李寶路

2013年12月嫦娥三號探測器成功登陸月球，它標(biāo)志著我國已成為世界上第三個實現(xiàn)地外天體軟著陸的國家，隨著我國載人航天工程的快速發(fā)展，萬有引力與航天的問題會再次成為高考的熱點.本文就萬有引力與航天器的問題作了整理，供同行探討.

考點一天體質(zhì)量和密度的計算

1.利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.

由于GMm1R2=mg，故天體質(zhì)量M=gR21G，

故天體密度ρ=M1V=M1413πR3=3g14πGR .

2.通過衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T，軌道半徑r.

（1）利用萬有引力等于向心力：

GMm1r2=m4π21T2r，

得中心天體質(zhì)量M=4π2r31GT2；

（2）若已知天體的半徑R，則天體的密度

ρ=M1V=M1413πR3=3πr31GT2R3；

（3）對靠近天體表面運行的衛(wèi)星，其軌道半徑r約等于天體半徑R，則天體密度ρ=3π1GT2.

例題1（2013年全國卷）“嫦娥一號”是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200 km的圓形軌道上運行，運行周期為127分鐘.已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，月球的半徑為1.74×103 km.利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為

A.8.1×1010 kgB.7.4×1013 kg

C.5.4×1019 kgD.7.4×1022 kg

解析由GMm1（R+h）2=m（R+h）（2π1T）2，

解得月球的質(zhì)量M=4π2（R+h）31GT2，

代入數(shù)據(jù)得M=7.4×1022 kg，

選項D正確.

考點二人造衛(wèi)星的運行問題

1.解決天體（衛(wèi)星）運動問題的基本思路：天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，

由GMm1r2=mv21r=mrω2=m（2π1T）2r=man，

可得v=GM1r，

ω=GM1r3，

T=4π2r31GM，

an=GM1r2，

從中可以看出當(dāng)天體（衛(wèi)星）的軌道半徑變大時，它的線速度、角速度、向心加速度都是減小的，而周期是變大的.

2.極地衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星

極地衛(wèi)星又叫做“極軌衛(wèi)星”，運行時每圈都經(jīng)過南北兩級，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋.近地衛(wèi)星是指在在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其軌道半徑可近似等于地球的半徑，運行速度約為7.9 km/s.而同步衛(wèi)星是指相對于地球靜止于赤道上空的衛(wèi)星，從地面上看，衛(wèi)星保持不動，它的角速度和周期與地球相同，故稱地球同步衛(wèi)星.它的特點很多，高度、周期、線速度、角速度和向心加速度都是一定值，運行的軌道定在赤道的上空3.6×107 m.這三種衛(wèi)星的軌道平面一定過地球的球心.

例題2（2013年廣東）如圖1，甲、乙兩顆衛(wèi)星以相同的軌道半徑分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運動，下列說法正確的是

A.甲的向心加速度比乙的小B.甲的運行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙大D.甲的線速度比乙大

解析由萬有引力提供向心力得

GMm1r2=ma，

解得a=GM1r2，

甲的向心加速度比乙的小，選項A正確.

由GMm1r2=mv21r，

解得v=GM1r，

甲的線速度比乙小，選項D錯誤.

由GMm1r2=mω2r，

解得ω=GM1r3，

甲的角速度比乙小.選項C錯誤.

由GMm1r2=mr4π21T2，

解得T=2πr21GM，

甲的運行周期比乙的大，選項B錯誤.

答案：A.

例題3（2012年北京）關(guān)于環(huán)繞地球運動的衛(wèi)星，下列說法正確的是

A.分別沿圓軌道和橢圓軌道運行的兩顆衛(wèi)星，不可能具有相同的周期

B.沿橢圓軌道運行的一顆衛(wèi)星，在軌道不同位置可能具有相同的速率

C.在赤道上空運行的兩顆地球同步衛(wèi)星.它們的 軌道半徑有可能不同

D.沿不同軌道經(jīng)過北京上空的兩顆衛(wèi)星，它們的軌道平面一定會重合

解析所有的地球同步衛(wèi)星都在同一個赤道軌道上運動，C錯誤；沿不同軌道經(jīng)過北京上空的兩顆衛(wèi)星它們的運行軌道面與赤道面的夾角可以不同，它們的軌道平面就不會重合，D錯誤；分別沿圓軌道和橢圓軌道運行的兩顆衛(wèi)星，可能具有相同的周期，A錯誤；沿橢圓軌道運行的一顆衛(wèi)星，在軌道的關(guān)于長軸對稱的兩個位置的速率相等，所以在軌道不同位置可能具有相同的速率是正確的，選項B正確，答案：B.

考點三衛(wèi)星變軌問題分析

衛(wèi)星（航天器）在軌期間自主改變運行軌道的過程稱為變軌，當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增加時，衛(wèi)星所受的萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離原來的軌道，半徑變大.當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運行時，其運行速度比原軌道小.反之，當(dāng)衛(wèi)星速度突然減小時，將做近心運動，半徑變小，當(dāng)進(jìn)入新的軌道運行時，速度比原軌道大.

例題4（2011年全國）我國“嫦娥一號”探月衛(wèi)星發(fā)射后，先在“24小時軌道”上繞地球運行（即繞地球一圈需要24小時）；然后，經(jīng)過兩次變軌依次到達(dá)“48小時軌道”和“72小時軌道”；最后奔向月球.如果按圓形軌道計算，并忽略衛(wèi)星質(zhì)量的變化，則在每次變軌完成后與變軌前相比

A.衛(wèi)星動能增大，引力勢能減小

B.衛(wèi)星動能增大，引力勢能增大

C.衛(wèi)星動能減小，引力勢能減小

D.衛(wèi)星動能減小，引力勢能增大

解析依題意可將“嫦娥一號”視為圓周運動，且質(zhì)量變化可忽略不計，則變軌后，軌道更高，由衛(wèi)星運動規(guī)律可知高軌道速度小，故變軌后動能變小，排除A、B選項；衛(wèi)星發(fā)射越高，需要更多能量，由能量守恒定律可知高軌道的衛(wèi)星能量大，而高軌道動能反而小，因此高軌道勢能一定大（當(dāng)然也可直接通過離地球越遠(yuǎn)引力勢能越大來判斷），D對.

考點四宇宙速度的理解與計算

第一宇宙速度又稱為環(huán)繞速度，是指在地球上發(fā)射的物體繞地球飛行作圓周運動所需的最小初始速度.已知地球半徑為6400 km，地球質(zhì)量為5.98×1024 kg，由GMm1r2=mv21r得v=GM1r，當(dāng)r=R=6400 km時，v=7.9 km/s，也稱為最大的環(huán)繞速度.第二宇宙速度是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，數(shù)值為11.2 km/s，第三宇宙速度是物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，數(shù)值為16.7 km/s.

例題5、（2013全國卷） 2012年6曰18日，神州九號飛船與天宮一號目標(biāo)飛行器在離地面343km的近圓軌道上成功進(jìn)行了我國首次載人空間交會對接.對接軌道所處的空間存在極其稀薄的空氣，下面說法正確的是（ ）A.為實現(xiàn)對接，兩者運行速度的大小都應(yīng)介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間B.如不加干預(yù)，在運行一段時間后，天宮一號的動能可能會增加C. 如不加干預(yù)，天宮一號的軌道高度將緩慢降低D.航天員在天宮一號中處于失重狀態(tài)，說明航天員不受地球引力作用解析：為實現(xiàn)對接，兩者運行速度都應(yīng)小于第一宇宙速度，第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，選項A錯誤.如不加干預(yù)，在運行一段時間后，天宮一號的機(jī)械能減小，天宮一號的軌道高度將緩慢降低，重力做功，動能可能會增加，選項BC正確.航天員在天宮一號中處于失重狀態(tài)，但是航天員仍受地球引力作用，選項D錯誤.考點五 雙星系統(tǒng)模型問題的分析與計算繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，雙星中兩顆子星相互繞著旋轉(zhuǎn)可看作勻速圓周運動，其向心力由兩恒星間的萬有引力提供.兩子星繞著連線上的一點做圓周運動，它們的運動周期是相等的，角速度也是相等的，所以線速度與兩子星的軌道半徑成正比.設(shè)雙星的兩子星的質(zhì)量分別為M1和M2，相距L，M1和M2的線速度分別為v1和v2，角速度分別為ω1和ω2，由萬有引力定律和牛頓第二定律得，以M1為研究對象可得： ，以M2為研究對象可得： 例題6、（2013山東卷）雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動.研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為（ ）A. T B. T C. T D. T 解析：設(shè)兩恒星中一個恒星的質(zhì)量為m，圍繞其連線上的某一點做勻速圓周運動的半徑為r，兩星總質(zhì)量為M，兩星之間的距離為R，由G =mr ， G =（M-m）（R-r） ，聯(lián)立解得：T=2π .經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為T'=2π = T，選項B正確.