李高峰

(唐山學院唐山市結(jié)構與振動工程重點實驗室，河北唐山063000)

非線性電容RLC串聯(lián)電路的1/2次亞諧共振分析*

李高峰*

(唐山學院唐山市結(jié)構與振動工程重點實驗室，河北唐山063000)

以非線性電容RLC串聯(lián)電路為研究對象，運用拉格朗日方法建立了系統(tǒng)的微分方程，應用多尺度法求得1/2次亞諧共振的一次近似解并進行數(shù)值計算。分析電阻、電感、電容和電動勢對幅頻響應曲線的影響。結(jié)果表明，電阻可以抑制振幅值，電動勢可以增大振幅值。電阻增加后電流減弱，非線性也就變?nèi)酢＿\用MATLAB的Simulink工具，對RLC串聯(lián)電路系統(tǒng)進行仿真。

RLC電路;非線性電容;多尺度法;1/2次亞諧

非線性電抗，如變?nèi)荻O管，在許多領域的電氣工程已經(jīng)使用范圍廣泛。在設計參數(shù)放大器、上頻器、混音器、低功率微波振蕩器、電子調(diào)諧裝置等電路時，非線性電容可作為其中的一部分。非線性元件電路是指由非線性元件構成的電路，如線圈、電容等構成的 LR，CR，LC，RLC(Resistance Inductance Capacitance)電路等。詹士昌用普通鎢絲燈泡、變壓器線圈和電容組成的非線性RLC串聯(lián)鐵磁諧振電路［1］。王小艷用數(shù)值方法對非線性RLC串并聯(lián)電路的暫態(tài)過程進行了分析研究，得到了非線性RLC電路的一些普遍特征［2］。楊志安研究電阻和電感非線性RLC電路耦合系統(tǒng)的非線性振動，建立受簡諧激勵的具有電阻和電感非線性RLC電路耦合系統(tǒng)的數(shù)學模型，根據(jù)非線性振動的多尺度法，得到系統(tǒng)滿足共振條件的一次近似解以及對應的定常解［3-6］。崔一輝分別用龍格庫塔法和級數(shù)法計算了在無外激勵的情況下，有阻尼和無阻尼時系統(tǒng)分別對應的時間響應［7］。常秀芳從分析實際問題入手，依據(jù)閉合電路定律，從中建立RLC振蕩電路的數(shù)學模型［8］。Homsup N和Homsup W利用Newton-Raphson迭代法證明直流非線性電路在穩(wěn)態(tài)模擬狀態(tài)下是慢收斂的［9］。Blankenstein G通過混合勢函數(shù)描述考慮不受約束的控制電壓或電流源非線性RLC電路動力學問題［10］。Chakravarthy S K研究了具有spurious energisation特征的電路非線性振動［11］。AliOksasoglu和 Dimitry Vavriv研究了RLC電路在弱非線性激勵下，適當?shù)南到y(tǒng)參數(shù)也能使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象［12］。

電工中常利用某些元器件的非線性。例如避雷器的非線性特性表現(xiàn)在高電壓下電阻值變小，這性質(zhì)被用來保護雷電下的電工設備;鐵心線圈的非線性由磁場的磁飽和引起，這性質(zhì)被用來制造直流電流互感器。音頻信號發(fā)生器的自激振蕩電路中因有放大器這一非線性元件而成為非線性電路。

本文的非線性電容是電荷控制型，以非線性電容RLC串聯(lián)電路振動方程為基礎，研究電路的1/2次亞諧共振［13］問題。

1 RLC串聯(lián)電路的振動方程

圖1給出RLC串聯(lián)電路，電阻R、電感L、電容C和電動勢u(t)=Emcos(ωt)串接，具有阻尼力和電場力作用。電路中的電容是非線性電容，庫伏特性為u(q)=…。由此可知，RLC串聯(lián)電路是非線性系統(tǒng)。

圖1 非線性RLC串聯(lián)電路

拉格朗日方法是用廣義坐標，從能量的觀點研究系統(tǒng)的動力學問題。圖1電路取電荷q為廣義坐標，則電流i=q˙，系統(tǒng)的磁能為。庫伏特性僅取3次方，由此可得電容器的電能，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)La=Wm-We。

根據(jù)拉格朗日-麥克斯韋方程，可得到該系統(tǒng)的運動微分方程為

進一步得

對式(1)進行處理，可得著名的達芬(Duffing)方程為

2 1/2次亞諧共振理論分析［13］

系統(tǒng)的阻尼力、非線性力與慣性力和線性力相比是小量，所以在它們前面冠以小參數(shù)ε，利用多尺度法求解式(2)，首先引入時間尺度T0=t，T1=εt，ε是小參數(shù)，則有微分算子

設1/2次亞諧共振的一次近似解為

將式(4)代入式(2)，比較ε同次冪的系數(shù)得

方程(5)的通解為

將式(7)代入式(6)得

符號NNT為共軛復數(shù)項。

研究系統(tǒng)的1/2次亞諧共振［13］，引入調(diào)諧參數(shù)σ，由下式確定:

消除共軛復數(shù)條件為

由式(4)得相應的一次近似解為

式中a和φ由式(11)給出。

令D1a=0，D1φ=0，兩式平方相加得到:

產(chǎn)生上述1/2亞諧共振的原因是Duffing系統(tǒng)具有平方非線性。這種高頻激勵誘發(fā)低頻共振的現(xiàn)象在工程中屢見不鮮。例如，1956年，Lefschetz報道一架飛機的螺旋槳激發(fā)出機翼的1/2次共振，機翼共振又激發(fā)了尾翼的1/4次共振，以致飛機被破壞。避免上述危險是研究非線性振動的目的之一。

3 1/2次亞諧共振數(shù)值分析

在下面的數(shù)值計算中取以下參數(shù):R=400 Ω，Em=10 V，L=30 H，C0=0.000 1 F，由式(13)可以計算系統(tǒng)1/2次亞諧共振的響應曲線，分析不同參數(shù)對響應曲線的影響。

圖2是1/2次亞諧共振的幅頻響應曲線，實線的振幅大，漸近穩(wěn)定，虛線的振幅小且不穩(wěn)定;隨著調(diào)諧幅值的增加，幅值增加最后趨于穩(wěn)定。圖2(a)為3種不同電動勢的幅頻響應曲線，隨著電動勢的增加，系統(tǒng)的共振區(qū)間增大，但共振幅值減小。圖2(b)為2種不同電阻的幅頻響應曲線，隨著電阻的增加，系統(tǒng)的共振區(qū)域減小，共振幅值的上邊曲線下移，下邊曲線上移，向里邊瘦了一圈。這是由于電阻增加后電流減弱，非線性也就變?nèi)醯木壒?。由圖2(c)知隨著電感增加，系統(tǒng)幅值增加的越來越快，共振區(qū)域減小并向右偏移。由圖2(d)知隨著電容增加，系統(tǒng)的共振區(qū)間增大且向左偏移，共振幅值減小了但幅度不大，最終會趨于同一范圍值。圖2(e)和圖2(f)電荷系數(shù)是幅頻響應曲線。電荷系數(shù)k3不僅影響振動幅值的變化趨勢，還影響共振區(qū)域的偏移，這與圖2(c)類似。電荷系數(shù)k2只影響共振區(qū)域，振動幅值的增長趨勢并無變化，這與圖2(b)類似。由此可知，電動勢、電容、電感的數(shù)值的變化對系統(tǒng)共振區(qū)間和振幅均可影響系統(tǒng)。

圖2 幅頻響應曲線

圖3 振幅-電動勢響應曲線

圖3為在2種調(diào)諧值作用下，隨電動勢變化的振動響應曲線。在有共振響應的范圍內(nèi)，隨著電動勢的增大，振幅減小，只有在共振區(qū)域內(nèi)才有解。圖4為3種調(diào)諧值σ作用下，系統(tǒng)隨電荷系數(shù)k2改變的振動響應曲線。在共振響應的范圍內(nèi)，隨著電荷系數(shù)k2的增大，振幅增大;當調(diào)諧值σ＞0時，幅頻響應曲線具有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象;在調(diào)諧值σ≤0時，系統(tǒng)振動幅值逐漸增加，趨于穩(wěn)定，跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象消失。

圖5為2種調(diào)諧值σ作用下，系統(tǒng)隨電荷系數(shù)k3改變的振動響應曲線。在有共振響應的范圍內(nèi)，隨著電荷系數(shù)k3的增大，振幅減小。圖6為3種調(diào)諧值σ作用下，隨電容變化的振動響應曲線。在3組固定參數(shù)下均存在最大幅值。在共振響應的范圍內(nèi)，隨著電容的增大，振幅先增大再減小。

圖4 振幅-電荷系數(shù)k2應曲線

圖5 振幅-電荷系數(shù)k3應曲線

圖6 振幅-電容響應曲線

圖7為3種調(diào)諧值作用下隨系統(tǒng)電感改變的振動響應曲線。當調(diào)諧值增加，系統(tǒng)的振動幅值增加，當調(diào)諧值σ＞0時，隨著電感的增加系統(tǒng)的振動幅值增大，并趨于穩(wěn)定。系調(diào)諧值σ=20時，圖線由原來的兩只合并成一條圖線。

圖7 振幅-電感響應曲線

圖8為振幅-電阻響應曲線，3組給定調(diào)諧參數(shù)的響應曲線均存在跳躍現(xiàn)象。調(diào)諧值越大系統(tǒng)的振動幅值滯后性越強，逐漸出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象。

由圖3～圖8分析可知，在滿足一定的條件σ≥ 0時，振幅與各個參數(shù)之間的響應曲線，也具有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象，這在非線性系統(tǒng)是很少見的。

圖8 振幅-電阻響應曲線

4 Simulink仿真分析

Simulink是一個用來對動態(tài)系統(tǒng)進行建模、仿真和分析的軟件包。它支持線性和非線性系統(tǒng)，連續(xù)和離散時間模型，或者是兩者的混合。基于非線性電容的RLC串聯(lián)電路的振動微分方程式(2)建立框圖，如圖9。在Simulink的仿真參數(shù)選項菜單中選龍格庫塔算法進行數(shù)值模擬，通過Scope模塊和XY Graph模塊可以得到位移的時間曲線以及位移和速度的相圖。

圖9 Simulink模型

圖10是模擬時間為2 s和5 s的1/2次亞諧共振時間響應曲線，由圖可知隨著時間的增加電流減小增大交替出現(xiàn)，總體呈減小趨勢，最后趨于穩(wěn)定，這說明在開始時電容的放電振動比較大，最后趨于穩(wěn)定。圖11為模擬時間為2 s和5 s的1/2次亞諧共振時的電流與電荷相圖曲線，由圖11可知隨著時間的增加相圖從外向內(nèi)逐漸收斂，隨著時間的增加系統(tǒng)電流減小，這與數(shù)值計算結(jié)果是吻合的。

圖10 1/2亞諧共振時間響應曲線

圖11 1/2亞諧共振相位響應相圖

5 結(jié)論

建立了基于非線性電容的RLC串聯(lián)電路的微分方程，得到1/2次亞諧共振系統(tǒng)的常微分方程。分析了電源、電感、電容等參數(shù)變化的影響，得到幅頻響應曲線。電阻對1/2次亞諧共振區(qū)有抑制作用;1/2次亞諧共振系統(tǒng)的振幅隨著電動勢的增加不斷增大，并且共振區(qū)增大。結(jié)合實際情況對曲線進行分析，得到一些結(jié)論對此類機構的動態(tài)設計具有指導意義。振幅與各個參數(shù)之間的響應曲線，在滿足一定的條件時，有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象出現(xiàn)，在非線性系統(tǒng)是很少見的。非線性電容RLC串聯(lián)電路有豐富的非線性動力行為。

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李高峰(1977- )，女，講師，碩士，主要從事非線性動力學研究，ligaofeng0315@163.com。

1/2 Subharmonic Resonance Analysis of RLC Series Circuit with Nonlinear Capacitance*

LI Gaofeng*

(Tangshan College and Tangshan Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering，Tangshan Hebei 063000，China)

Aiming at the research object for RLC series circuit with nonlinear capacitance，using Lagrange method to establish the differential equations of the system，the first approximate solution of 1/2 subharmonic resonance of the nonlinear vibration system is obtained by means of the method of multiple scales for nonlinear oscillations.Numerical analyses on the influence of the parameters of inductance，capacitance and electromotive force(emf)on the amplitude frequency response curve are，as follows，that is，with the increasing of resistance，the amplitude and resonant region of the primary resonance decrease and with the increasing of electromotive force(emf)，the amplitude and resonant region of the primary resonance increase.With the increasing resistance，the current is abate，and than the nonlinearity will weaken.The system of RLC series circuit is simulated by using MATLAB Simulink tool.

RLC circuit;nonlinear capacitance;multiple scales;1/2 subharmonic resonance

10.3969/j.issn.1005－9490.2014.02.017

O321;TM503.2

A

1005－9490(2014)02－0249－05

項目來源:河北省自然基金項目(A2009000997);唐山市科技計劃項目(1313021106)

2013-05-28修改日期:2013-06-16

EEACC:1230B