王民

一、一題多問(wèn)，鞏固“雙基”

例題 已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），求分別滿足下列條件的直線方程.

①直線l的傾斜角為■；

②直線l與直線y=2的夾角成■；

③過(guò)l1：x-2y+2=0與l2：2x-y-2=0的交點(diǎn)；

④坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離最長(zhǎng)；

⑤直線l沿x軸的正方向平移2個(gè)單位，再沿y軸的正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來(lái)的位置；

⑥夾在兩直線l1：x-y=0與l2：2x+y+1=0之間的線段恰被點(diǎn)P平分；

⑦直線l在坐標(biāo)軸上的截距相等；

⑧等腰三角形一腰所在的直線l1：x-2y-2=0，底邊所在的直線l2：x+y-1=0，點(diǎn)P在另一腰上；

⑨被兩條平行直線l1：x-2y+2=0與l2：x-2y-2=0截得的線段的長(zhǎng)為2■.

參考答案 ①x-1=0. ②x-y+1=0或x+y-3=0. ③y-2=0. ④x+2y-5=0. ⑤x-2y+3=0. ⑥x-2y+3=0. ⑦2x-y=0或x+y-3=0. ⑧2x-y=0. ⑨■x+2y-4-■=0或■x-2y+4-■=0.

將過(guò)定點(diǎn)的直線整體把握，融于一個(gè)循序漸進(jìn)的自然變式問(wèn)題串中，抓住主干，一拎一串，順藤摸瓜，我們就可將與直線相關(guān)的知識(shí)與方法一網(wǎng)打盡.

二、含參多解，提升能力

例題 已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且在x軸、y軸的正半軸上的截距分別為a與b，求使a+b的值取得最小值時(shí)的直線的方程.

解 （解法1）設(shè)所求直線的方程為y-2=k（x-1）.由直線l在x軸、y軸的正半軸上都有截距，可知k<0.令y=0，得a=1-■；令x=0，得b=2-k，于是a+b=3-■-k≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)-■= -k，即k=-■時(shí)，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法2）設(shè)直線l的方程為■+■=1.由直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），得■+■=1，于是有a+b=（a+b）（■+■）=3+■+■≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■時(shí)取等號(hào).又■+■=1，即a=■+1，b=■+2時(shí)，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法3）依題意有■+■=1，于是a+b=a+b+λ·（■+■）-λ≥2■+2■-λ=2■+2■-λ，當(dāng)且僅當(dāng)a=■且b=■時(shí)取等號(hào).又■+■=1，解得λ=3+2■，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法4）依題意有■+■=1，解得b=■=2+■，其中a>1，于是有a+b= a+2+■=a-1+■+3≥2■+3=3+2■.當(dāng)且僅當(dāng)a-1=■，即a=■+1，b=■+2時(shí)，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法5）依題意有■+■=1，設(shè)m=（■，■），n=（■，■）.由|m|2·|n|2≥（m·n）2，得a+b=（a+b）（■+■）≥（■·■+■·■）2=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)m = λn（λ>0），即■=■時(shí)取等號(hào).又■+■=1，解得a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法6）依題意有■+■=1，設(shè)■=■-d>0，■=■+d>0，則-■

令t=3-2d，由-■

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法7）依題意有■+■=1.記直線m：■x+■y=0，則其外一點(diǎn)P （■，■）到直線m的距離|PM|=■=1+■，它不大于點(diǎn)P到原點(diǎn)間的距離|PO|=■，即|PO|≥ |PM|，得a+b≥（1+■）2=3+2■.在點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法8）依題意有■+■=1，a>0，b>0.令■=sin2α，■=cos2α，則有a=■=■=1+cot2α，b=■=■=2+2tan2α，于是a+b=■+■=3+cot2α+2tan2α≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)cot2α=2tan2α，即tan2α=■時(shí)取等號(hào).解得a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法9）依題意有■+■=1，設(shè)a+b=y，則b=y-a.將b=y-a代入■+■=1，得關(guān)于a的一元二次方程a2+（1-y）a+y=0，其中a>0.上述方程有正實(shí)根，于是有a1+a2>0，a1a2>0，Δ≥0，即y-1>0，y>0，y2-6y+1≥0，解得y≥3+2■.所以，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法10）記直線l與x軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于M與N兩點(diǎn).設(shè)∠PAM=α，0<α<■，得a=1+2cot α，b=2+tan α，則a+b=3+2cot α+tan α≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)2cot α=tan α，即tan α=■時(shí)取等號(hào).所以，a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（作者單位：甘肅高臺(tái)縣職業(yè)中學(xué)）

（責(zé)任編校/周峰）

一、一題多問(wèn)，鞏固“雙基”

例題 已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），求分別滿足下列條件的直線方程.

①直線l的傾斜角為■；

②直線l與直線y=2的夾角成■；

③過(guò)l1：x-2y+2=0與l2：2x-y-2=0的交點(diǎn)；

④坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離最長(zhǎng)；

⑤直線l沿x軸的正方向平移2個(gè)單位，再沿y軸的正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來(lái)的位置；

⑥夾在兩直線l1：x-y=0與l2：2x+y+1=0之間的線段恰被點(diǎn)P平分；

⑦直線l在坐標(biāo)軸上的截距相等；

⑧等腰三角形一腰所在的直線l1：x-2y-2=0，底邊所在的直線l2：x+y-1=0，點(diǎn)P在另一腰上；

⑨被兩條平行直線l1：x-2y+2=0與l2：x-2y-2=0截得的線段的長(zhǎng)為2■.

參考答案 ①x-1=0. ②x-y+1=0或x+y-3=0. ③y-2=0. ④x+2y-5=0. ⑤x-2y+3=0. ⑥x-2y+3=0. ⑦2x-y=0或x+y-3=0. ⑧2x-y=0. ⑨■x+2y-4-■=0或■x-2y+4-■=0.

將過(guò)定點(diǎn)的直線整體把握，融于一個(gè)循序漸進(jìn)的自然變式問(wèn)題串中，抓住主干，一拎一串，順藤摸瓜，我們就可將與直線相關(guān)的知識(shí)與方法一網(wǎng)打盡.

二、含參多解，提升能力

例題 已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且在x軸、y軸的正半軸上的截距分別為a與b，求使a+b的值取得最小值時(shí)的直線的方程.

解 （解法1）設(shè)所求直線的方程為y-2=k（x-1）.由直線l在x軸、y軸的正半軸上都有截距，可知k<0.令y=0，得a=1-■；令x=0，得b=2-k，于是a+b=3-■-k≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)-■= -k，即k=-■時(shí)，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法2）設(shè)直線l的方程為■+■=1.由直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），得■+■=1，于是有a+b=（a+b）（■+■）=3+■+■≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■時(shí)取等號(hào).又■+■=1，即a=■+1，b=■+2時(shí)，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法3）依題意有■+■=1，于是a+b=a+b+λ·（■+■）-λ≥2■+2■-λ=2■+2■-λ，當(dāng)且僅當(dāng)a=■且b=■時(shí)取等號(hào).又■+■=1，解得λ=3+2■，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法4）依題意有■+■=1，解得b=■=2+■，其中a>1，于是有a+b= a+2+■=a-1+■+3≥2■+3=3+2■.當(dāng)且僅當(dāng)a-1=■，即a=■+1，b=■+2時(shí)，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法5）依題意有■+■=1，設(shè)m=（■，■），n=（■，■）.由|m|2·|n|2≥（m·n）2，得a+b=（a+b）（■+■）≥（■·■+■·■）2=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)m = λn（λ>0），即■=■時(shí)取等號(hào).又■+■=1，解得a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法6）依題意有■+■=1，設(shè)■=■-d>0，■=■+d>0，則-■

令t=3-2d，由-■

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法7）依題意有■+■=1.記直線m：■x+■y=0，則其外一點(diǎn)P （■，■）到直線m的距離|PM|=■=1+■，它不大于點(diǎn)P到原點(diǎn)間的距離|PO|=■，即|PO|≥ |PM|，得a+b≥（1+■）2=3+2■.在點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法8）依題意有■+■=1，a>0，b>0.令■=sin2α，■=cos2α，則有a=■=■=1+cot2α，b=■=■=2+2tan2α，于是a+b=■+■=3+cot2α+2tan2α≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)cot2α=2tan2α，即tan2α=■時(shí)取等號(hào).解得a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法9）依題意有■+■=1，設(shè)a+b=y，則b=y-a.將b=y-a代入■+■=1，得關(guān)于a的一元二次方程a2+（1-y）a+y=0，其中a>0.上述方程有正實(shí)根，于是有a1+a2>0，a1a2>0，Δ≥0，即y-1>0，y>0，y2-6y+1≥0，解得y≥3+2■.所以，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法10）記直線l與x軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于M與N兩點(diǎn).設(shè)∠PAM=α，0<α<■，得a=1+2cot α，b=2+tan α，則a+b=3+2cot α+tan α≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)2cot α=tan α，即tan α=■時(shí)取等號(hào).所以，a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（作者單位：甘肅高臺(tái)縣職業(yè)中學(xué)）

（責(zé)任編校/周峰）

一、一題多問(wèn)，鞏固“雙基”

例題 已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），求分別滿足下列條件的直線方程.

①直線l的傾斜角為■；

②直線l與直線y=2的夾角成■；

③過(guò)l1：x-2y+2=0與l2：2x-y-2=0的交點(diǎn)；

④坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離最長(zhǎng)；

⑤直線l沿x軸的正方向平移2個(gè)單位，再沿y軸的正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來(lái)的位置；

⑥夾在兩直線l1：x-y=0與l2：2x+y+1=0之間的線段恰被點(diǎn)P平分；

⑦直線l在坐標(biāo)軸上的截距相等；

⑧等腰三角形一腰所在的直線l1：x-2y-2=0，底邊所在的直線l2：x+y-1=0，點(diǎn)P在另一腰上；

⑨被兩條平行直線l1：x-2y+2=0與l2：x-2y-2=0截得的線段的長(zhǎng)為2■.

參考答案 ①x-1=0. ②x-y+1=0或x+y-3=0. ③y-2=0. ④x+2y-5=0. ⑤x-2y+3=0. ⑥x-2y+3=0. ⑦2x-y=0或x+y-3=0. ⑧2x-y=0. ⑨■x+2y-4-■=0或■x-2y+4-■=0.

將過(guò)定點(diǎn)的直線整體把握，融于一個(gè)循序漸進(jìn)的自然變式問(wèn)題串中，抓住主干，一拎一串，順藤摸瓜，我們就可將與直線相關(guān)的知識(shí)與方法一網(wǎng)打盡.

二、含參多解，提升能力

例題 已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且在x軸、y軸的正半軸上的截距分別為a與b，求使a+b的值取得最小值時(shí)的直線的方程.

解 （解法1）設(shè)所求直線的方程為y-2=k（x-1）.由直線l在x軸、y軸的正半軸上都有截距，可知k<0.令y=0，得a=1-■；令x=0，得b=2-k，于是a+b=3-■-k≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)-■= -k，即k=-■時(shí)，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法2）設(shè)直線l的方程為■+■=1.由直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），得■+■=1，于是有a+b=（a+b）（■+■）=3+■+■≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■時(shí)取等號(hào).又■+■=1，即a=■+1，b=■+2時(shí)，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法3）依題意有■+■=1，于是a+b=a+b+λ·（■+■）-λ≥2■+2■-λ=2■+2■-λ，當(dāng)且僅當(dāng)a=■且b=■時(shí)取等號(hào).又■+■=1，解得λ=3+2■，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法4）依題意有■+■=1，解得b=■=2+■，其中a>1，于是有a+b= a+2+■=a-1+■+3≥2■+3=3+2■.當(dāng)且僅當(dāng)a-1=■，即a=■+1，b=■+2時(shí)，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法5）依題意有■+■=1，設(shè)m=（■，■），n=（■，■）.由|m|2·|n|2≥（m·n）2，得a+b=（a+b）（■+■）≥（■·■+■·■）2=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)m = λn（λ>0），即■=■時(shí)取等號(hào).又■+■=1，解得a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法6）依題意有■+■=1，設(shè)■=■-d>0，■=■+d>0，則-■

令t=3-2d，由-■

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法7）依題意有■+■=1.記直線m：■x+■y=0，則其外一點(diǎn)P （■，■）到直線m的距離|PM|=■=1+■，它不大于點(diǎn)P到原點(diǎn)間的距離|PO|=■，即|PO|≥ |PM|，得a+b≥（1+■）2=3+2■.在點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法8）依題意有■+■=1，a>0，b>0.令■=sin2α，■=cos2α，則有a=■=■=1+cot2α，b=■=■=2+2tan2α，于是a+b=■+■=3+cot2α+2tan2α≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)cot2α=2tan2α，即tan2α=■時(shí)取等號(hào).解得a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法9）依題意有■+■=1，設(shè)a+b=y，則b=y-a.將b=y-a代入■+■=1，得關(guān)于a的一元二次方程a2+（1-y）a+y=0，其中a>0.上述方程有正實(shí)根，于是有a1+a2>0，a1a2>0，Δ≥0，即y-1>0，y>0，y2-6y+1≥0，解得y≥3+2■.所以，a=■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（解法10）記直線l與x軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于M與N兩點(diǎn).設(shè)∠PAM=α，0<α<■，得a=1+2cot α，b=2+tan α，則a+b=3+2cot α+tan α≥3+2■=3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)2cot α=tan α，即tan α=■時(shí)取等號(hào).所以，a =■+1，b=■+2，a+b有最小值3+2■.

故所求直線的方程為■x+y-2-■=0.

（作者單位：甘肅高臺(tái)縣職業(yè)中學(xué)）

（責(zé)任編校/周峰）