劉 衛(wèi)，孫曉霞，2，沈瑞琪，葉迎華

（1.南京理工大學(xué) 化工學(xué)院，南京 210094；2.遼寧北方華豐特種化工有限公司，遼寧 撫順 113003）

分離式霍普金森壓桿（Split Hopkinson Pressure Bar，SHPB）技術(shù)廣泛用于測(cè)試如陶瓷［1］、混凝土［2］、巖石［3］及肉質(zhì)［4］等材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，而自由式霍普金森壓桿（Free Hopkinson Pressure Bar，F(xiàn)HPB）技術(shù)廣泛用于加速度傳感器標(biāo)定［5］。由于該技術(shù)能方便、快速產(chǎn)生高值加速度，張學(xué)舜等［6－7］利用霍普金森壓桿過載實(shí)驗(yàn)技術(shù)評(píng)價(jià)火工品的抗過載性能，即通過對(duì)粘貼在壓桿中間的電阻應(yīng)變計(jì)采集的應(yīng)變脈沖信號(hào)進(jìn)行直接微分獲得火工品過載加速度，但由于質(zhì)點(diǎn)橫向慣性運(yùn)動(dòng)引起應(yīng)力波彌散現(xiàn)象影響，一維應(yīng)力若存在偏差，霍普金森壓桿沿軸向不同位置處加速度狀態(tài)（峰值、脈寬）必不一致，導(dǎo)致所求火工品過載狀態(tài)存在偏差。

為研究壓桿中彈性波的彌散效應(yīng)，Bancroft等［8－9］獲得PochhammerChree頻率方程的數(shù)值解。結(jié)果表明，用壓桿半徑、彈性模量、泊松比及密度等參數(shù)重建彌散應(yīng)力波成為可能。Gong等［10］對(duì)特定泊松比的相關(guān)數(shù)據(jù)插值，獲得相速與波長(zhǎng)關(guān)系，并用傅里葉變換方法分析壓桿應(yīng)力波傳播過程。通過聯(lián)立插值公式與彌散波傅里葉展開式，使用傅里葉變換方法分析壓桿的彌散效應(yīng)成為可能。本文采用快速傅里葉變換法分析霍普金森壓桿高過載實(shí)驗(yàn)中由彌散效應(yīng)所致火工品過載狀態(tài)偏差問題，以期獲得火工品試件準(zhǔn)確過載狀態(tài)。

1 傅里葉彌散分析方法

1.1 過載加速度求解

自由式霍普金森壓桿過載試驗(yàn)技術(shù)原理見圖1。采用波形整形器進(jìn)行加速度脈寬拓展實(shí)驗(yàn)，當(dāng)撞擊桿以一定速度向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，先撞到粘貼在入射桿打擊端的波形整形片，因其產(chǎn)生塑性變形，會(huì)在輸入桿中產(chǎn)生一定上升沿的入射應(yīng)力波沿輸入桿軸向傳播，并通過壓桿－試件界面處傳遞至火工品試件，對(duì)其進(jìn)行高加速度加載。

圖1 自由式霍普金森壓桿技術(shù)原理圖Fig.1 Schematic of free Hopkinson bar apparatus

基于霍普金森壓桿長(zhǎng)徑比較大，可將應(yīng)力波視為一維應(yīng)力波。據(jù)一維應(yīng)力波基本理論，輸入桿端面質(zhì)點(diǎn)速度為

式中：εi，εr為壓桿入射應(yīng)變及反射應(yīng)變；c0＝槡 E／ρ0為入射桿一維應(yīng)力波速。

由于試件長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于入射桿，忽略應(yīng)力波在試件內(nèi)損失，入射波全部反射，εr為εi的倒像，即

實(shí)際上試件與輸入桿端面粘接，由式（1）、（2）可得輸入桿端面即試件速度v與加速度a值為

式中：v，a為試件質(zhì)點(diǎn)速度、加速度；εi，c0，E，ρ0為自由式霍普金森桿入射應(yīng)變、波速、彈性模量及密度。應(yīng)變以壓為正。

1.2 過載加速度彌散修正

據(jù) PochhammerChree頻率方程［8－9］在幾個(gè)泊松比下數(shù)值解，Gong等［10］對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，獲得給定泊松比的相速與波長(zhǎng)關(guān)系為

據(jù)該代數(shù)方程，可確定相速cn。若無彌散效應(yīng)，且所有諧波成份相速均為c0，則所有諧波傳播x距離時(shí)間均為x／c0；但由于彌散效應(yīng)影響，某諧波成份以cn速度傳播x距離所需時(shí)間為x／cn，則與無彌散效應(yīng)相比，該條件下相角的改變量dn為

通過式（5）、（7）、（8）可獲得彌散波中每一頻率成份fn的相位。傳播x距離時(shí)，彌散波的相角為

據(jù)修正后相角，即可重建有限長(zhǎng)圓桿的應(yīng)力波。傳播x距離后，彌散修正后應(yīng)變波的傅里葉展開式為

傅里葉變換中應(yīng)變波εi轉(zhuǎn)換到頻率域的相角n可通過 cosn＝RE／（IM2＋RE2）1／2計(jì)算獲得，RE與 IM分別為應(yīng)變變換波的實(shí)、虛部；再利用新相角′n及幅值（IM2＋RE2）1／2經(jīng)共軛處理即可得修正后入射應(yīng)變變換波的實(shí)部RE′及虛部IM′，據(jù)此通過反向FFT變換即可獲得傳播x距離后時(shí)域上的應(yīng)變波，即

式中：N為數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

獲得修正的應(yīng)變波后即能據(jù)式（4）求出經(jīng)彌散修正的加速度。

2 壓桿過載狀態(tài)分析

2.1 壓桿過載加速度分析

圓彈性壓桿由65Si2MnW材料制成，尺寸為Φ16×1 500 mm，一維彈性應(yīng)力波速 c0＝5 163 m／s，泊松比ν＝0.30。為測(cè)量壓桿沿軸向不同位置處加速度時(shí)間歷程，在壓桿相距377 mm位置各粘貼一對(duì)應(yīng)變片，見圖2，采集信號(hào)并計(jì)算兩點(diǎn)處加速度時(shí)程。

圖2 應(yīng)變片粘貼位置Fig.2 Strain gages mounted on the pressure bar

在15.8 m／s撞擊速度下，G1，G2處連續(xù)應(yīng)變脈沖信號(hào)見圖3。由圖3看出，受彌散效應(yīng)影響，應(yīng)力波在壓桿內(nèi)傳播中發(fā)生升時(shí)增加、震蕩加劇現(xiàn)象，不利于用應(yīng)變信號(hào)時(shí)間移位方法獲得壓桿或試件其它位置精確應(yīng)變結(jié)果。

據(jù)式（4）計(jì)算G1，G2處加速度脈沖曲線，結(jié)果見圖4。由圖4看出，加速度峰值由G1處125 770 g減少至G2處99 150 g，脈沖寬度則由14μs增加至16μs。本文的加速度脈寬為全峰寬，但因加速度脈沖震蕩較大，很難準(zhǔn)確讀出，據(jù)加速度脈沖與應(yīng)變脈沖間存在的關(guān)聯(lián)性，一般參考應(yīng)變脈沖獲取脈寬，將應(yīng)變由0上升至最大值的時(shí)間差定義為加速度脈沖寬度。表明壓桿沿軸向不同位置處質(zhì)點(diǎn)加速度狀態(tài)發(fā)生變化：隨應(yīng)力波在壓桿內(nèi)部的傳播過載加速度峰值不斷減小，而脈寬會(huì)略微增加。此因存在彌散效應(yīng)，應(yīng)力波沿壓桿軸向傳播時(shí)其升時(shí)不斷增加，斜率減小，產(chǎn)生由應(yīng)變微分過程所得加速度曲線峰值不斷減小、脈寬增大現(xiàn)象。因此，在Hopkinson高過載試驗(yàn)中須對(duì)用應(yīng)變計(jì)采集的加速度曲線進(jìn)行彌散修正，以準(zhǔn)確獲取壓桿任意位置的應(yīng)變及加速度狀態(tài)。

圖 3 G1，G2處應(yīng)變信號(hào)Fig.3 Strain pulse getting from G1and G2 gage

圖4 G1，G2處加速度曲線Fig.4 Acceleration pulse getting from G1and G2 strain gage

圖5 G1處修正加速度曲線與G2處加速度曲線比較Fig.5 Comparison between corrected acceleration pulse at G1 gage and acceleration at G2 gage

2.2 波形傳播過程彌散修正

為驗(yàn)證傅里葉彌散修正分析方法的正確性，本文以G2處加速度信號(hào)為基準(zhǔn)，將G1處應(yīng)變信號(hào)進(jìn)行右行377 mm距離的彌散修正，再據(jù)式（4）將修正的應(yīng)變信號(hào)轉(zhuǎn)化成加速度信號(hào)，并與基準(zhǔn)加速度曲線進(jìn)行比較。若二者吻合則表明該方法準(zhǔn)確、可靠。

由圖5看出，G1處經(jīng)右行修正的加速度曲線與G2處基準(zhǔn)加速度曲線吻合較好，表明在采用G1處加速度狀態(tài)評(píng)估G2處加速度狀態(tài)過程中須對(duì)G1處加速度曲線進(jìn)行彌散修正，才能獲得符合實(shí)際的實(shí)驗(yàn)結(jié)果；若利用應(yīng)變計(jì)處加速度狀態(tài)表征壓桿其它任意位置加速度狀態(tài)，只要對(duì)用應(yīng)變計(jì)所得應(yīng)變信號(hào)進(jìn)行一定距離的右行或左行彌散修正據(jù)式（4）求解加速度即可。

3 試件的過載加速度分析

脈沖整形技術(shù)已廣泛用于材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，以消除應(yīng)變波形的高頻震蕩并實(shí)現(xiàn)試件應(yīng)力均勻，獲得恒應(yīng)變率加載［11－12］。將脈沖整形技術(shù)引入霍普金森壓桿過載實(shí)驗(yàn)，對(duì)保持較高加速度峰值及拓展加速度脈沖寬度，均取得良好效果。

圖6 不同脈沖加載的加速度彌散分析Fig.6 Dispersion analysis under the loading of pulses with different shape

不同條件下所得幾種典型應(yīng)變脈沖見圖6（a）。其中＃1為15.8 m／s速度、未經(jīng)整形時(shí)電阻應(yīng)變計(jì)采集的應(yīng)變曲線；＃2，＃3為依次用 Φ7.06×0.88 mm的 A3鋼及 Φ3.04×2.00 mm的軟鋁整形器，分別在 18.7 m／s，25.1 m／s撞擊速度下所得應(yīng)變脈沖。由圖6（a）看出，雖三種應(yīng)變波形上升沿寬度不同，但在波形局部，三者均陡峭上升沿明顯，此為對(duì)霍普金森壓桿高過載實(shí)驗(yàn)的基本要求。過載加速度太小，較難滿足火工品過載實(shí)驗(yàn)要求。試驗(yàn)中電阻應(yīng)變片傳感器粘貼于G1位置（圖2）。試驗(yàn)后對(duì)＃1、＃2、＃3號(hào)應(yīng)變曲線進(jìn)行右行1.144 m彌散修正，獲得置于入射桿端部試件所受過載加速度曲線見圖 6（b）、（c）、（d）。由圖 6（b）、（c）、（d）看出，在三種不同形狀的連續(xù)脈沖加載條件下，經(jīng)彌散修正后試件的過載加速度峰值均有降低，但加速度脈沖寬度略微增加。

對(duì)＃1、＃2、＃3脈沖加載所得及修正前后加速度峰值、脈寬分別進(jìn)行偏差分析，結(jié)果見表1。由表1看出，無論采用何種脈沖加載，所得試件的過載加速度曲線峰值及脈沖寬度均有較大偏差，峰值偏差均在10%以上；脈沖寬度偏差因波形而異，脈寬越小的加速度修正后脈寬偏差越小，但絕對(duì)誤差均小于6μs。即波形整形技術(shù)在提高加速度脈寬情況下若不能完全消除彌散效應(yīng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響，須對(duì)應(yīng)變計(jì)脈沖進(jìn)行彌散修正，才能精確獲得試件的過載加速度峰值及脈寬。此對(duì)實(shí)驗(yàn)方法的完善、建立準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型至關(guān)重要。

通常不同作用脈沖，其上升沿越陡峭，高頻成分越多、脈沖在圓桿中傳播相同距離的彌散越大。由此表明，含陡峭上升沿的加載脈沖在傳播過程中必存在彌散效應(yīng)。而在霍普金森壓桿高過載實(shí)驗(yàn)中，因含陡峭上升沿應(yīng)變加載脈沖必然存在，否則所得加速度脈沖幅值必較小，無法滿足高過載實(shí)驗(yàn)對(duì)加速度峰值104g的量級(jí)要求。因此對(duì)含陡峭上升沿的彌散應(yīng)變脈沖，精確獲得試件實(shí)際過載加速度，彌散修正必不可少。而不含高頻成分的非彌散波，則無需彌散修正。

表1 彌散修正前后偏差分析Tab.1 Errors analysis before and after dispersion correction

4 結(jié) 論

（1）考慮壓桿質(zhì)點(diǎn)的橫向運(yùn)動(dòng)，用傅里葉變換方法分析壓桿應(yīng)變及加速度脈沖傳播過程的彌散效應(yīng)；用雙應(yīng)變片法獲得壓桿不同位置的應(yīng)變及加速度。通過比較證明由于彌散現(xiàn)象存在導(dǎo)致壓桿不同位置加速度狀態(tài)存在差異。

（2）用傅里葉變換彌散分析方法獲得不同脈沖加載及彌散修正前后試件過載加速度間的偏差。結(jié)果表明，利用傅里葉變換進(jìn)行彌散分析方法正確、可靠，且效果較好；為求得準(zhǔn)確的過載加速度，對(duì)含高頻成分的彌散波須進(jìn)行彌散修正。

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