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(天津機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 產(chǎn)學(xué)研中心，天津 300131)

圖1 橢圓與圓的關(guān)系

橢球面在光學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如電影放映機(jī)聚光燈的反射鏡、固體激光器中的聚光腔等都是橢球面?，F(xiàn)代光學(xué)儀器的飛速進(jìn)步，對(duì)光學(xué)元件的加工質(zhì)量提出了越來越高的要求，其中橢球面加工一直都是學(xué)者和工程師們關(guān)注的熱點(diǎn)問題。與此同時(shí)，高速切削技術(shù)也得到了迅速發(fā)展，為提高橢球面加工的表面質(zhì)量提供了新的思路。高速加工對(duì)刀路的要求相當(dāng)嚴(yán)格，走刀速度要平穩(wěn)，避免突然加減速。目前，最常用的走刀方式可以大致分為三種：行切式、環(huán)切式、螺旋式、復(fù)合式。行切和環(huán)切路徑的方向存在突變，這會(huì)導(dǎo)致切削厚度和切削力的急劇變化，易于產(chǎn)生振動(dòng)和變形，降低加工質(zhì)量，甚至報(bào)廢零件和崩斷刀具。螺旋式刀具軌跡具有軌跡連續(xù)、平滑、空行程小、效率高；沒有進(jìn)給方向和速度的突變，減少加減速次數(shù)，刀具負(fù)荷穩(wěn)定，沖擊小，可以延長(zhǎng)刀具壽命。因此，本文提出了利用基于殘留高度控制的螺旋線刀具軌跡對(duì)橢球面進(jìn)行加工的方法。目前，已經(jīng)有很多學(xué)者對(duì)基于殘留高度控制的自由曲面的刀具軌跡進(jìn)行研究，并得出了一些理論成果，但是由于這些成果多停留在理論階段，或者涉及到復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和程序設(shè)計(jì)，實(shí)際生產(chǎn)中的編程人員很難掌握。針對(duì)這些問題，本文以常用的CAM軟件NX UG為工具，給出了具體的基于殘留高度控制的橢球面加工的螺旋刀具軌跡生成的方法。

一、橢球面幾何分析與建模

本文基于NX UG軟件開展研究，但是該軟件沒有提供直接進(jìn)行橢圓建模的命令。因此有必要尋找一種，操作簡(jiǎn)單，又能保證精度的建模方法。

如圖1所示，以r=a為半徑繪制圓心為(0,0)的圓O1；以長(zhǎng)軸r1=a短軸r2=b橢圓C(a≥b)。

其中，圓O1是橢圓C的外切圓，其方程為：

x2+y2=a2

橢圓C的方程為：

在圓O1上任取一點(diǎn)P1(x0,y0)，過P1做X軸的垂線，與O1下半圓交與P2，與橢圓交與Q1，Q2兩點(diǎn)，設(shè)Q1，Q2的距離為h1，P1，P2的距離為h2，

(1)

圓m1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+y2=a12-z12

因此，可以得出結(jié)論，橢球G是圓球F在Y方向成比例縮小k1得到的。

因此，可以得出結(jié)論，橢球H是由橢球G沿Z向縮小k2得到的。因此，橢球H可以看做是圓球體F在Y方向縮小k1，然后再沿Z向縮小k2得到的。在NX UG中建立橢球模型H，如圖2所示。

二、等殘留高度分析

已加工表面的理論粗糙度是由殘留高度決定的。為了獲得較高的表面質(zhì)量，殘留高度往往作為刀具規(guī)劃所要考慮的重要因素之一。刀具軌跡的行距越小，表面殘留高度越小，表面粗糙度也就越小，但是相應(yīng)程序的計(jì)算量增加，加工時(shí)間也會(huì)隨之增加。殘留高度與刀具類型、被加工曲面形狀、刀具軌跡形式、刀具軌跡行距等多種因素有關(guān)，其控制比較復(fù)雜。為了保證整個(gè)加工面的加工精度，必須保證相鄰刀具軌矩的最遠(yuǎn)距離處的加工精度在要求的范圍之內(nèi)，這個(gè)距離就是刀具軌跡的理論最小值。在實(shí)際加工中，由于刀軌規(guī)劃不合理，在滿足整體的加工精度時(shí)，刀具的切削寬度無法得到充分的利用。因此，針對(duì)這個(gè)問題，很多學(xué)者提出了殘留高度控制，甚至是等殘留高度的概念，即盡量保證兩相鄰路徑之間的最大切削余量等于許可加工精度。進(jìn)行殘留高度控制的刀路，可以最大限度地利用刀具的切削寬度，使刀具軌跡在滿足加工精度的前提下，小于其他形式的刀具軌跡。

圖2 橢球面與球面的關(guān)系

圖3 橢球面殘留高度示意圖

圖4 橢球面近似殘留高度

如圖4所示，根據(jù)幾何關(guān)系，可以計(jì)算出刀觸點(diǎn)之間的間距計(jì)算公式為：

(2)

(3)

由于橢圓l3的周長(zhǎng)為：S=2πc+4(a-c)，因此要加工整個(gè)橢球需要走刀次數(shù)為：

(4)

三、包絡(luò)橢球面的螺旋線方程的推導(dǎo)

標(biāo)準(zhǔn)螺旋線的定義為：當(dāng)直線與圓柱法面平行相切，圓柱沿直線同時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上的任意一點(diǎn)在圓柱面上所形成的軌跡叫做標(biāo)準(zhǔn)螺旋線，其參數(shù)方程為：

(5)

任取t1=360×k，t2=360×(k+1)，帶入方程(2)得到螺旋線上的兩個(gè)點(diǎn)：E1(r×cos(360×k),r×sin(360×k),b×360×k)，E2(r×cos(360×k+360),r×sin(360×k+360),b×360×k+b×360)。E2是E1沿著螺旋線向上繞Z軸旋轉(zhuǎn)360°移動(dòng)得到的，在移動(dòng)的過程中Z軸坐標(biāo)向上移動(dòng)了距離b×360，即為螺旋線的節(jié)距P。

圓球面的參數(shù)方程為：

φ的幾何意義是圓球上的點(diǎn)與原點(diǎn)O的連線與Z軸的夾角；θ是過圓球上的點(diǎn)與Z軸做平面與XOZ平面的夾角。包絡(luò)球體的螺旋線，是變半徑的，常量r應(yīng)當(dāng)是t的函數(shù)，螺旋線上的點(diǎn)滿足圓球面方程。 因此，在包絡(luò)圓球面的螺旋線上，當(dāng)θ增大時(shí)，φ也逐漸增大，當(dāng)螺旋線的密度一定時(shí)，φ的隨θ增大，線性增加。

因此，球體螺旋線的參數(shù)方程可以寫成：

因?yàn)闄E球面是圓球面在不同方向成不同比例縮放的結(jié)果，當(dāng)橢球面各軸半徑a，b，c比例差不是特別大時(shí)，包絡(luò)球面的螺旋線經(jīng)過在各個(gè)軸對(duì)應(yīng)的比例縮放后，可以得到近似等密度的包絡(luò)橢球面的螺旋線。

因此包絡(luò)橢球面的螺旋線方程可以寫成：

(6)

四、加工橢球面的螺旋線刀具軌跡的生成

利用NX UG軟件的參數(shù)方程繪制曲線功能繪制包絡(luò)橢球面的螺旋線。在函數(shù)驅(qū)動(dòng)繪制曲線時(shí)，函數(shù)只能是參數(shù)方程，參數(shù)范圍為(0,1)。

為了便于計(jì)算，設(shè)t=n×360×k，其中，0k1，代入方程(6)，得到螺旋線的方程可以寫成：

(7)

其中n為螺旋線的圈數(shù)，由刀具軌跡行距L確定。根據(jù)該曲線，使用曲線驅(qū)動(dòng)生成刀具軌跡既可以得到螺旋線刀具軌跡。

五、應(yīng)用實(shí)例

需要加工半橢球面，如圖5所示，半橢球面X軸半徑為100mm，Y軸半徑為50mm，Z軸半徑為75mm，要求粗糙度為3.2um。選用R5的球刀，則有：

把n代入(7)得到螺旋線刀路方程為：

通過NX UG軟件的參數(shù)方程繪制曲線如圖5所示，再通過曲線驅(qū)動(dòng)得到螺旋線刀路如圖6所示。

圖5 半橢球面及對(duì)應(yīng)的包絡(luò)螺旋線

圖6 半橢球面螺旋線刀具軌跡

經(jīng)過NX UG軟件自帶的仿真功能，把仿真精度設(shè)置到較高，得出殘留高度值如圖7所示，殘留高度在3.2um之內(nèi)。

圖7 殘留高度分析圖

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