丁殿坤， 邊平勇

(山東科技大學(xué) 基礎(chǔ)課部， 山東 泰安 271019)

1 引 言

Taylor中值定理是高等數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)分析)的重要內(nèi)容之一，也是Lagrange中值定理的推廣，它可以把一個函數(shù)f(x)展為

當(dāng)x0=0時，

根據(jù)精確程度要求來計算函數(shù)在x0(或x=0)附近的函數(shù)值，誤差不超過|Rn(x)|，其中

但高等數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)分析)教材中通常都是把sinx，cosx分別展成

和

其中

那么，就提出這樣一個問題：對于缺項(xiàng)的Taylor公式，其余項(xiàng)Rn(x)是用

表示的，能否用

來表示呢？下面就這個問題進(jìn)行探討.

2 定理與推論

上面的問題歸結(jié)為：是否存在ξ0(或θ0)使

于是給出如下定理.

定理設(shè)f(x)在含x0的某區(qū)間內(nèi)有直到(n+2)階導(dǎo)數(shù)，若f(n+1)(x0)=0，則存在ξ0和ξ使f(x)的Taylor公式的余項(xiàng)

成立.

證在以x,x0為端點(diǎn)的區(qū)間上將f(n+1)(x)應(yīng)用Lagrange中值定理便得

f(n+1)(x)-f(n+1)(x0)=f(n+2)(ξ)(x-x0).

而f(n+1)(x0)=0，所以，

f(n+1)(x)=f(n+2)(ξ)(x-x0)，

(1)

(2)

(3)

由(2)式和(3)式得

于是當(dāng)x0=0時可得到如下推論：

推論設(shè)f(x)在含有x=0的某區(qū)間內(nèi)有直到(n+2)階導(dǎo)數(shù). 若f(n+1)(0)=0，則一定存在0<θ0<1和0<θ<1使f(x)的Maclaurin公式的余項(xiàng)

成立.

定理和推論就回答了上面提出的問題，所以sinx，cosx亦可分別寫成

和

其中

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊)[M]. 5版. 北京：高等教育出版社，2002：137-143.

[2] 陳紀(jì)修，於崇華，金路. 數(shù)學(xué)分析(上冊)[M]. 北京：高等教育出版社，2000：194-204.

[3] 王綿森，馬知思. 工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)(上冊)[M]. 北京：高等教育出版社，1998：138-142.

[4] 王志平.高等數(shù)學(xué)大講堂[M]. 大連：大連理工大學(xué)出版社，2004：108-110.