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(1.三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2.國家電網(wǎng)直流建設(shè)分公司 ，北京 100052)

1 引言

卡爾曼濾波算法是R.E.Kalman于1960年提出的適合數(shù)字計算機的遞推濾波方法，它采用狀態(tài)方程和量測方程組成的狀態(tài)空間來描述濾波器，該方法所研究的信號過程除了可以是平穩(wěn)的純量隨機過程，也可包括非平穩(wěn)的向量隨機過程。本文將所有引起負荷變化的因素(如氣候、降雨、溫度)歸為隨機系統(tǒng)的隨機因素來處理；為了對噪聲協(xié)方差有比較準確的估計，運用時變次優(yōu)無偏噪聲估值器對噪聲協(xié)方差進行自適應(yīng)估計，提高了濾波預(yù)測精度。用實際數(shù)據(jù)進行Matlab仿真驗證的結(jié)果表明，該方法使誤差得到了有效控制。

卡爾曼濾波是基于最小均方誤差地遞推預(yù)測算法，通過對模型參數(shù)的辨識，實現(xiàn)對觀測序列的預(yù)測。其用于負荷預(yù)測算法的指導(dǎo)思想是：將負荷分為確定分量和隨機分量，確定分量一般采用線性回歸模型預(yù)測，隨機分量采用卡爾曼濾波算法預(yù)測。文獻[2]較早地將隨機系統(tǒng)狀態(tài)模型辨識技術(shù)用于電力系統(tǒng)負荷預(yù)報；文獻[3]提出了用卡爾曼濾波結(jié)合最小二乘法線性擬合及3次樣條插值的數(shù)學(xué)方法；文獻[4]提出了自校正移動窗卡爾曼濾波-最小二乘算法，該算法通過移動窗最小二乘算法得到較精確的參數(shù)估計；文獻[5]則根據(jù)對測量新息做出估計，實現(xiàn)了一步預(yù)測基礎(chǔ)上的二次修正；文獻[6]分別以負荷需求序列和時變參數(shù)序列為狀態(tài)變量建立了兩個狀態(tài)空間模型，采用兩段自適應(yīng)卡爾曼濾波方法進行負荷預(yù)測；文獻[7]提出了在預(yù)測值的基礎(chǔ)上加上溫度修正值的負荷預(yù)測方法。

2 卡爾曼濾波理論簡介

假設(shè)有如下的自由狀態(tài)定常線性系統(tǒng)模型。

(1)

z(k)=Hx(k)+v(k)

(2)

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(k0)及系統(tǒng)干擾ω(k)和測量噪聲v(k)是隨機過程，為了使問題簡化，需要對系統(tǒng)干擾、測量噪聲及系統(tǒng)的初始狀態(tài)作一定的假設(shè)。系統(tǒng)干擾和測量噪聲是零均值或非零均值的白噪聲過程或高斯白噪聲過程，即

(3)

式中，Q(k)非負定矩陣，是ω(k)的強度函數(shù)；R(k)為對稱正定矩陣，是v(k)的方差強度矩陣；d(k)是狄拉克函數(shù)；A是n×n維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；H是1×n維測量矩陣。系統(tǒng)干擾和測量噪聲互不相關(guān)，且與初始狀態(tài)x(k0)無關(guān)

Cov[ω(k),v(k)]=0

Cov[x(k0),ω(k)]=0

Cov[x(k0),v(k)]=0

(4)

利用正交投影定理推導(dǎo)卡爾曼濾波遞推公式如下：

狀態(tài)預(yù)測方程：

(5)

誤差協(xié)方差預(yù)

Pk|k-1=APk-1AT+Qk-1

(6)

狀態(tài)估計校正：

(7)

誤差協(xié)方差估計校正：

Pk|k=(I-KkHk)Pk|k-1

(8)

卡爾曼增益：

(9)

詳細推導(dǎo)過程見文獻[8]。

3 次優(yōu)無偏估值器的應(yīng)用改進

為盡量減少隨機噪聲因素對預(yù)測結(jié)果的影響，在利用觀測數(shù)據(jù)進行遞推濾波的同時，需要不斷了不斷地修正模型中噪聲協(xié)方差陣，以提高濾波精度。

確定系統(tǒng)干擾ω(k)、v(k)統(tǒng)計特性，也就是噪聲強度矩陣Q(k)、R(k)的確定。Q(k)、R(k)選取好壞對濾波精度有直接的影響，動態(tài)模型越不精確，這種影響就越大。但在實際應(yīng)用中，通過已知信息很難得到比較準確的Q、R值，況且隨著新息的不斷加入，Q、R值的不準確性越來越明顯，這樣就直接導(dǎo)致了預(yù)測結(jié)果偏差比較大。

因此，在對遞推方程(6)、(9)進行計算時，有必要對噪聲協(xié)方差采取自適應(yīng)的方法，引入次優(yōu)無偏噪聲估值器[9]。

(10)

(11)

以上運用次優(yōu)無偏估值器計算簡單，可同時在線估計出系統(tǒng)噪聲協(xié)方差和測量噪聲協(xié)方差，但是在ε(k+1)出現(xiàn)較大值或系統(tǒng)階數(shù)較高時，濾波器易發(fā)散。

(12)

(13)

4 算例分析

本文以某實際電網(wǎng)2011年夏季8月7日至15日每天24小時的負荷作為歷史負荷。歷史負荷曲線見圖1，抽離平均值后的隨機負荷頻數(shù)直方圖見圖2。從圖1可見日負荷曲線雖然呈較強的非線性，但是也有明顯的以天為周期的周期性，且峰谷負荷出現(xiàn)在固定的時間段。從圖2可見隨機負荷服從正太分布。

在進行數(shù)據(jù)分析前先要對異常數(shù)據(jù)進行處理，再用上文所述方法進行仿真預(yù)測。

圖1 歷史負荷曲線圖

圖2 隨機負荷頻數(shù)直方圖

4.1 模型參數(shù)辨識

4.1.1 模型階數(shù)辨識

設(shè)已知被辨識系統(tǒng)的隨機負荷序列l(wèi)0,l1,…,lN。并按下式構(gòu)造Hankel矩陣(簡稱H矩陣)。

(14)

其維數(shù)為m×m。在弱噪聲情況下，可分別令m=1,2,3,…，求出每個m值下H陣行列式值，當(dāng)行列式值達到極大時的m值，即為系統(tǒng)的階數(shù)n；在強噪聲情況下，不能直接用隨機負荷序列，而是采用隨機負荷序列的自相關(guān)系數(shù)構(gòu)造H矩陣，即用隨機負荷序列的自相關(guān)系數(shù)ρi代替li，然后計算H陣的行陣式的值，當(dāng)行陣式值取極小值時的m即為系統(tǒng)階數(shù)[9]。

4.1.2 模型轉(zhuǎn)移矩陣和測量矩陣的辨識

本文采用相關(guān)函數(shù)——最小二乘相結(jié)合的方法辨識系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)移矩陣?；舅枷胧前驯孀R分兩步進行。第一步，利用相關(guān)函數(shù)法對隨機負荷分量進行一次相關(guān)分析，獲得被辨識對象的相關(guān)函數(shù)；第二步利用最小二乘法進一步估計模型的參數(shù)。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A、測量矩陣H采用與其等價的，辨識參數(shù)最少的典范性[2]。

H=[1 0 … 0]1×n

輸出隨機負荷序列的相關(guān)函數(shù)為：

R(n)=E{Z(k+n)Z(k)}

(15)

根據(jù)平穩(wěn)過程遍歷性，統(tǒng)計均值可以用時間平均代替，(15)式可改寫為：

(16)

可以推得(16)式的遞推式為：

(17)

式子中ak為A中第一行參數(shù)，利用(16)、(17)式，采用最小二乘法即可計算出模型參數(shù)ak的值。

4.2 算法步驟

(1)分析歷史負荷數(shù)據(jù)，處理異常數(shù)據(jù)點。

(2)根據(jù)4.1求模型參數(shù)，模型參數(shù)及遞推初始值見表1。

表1 模型參數(shù)

4.3 仿真結(jié)果

下面給出利用上述方法得到的預(yù)測誤差和預(yù)測結(jié)果，預(yù)測相對誤差見圖3，預(yù)測結(jié)果對比見圖4。為了衡量負荷預(yù)測的有效性用百分相對誤差(Relative Percentage Error ，RPE)來計算某一時刻的誤差，用平均絕對百分誤差(Mean Absolute Percentage Error,MAPE)來反映誤差總體大小。其計算式如下：

(18)

(19)

圖3 相對誤差圖

圖4 負荷對比圖

其平均相對誤差為-0.38%，平均絕對誤差為1.24%。由此可見對次優(yōu)無偏噪聲估值器的應(yīng)用改進是有效的。

5 結(jié)論

本文運用帶次優(yōu)無偏噪聲估值器的卡爾曼濾波理論建立了短期負荷預(yù)測模型，并進行短期負荷預(yù)測。通過Matlab仿真計算證明了該預(yù)測模型的可行性。同時針對負荷預(yù)測的特點，通過對次優(yōu)無偏噪聲估值器的改進，提高了預(yù)測精度。

參數(shù)辨識后的帶次優(yōu)無偏估值器的卡爾曼濾波器始終處于穩(wěn)定狀態(tài)，說明卡爾曼濾波模型參數(shù)辨識方法是可行的。

另外，將其他影響負荷的因素(如溫度，降雨，體感溫度)等與本文的方法綜合考慮，可期望得到更好的預(yù)測結(jié)果。

[1] P.C.Gupta,K.Yamada.Adaptive short-term forecasting of hourly loads usingweather information[J],IEEE Transactions powerApparatusSystem,PAS-91,1972:2085-2094.

[2] 李洪心，易允文.隨機辨識系統(tǒng)在電力系統(tǒng)負荷預(yù)報中的應(yīng)用[J].信息與控制，1985(3):31-34.

[3] 張民，鮑海，晏玲，等.基于卡爾曼濾波的短期負荷預(yù)測方法的研究[J].電網(wǎng)技術(shù)，2003,27(10)：39-42.

[4] 王正歐，張建平，等.電力系統(tǒng)超短期負荷預(yù)報的一種方法[J].天津大學(xué)學(xué)報，1992(2)：125-130.

[5] 孟思齊，楊洪耕.基于卡爾曼濾波二次修正的短期負荷預(yù)測[J]，電網(wǎng)與水力發(fā)電進展,2008,24(2)：78-82.

[6] 馬靜波，楊洪耕.自適應(yīng)卡爾曼濾波在電力系統(tǒng)短期負荷預(yù)測中的應(yīng)用[J].電網(wǎng)技術(shù)，2005,29(1)：75-79.

[7] 李明干，孫健利，劉沛.基于卡爾曼濾波的電力系統(tǒng)短期負荷預(yù)測[J].繼電器，2004,32(4)：9-12.

[8] 王志賢.最優(yōu)狀態(tài)估計與系統(tǒng)辨識[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004.

[9] 劉勝，張紅梅.最優(yōu)估計理論[M].北京：科學(xué)出版社，2011.