本文所給命題在某些積分計(jì)算中的應(yīng)用.

      由于

      令x=π-t,則

      解在(1)中取a=0,b=nπ,f(x)=|sinnx|,g(x)=x,則有f(nπ-x)=f(x),g(nπ-x)=nπ-x,g(x)+g(nπ-x)=nπ,故由(1)可得

      由于

      因此所求積分I=n2π.

      例3[6]證明:

      并求I的值. (陜西省第八次大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題,2010年)

      因此

      [參 考 文 獻(xiàn)]

      [1] 劉培杰數(shù)學(xué)工作室組織編譯.歷屆PTN美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題集(1938—2007)[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2009.

      [2] 許康,陳強(qiáng),陳摯,陳娟編譯.前蘇聯(lián)大學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題解(下編)[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2012.

      [3] 王麗萍編譯.歷屆IMC國(guó)際大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題集(1994—2010)[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2012.

      [4] 李心燦,季文鐸,孫洪祥,邵鴻飛,吳紀(jì)桃,張后揚(yáng).大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解析選編[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2011.

      [5] 李重華,孫薇榮,景繼良,鄭麒海.上海交通大學(xué)1982—1995年高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題精解[M].上海:上??茖W(xué)普及出版社,1996.

      [6] 陜西省第八次大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(6):64-65.

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