田 冷，肖 聰，劉明進，顧岱紅

(1.中國石油大學(北京)石油工程學院，北京 102249； 2.西南石油大學地球科學與技術(shù)學院，四川成都 610500)

考慮頁巖氣擴散的多級壓裂水平井產(chǎn)能模型

田 冷1，肖 聰1，劉明進2，顧岱紅1

(1.中國石油大學(北京)石油工程學院，北京 102249； 2.西南石油大學地球科學與技術(shù)學院，四川成都 610500)

由于存在濃度差，在多級壓裂水平井中，頁巖氣由基質(zhì)孔隙同時向天然裂縫和人工裂縫擴散.基于三孔塊狀模型，考慮頁巖氣解吸、擴散、滲流，建立頁巖氣多級壓裂水平井產(chǎn)能模型；應(yīng)用拉普拉斯變換，獲得拉氏空間產(chǎn)量解，結(jié)合stehfest數(shù)值反演，繪制頁巖氣典型試井曲線.結(jié)果表明，考慮雙擴散頁巖氣的流動過程分為線性流、擬穩(wěn)定竄流、由基質(zhì)向天然裂縫擴散、由基質(zhì)向人工裂縫擴散和邊界控制流5個主要流動階段；擬穩(wěn)態(tài)擴散條件下，壓力導數(shù)受孔隙體積倍數(shù)變化影響敏感；擴散系數(shù)越大，氣體擴散越早；蘭格繆爾參數(shù)越大，氣體解吸和供氣能力越強；壓裂級數(shù)越多，竄流系數(shù)越大，天然裂縫向人工裂縫竄流越早.通過與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合，驗證模型合理性，研究結(jié)果對認識頁巖氣藏壓裂水平井產(chǎn)能遞減規(guī)律、預測產(chǎn)能及優(yōu)化壓裂參數(shù)具有參考意義.

頁巖氣；壓裂水平井；產(chǎn)能模型；解吸；雙擴散；典型曲線

0 引言

體積壓裂改造型頁巖氣藏氣體流動方式及機理[1-8]較為復雜，研究中多將頁巖儲層簡化為雙重孔隙或三重孔隙模型.針對頁巖氣雙孔流動模型，Barenblatt G I等提出頁巖氣雙孔(基質(zhì)孔隙和裂縫)擬穩(wěn)態(tài)流動模型[9]，Warren J E等對此模型加以完善，提出不穩(wěn)定流動模型[10]，但他們未考慮頁巖氣解吸、擴散對產(chǎn)能的影響；Zhao Yulong、Wang Haitao、任俊杰等給出頁巖氣雙孔球形流模型，運用點源函數(shù)和勢疊加原理，同時考慮頁巖氣解吸擴散影響，分析產(chǎn)能影響因素[11-13]，但模型中人工裂縫為無限導流裂縫，與實際頁巖氣藏壓裂水平井流動方式不符；Al-Ghamdi A、El-Banbi A H等提出頁巖氣三孔(雙縫、單基質(zhì))流動模型[14-15]，通過分析實際生產(chǎn)曲線發(fā)現(xiàn)，頁巖氣生產(chǎn)中線性流動占主導地位，El-Banbi A H提出線性三孔模型，并給出拉普拉斯空間解，但沒有考慮頁巖氣解吸和擴散影響；Hasan A等提出考慮頁巖氣解吸和擴散影響的三孔線性流動模型[16]，但模型僅考慮吸附氣向天然裂縫擴散情況，忽略基質(zhì)氣體向人工裂縫的擴散；Ezulike D O等提出考慮基質(zhì)氣體同時向天然裂縫和人工裂縫竄流的三孔線性流動模型[17]，但忽略頁巖氣解吸和擴散影響.由于基質(zhì)中氣體存在濃度差，現(xiàn)有頁巖氣三孔線性流動模型，還未見同時考慮向天然裂縫和人工裂縫擴散的研究.

文中基于三孔塊狀模型，考慮頁巖氣解吸、雙擴散和滲流，建立定產(chǎn)量頁巖氣多級壓裂水平井產(chǎn)能模型，應(yīng)用拉普拉斯變換，獲得拉氏空間產(chǎn)量解，結(jié)合stehfest數(shù)值反演，繪制頁巖氣典型試井曲線，分析各種產(chǎn)能影響因素.

1 流動特征及產(chǎn)能模型

1.1 流動特征

1.1.1 吸附效應(yīng)

人們主要通過蘭格繆爾等溫吸附方程描述頁巖氣在基質(zhì)表面吸附效應(yīng)[2]，表示為

式(1-2)中：Va為吸附體積；VL為蘭格繆爾體積；p為地層壓力；pL為蘭格繆爾壓力；ψL為蘭格繆爾擬壓力；ψ為地層擬壓力.

1.1.2 擴散效應(yīng)

一般情況下，頁巖氣擴散流動滿足Fick擴散定律，氣體從高濃度向低濃度擴散，可根據(jù)基質(zhì)孔隙中氣體濃度分布狀態(tài)，分別由Fick第一定律和第二定律表示.

Fick第一定律表示每個時刻基質(zhì)塊中各處氣體濃度相等，氣體擴散速度與內(nèi)外濃度差呈線性關(guān)系[4]，擴散方程為

考慮氣體擬壓力形式下的等溫吸附方程為

式(3-4)中：V為氣體濃度；t為時間；Fs為基質(zhì)塊的形狀因子；D為氣體擴散系數(shù)；VE為裂縫壁面氣體濃度；φm為基質(zhì)孔隙度.

1.2 物理模型

將頁巖氣壓裂地層簡化為塊狀模型(見圖1)，其中，LF、Lf為基質(zhì)塊的長和寬；Lh為水平井井筒長度；Le為人工裂縫半長.考慮矩形封閉地層中心一口水平井定產(chǎn)量生產(chǎn)時，假設(shè)條件：(1)初始條件下，地層壓力為pi，儲層具有雙孔介質(zhì)(基質(zhì)孔隙和天然裂縫孔隙)特征；(2)人工裂縫垂直于井筒并貫穿儲層，相對井筒對稱并均勻分布，天然裂縫與人工裂縫垂直，氣藏的長度、寬度分別與水平井井筒長度和人工裂縫長度相等；(3)人工裂縫具有有限導流能力，人工裂縫和天然裂縫中流體滲流符合達西定律，基質(zhì)孔隙中氣體為擴散流動；(4)氣體由基質(zhì)同時向人工裂縫和天然裂縫擴散，從天然裂縫向人工裂縫竄流，僅從人工裂縫向井筒供氣；(5)頁巖氣和地層巖石微可壓縮，壓縮系數(shù)恒定；(6)頁巖氣吸附規(guī)律滿足蘭格繆爾等溫吸附方程，擴散規(guī)律滿足Fick定律；(7)氣體滲流過程忽略毛管力和重力影響.

圖1 多級壓裂水平井流動模型Fig.1 The flow model of multi-stage fracturing horizontal well

Fick第二定律表示基質(zhì)塊中氣體濃度分布為時間和位置的函數(shù)[4]，擴散方程為

1.3 數(shù)學模型

頁巖氣在基質(zhì)孔隙中同時向天然裂縫和人工裂縫擴散，根據(jù)氣體擴散方向，將基質(zhì)分為氣體由基質(zhì)向人工裂縫擴散和由基質(zhì)向天然裂縫擴散2部分.定義基質(zhì)孔隙體積倍數(shù)χ=φma/φm，表示裂縫擴散氣體所在的基質(zhì)孔隙占總基質(zhì)孔隙的體積比，其中，φma為裂縫占基質(zhì)體積的孔隙度；φm為總基質(zhì)的孔隙度.基質(zhì)中向人工裂縫和天然裂縫擴散氣體的擴散系數(shù)分別為D1和D2，表示基質(zhì)中氣體向不同裂縫擴散能力的大小.

氣體由天然裂縫向人工裂縫的滲流方式為擬穩(wěn)態(tài)竄流，人工裂縫中流體具有限導流能力，流動滿足線性流動規(guī)律.由質(zhì)量守恒定律，頁巖氣井定產(chǎn)量條件下基質(zhì)、天然裂縫和人工裂縫中流動方程聯(lián)立求解并擬壓力化，得到氣體在不同裂縫中的擴散方程：式中：ψF、ψf為人工裂縫和天然裂縫中氣體的擬壓力；x、y為氣體流動距離；α為形狀因子；kF、kf為人工裂縫和天然裂縫的滲透率；φj(j=F，f)為人工裂縫或天然裂縫孔隙度；μ為氣體黏度；ct為巖石總壓縮系數(shù)；t為氣體流動時間；Va、Vb為由基質(zhì)向人工裂縫和天然裂縫中擴散的氣體濃度；psc為地面標準狀況下的壓力；T為儲層溫度；Tsc為地面標準狀況下的溫度.

將基質(zhì)中氣體向人工裂縫和天然裂縫中擴散方式分為4類，討論基質(zhì)中氣體擬穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)擴散的控制方程.

(1)擴散方式Ⅰ，基質(zhì)中氣體向人工裂縫和天然裂縫中擴散方式為擬穩(wěn)態(tài)擴散：

(2)擴散方式Ⅱ，基質(zhì)中氣體向人工裂縫和天然裂縫中擴散方式為非穩(wěn)態(tài)擴散：

(3)擴散方式Ⅲ：基質(zhì)中氣體向人工裂縫中擴散方式為擬穩(wěn)態(tài)、向天然裂縫中擴散為非穩(wěn)態(tài)方式：

(4)擴散方式Ⅳ：基質(zhì)中氣體向人工裂縫中擴散方式為非穩(wěn)態(tài)、向天然裂縫中擴散為擬穩(wěn)態(tài)方式：

對于非穩(wěn)態(tài)擴散氣體，基質(zhì)向人工裂縫和天然裂縫的氣體擴散濃度隨時間的變化量分別表示為

將式(5-10)無因次化，得到氣體在不同裂縫中的無因次擴散方程：

基質(zhì)中氣體以不同擴散方式向人工裂縫和天然裂縫擴散時的無因次擴散方程分別為

(1)擴散方式Ⅰ：

(2)擴散方式Ⅱ：

(3)擴散方式Ⅲ：

(4)擴散方式Ⅳ：

對于非穩(wěn)態(tài)擴散氣體，基質(zhì)向人工裂縫和天然裂縫的氣體擴散濃度隨時間的變化量分別表示為

控制方程的初始條件為

2 模型求解

采用常規(guī)計算方法難以求得產(chǎn)能控制方程的解析解，需對產(chǎn)能控制方程進行拉普拉斯變換得到它在拉氏空間中的方程，s表示拉普拉斯因子.

將式(11)經(jīng)過拉普拉斯變換，得到氣體在不同裂縫中擴散的拉氏空間方程：

人工裂縫邊界條件為

基質(zhì)中氣體以不同擴散方式向人工裂縫和天然裂縫擴散時的拉氏空間方程為

(1)擴散方式Ⅰ：

(2)擴散方式Ⅱ：

(3)擴散方式Ⅲ：

(4)擴散方式Ⅳ：

非穩(wěn)態(tài)邊界條件為

對4種擴散條件下的基質(zhì)方程(式(19-22))求解，分別為

(1)擴散方式Ⅰ：

(2)擴散方式Ⅱ：

(3)擴散方式Ⅲ：

(4)擴散方式Ⅳ：

3 典型曲線及壓力影響因素

結(jié)合stehfest數(shù)值反演得到實空間頁巖氣多級壓裂水平井定產(chǎn)量條件下的解，繪制實空間無因次擬壓力/壓力導數(shù)和無因次產(chǎn)量/產(chǎn)量導數(shù)隨無因次時間的變化關(guān)系曲線(見圖2)，劃分流體流動階段，分析影響因素.其中參數(shù)設(shè)置：裂縫竄流系數(shù)λ=54，ω=0.032，κ=19.75，γu=0.047，γp=1.339，σ=4.4× 10-4，β=1；實線表示無因次擬壓力(或產(chǎn)量)曲線，虛線表示無因次擬壓力導數(shù)(或產(chǎn)量導數(shù))曲線.

3.1 流動階段

繪制并分析基質(zhì)中氣體以不同擴散方式向天然裂縫和人工裂縫擴散時的典型試井曲線(見圖2)，將不同擴散方式下頁巖氣流動分為5個流動階段.

(1)流動階段Ⅰ.為人工裂縫中早期線性流階段；擬壓力導數(shù)曲線和擬壓力曲線平行，斜率為0.5，無因次產(chǎn)量曲線斜率等于-0.5，人工裂縫外地層中的氣體未發(fā)生流動.

(2)流動階段Ⅱ.為天然裂縫向人工裂縫擬穩(wěn)定竄流階段；擬壓力導數(shù)曲線和產(chǎn)量導數(shù)曲線出現(xiàn)下凹形狀，由于人工裂縫中壓力降低，天然裂縫中壓力與之形成壓力差，形成竄流.

圖2 不同擴散方式下試井典型曲線Fig.2 The type curves with different diffusion patterns

(3)流動階段Ⅲ.為基質(zhì)中氣體向天然裂縫擴散階段；分別考慮氣體擬穩(wěn)態(tài)擴散和非穩(wěn)態(tài)擴散情況：擬穩(wěn)態(tài)擴散條件下，擬壓力導數(shù)曲線出現(xiàn)下凹；非穩(wěn)態(tài)擴散條件下，擬壓力和壓力導數(shù)曲線近乎平行，斜率約為0.5，無因次產(chǎn)量曲線斜率約為-0.5，表明基質(zhì)氣體中為線性流動，通過擴散向天然裂縫中供氣.

(4)流動階段Ⅳ.為基質(zhì)中氣體向人工裂縫擴散階段.分別考慮氣體擬穩(wěn)態(tài)擴散和非穩(wěn)態(tài)擴散情況：擬穩(wěn)態(tài)擴散條件下，擬壓力導數(shù)曲線出現(xiàn)下凹，但下凹程度不明顯；非穩(wěn)態(tài)擴散條件下，擬壓力和壓力導數(shù)曲線近乎平行，斜率約為0.5，表明基質(zhì)中氣體為線性流動，通過擴散向人工裂縫中供氣.

(5)流動階段Ⅴ.為邊界控制流階段.壓力波到達氣藏邊界，擬壓力和壓力導數(shù)曲線上翹，最終趨于重合.

3.2 壓力影響因素

3.2.1 不同擴散方式下的基質(zhì)孔隙體積倍數(shù)

圖3 不同擴散方式下基質(zhì)孔隙體積倍數(shù)對頁巖氣典型曲線的影響Fig.3 The impacts of matrix pore volume ratio on type curves with different diffusion patterns

繪制兩種擴散方式下，基質(zhì)孔隙體積倍數(shù)χ分別為0、0.5、0.8、1.0時的無因次擬壓力和壓力導數(shù)曲線(見圖3).擴散方式Ⅰ見圖3(a)，χ=0和χ=1分別表示基質(zhì)中氣體向天然裂縫和人工裂縫擴散情況，擬壓力導數(shù)曲線上只出現(xiàn)兩個下凹(擬穩(wěn)定竄流和擬穩(wěn)態(tài)擴散).當χ≠0時，擬壓力導數(shù)曲線出現(xiàn)兩個擴散下凹段(向人工和天然裂縫均為擬穩(wěn)態(tài)擴散)，隨著χ的增大，基質(zhì)向人工裂縫中的擴散量增大.擴散方式Ⅱ見圖3(b)，擬壓力導數(shù)曲線只出現(xiàn)一個下凹段(擬穩(wěn)定竄流段)，后出現(xiàn)斜率為0.5的非穩(wěn)態(tài)擴散線性流階段，隨著χ的增大，擬壓力導數(shù)曲線后期上移.對比圖3(a)和圖3(b)，兩種擴散方式下，壓力響應(yīng)差異較大，擬穩(wěn)態(tài)擴散條件，壓力導數(shù)隨χ變化較為敏感，且基質(zhì)中氣體向天然裂縫中擬穩(wěn)態(tài)擴散比向人工裂縫中擬穩(wěn)態(tài)擴散時，邊界導致的壓力下降大(擬壓力曲線上移)，原因是基質(zhì)對人工裂縫中的氣體補充，使壓力降低變慢，壓力波到達邊界時間延長；相反，當基質(zhì)中氣體向天然裂縫擴散時，人工裂縫壓力降低不能得到補充，使邊界影響變大.

3.2.2 基質(zhì)中氣體向不同裂縫擬穩(wěn)態(tài)擴散時的無因次擴散系數(shù)比

繪制基質(zhì)中氣體以不同擴散系數(shù)比β分別向人工裂縫和天然裂縫中擬穩(wěn)態(tài)擴散時的無因次擬壓力和壓力導數(shù)曲線(見圖4).圖4(a)中，D1=300 m3/m3，分別取D2=600、300、150 m3/m3，得到β=0.5、1和2；圖4(b)中，D2=300 m3/m3，分別取D1=150、300、600 m3/m3，得到β=0.5、1、2.由圖4可見，擴散系數(shù)是表征氣體擴散早晚及難易程度的參數(shù)，擴散系數(shù)越大，擴散越容易發(fā)生，擬穩(wěn)態(tài)竄流特征越明顯，基質(zhì)中氣體向天然裂縫中擬穩(wěn)定擴散發(fā)生越早；基質(zhì)中氣體向人工裂縫中非穩(wěn)態(tài)擴散基本不受擴散系數(shù)的影響.

圖4 基質(zhì)中氣體向不同裂縫擬穩(wěn)態(tài)擴散時無因次擴散系數(shù)比對頁巖氣典型曲線的影響Fig.4 The impacts of dimensionless diffusion parameter ratio on type curves

3.2.3 基質(zhì)中氣體向不同裂縫擬穩(wěn)態(tài)擴散時的吸附系數(shù)

繪制基質(zhì)中氣體以不同吸附系數(shù)σ向人工裂縫和天然裂縫下擬穩(wěn)態(tài)擴散時的無因次擬壓力和壓力導數(shù)曲線(見圖5).圖5(a)中，VL=10 m3/m3，分別取pL=3、5、8 MPa，得到σ=0.000 34、0.000 88、0.001 89；圖5(b)中，pL=8 MPa，分別取VL=10、15、20 m3/m3，得到σ=0.001 89、0.002 85、0.003 79.由圖5可知，吸附系數(shù)是表征氣體解吸程度的參數(shù)，擬穩(wěn)態(tài)擴散典型曲線形成凹槽，隨著pL增大，氣體壓力降低，發(fā)生解吸越早，隨著VL增大，氣體吸附濃度增大，兩者同時作用導致吸附系數(shù)σ增大，典型曲線下凹程度加大.由于氣體解吸，基質(zhì)氣體濃度增大，使基質(zhì)內(nèi)外濃度差增大，氣體向裂縫中擴散越早，流動后期解吸氣對裂縫進行補充，邊界控制流階段氣體壓力降低減慢，壓力傳播到邊界時間變長，邊界控制流階段影響變小.

圖5 基質(zhì)中氣體向不同裂縫擬穩(wěn)態(tài)擴散時的無因次吸附系數(shù)對頁巖氣典型曲線的影響Fig.5 The impacts of dimensionless adsorption parameter on type curves

3.2.4 基質(zhì)中氣體以擴散方式Ⅳ向不同裂縫擴散時的竄流系數(shù)

繪制基質(zhì)中氣體以擴散方式Ⅳ、用不同裂縫竄流系數(shù)λ向不同裂縫擴散時的無因次擬壓力和壓力導數(shù)曲線(見圖6)，其中氣體向人工裂縫中擴散時為非穩(wěn)態(tài)擴散，向天然裂縫中擴散時為擬穩(wěn)態(tài)擴散.人工裂縫條數(shù)下HF=8、10、15時，基質(zhì)單元尺寸比κ=69.40、44.40、19.75.κ反映裂縫的密度，它影響基質(zhì)塊的形狀因子，得到不同竄流系數(shù)λ(λ=15.36、24.00、54.00).由圖6可見，隨著人工裂縫條數(shù)的增大，基質(zhì)單元尺寸比減小，基質(zhì)塊竄流系數(shù)變大，使天然裂縫向人工裂縫中竄流發(fā)生得越早，擬穩(wěn)定竄流段凹槽整體左移；當竄流系數(shù)過小時，曲線上觀察不到擬穩(wěn)定竄流階段.

4 實例驗證

根據(jù)四川長寧—威遠頁巖氣區(qū)某壓裂水平井實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)，繪制無因次產(chǎn)量/產(chǎn)量導數(shù)和時間的雙對數(shù)典型試井曲線(見圖7).其中實線為理論曲線、散點為實測生產(chǎn)數(shù)據(jù).選擇χ≠0時的典型試井曲線圖版，對理論曲線和實測曲線進行擬合，擬合結(jié)果較好.

圖6 基質(zhì)中氣體以擴散方式Ⅳ向不同裂縫擴散時竄流系數(shù)對頁巖氣典型曲線的影響Fig.6 The impacts of dimensionless inter-porosity parameter on type curves

圖7 理論模型和實際生測數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig.7 The matching result between theortical model and real data

由圖7可見，在頁巖氣流動過程中，該頁巖氣井基質(zhì)中氣體的擴散方式為：氣體向人工裂縫中擬穩(wěn)態(tài)擴散，向天然裂縫中非穩(wěn)態(tài)擴散.孔隙體積倍數(shù)χ不同，曲線的特征和趨勢不變.表明文中理論模型可用于實際生產(chǎn)中頁巖氣藏流動方式的判斷.因此，結(jié)合實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)，可以通過該理論模型典型試井曲線圖版初步擬合并確定基質(zhì)中氣體分別向不同裂縫的擴散方式，進而精細擬合確定孔隙體積倍數(shù).

5 結(jié)論

(1)建立考慮解吸、擴散、滲流的頁巖氣多級壓裂水平井產(chǎn)能分析物理和數(shù)學模型，并求出解析方程.

(2)考慮基質(zhì)中氣體向不同裂縫擴散的4種擴散方式：向人工裂縫和天然裂縫中擴散方式均為擬穩(wěn)態(tài)擴散；向人工裂縫和天然裂縫中擴散方式均為非穩(wěn)態(tài)擴散；向人工裂縫中擴散方式為擬穩(wěn)態(tài)、向天然裂縫中擴散為非穩(wěn)態(tài)擴散；向人工裂縫中擴散方式為非穩(wěn)態(tài)、向天然裂縫中擴散為擬穩(wěn)態(tài)擴散.氣體流動劃分為5個階段：人工裂縫中早期線性流階段；天然裂縫向人工裂縫擬穩(wěn)定竄流階段；基質(zhì)向天然裂縫擴散階段；基質(zhì)向人工裂縫擴散階段；邊界控制流階段.

(3)不同擴散方式下，基質(zhì)孔隙體積倍數(shù)對壓力影響差異較大：擬穩(wěn)態(tài)擴散條件，壓力導數(shù)隨其變化較敏感，僅考慮基質(zhì)向天然裂縫擬穩(wěn)態(tài)擴散比僅考慮基質(zhì)向人工裂縫擬穩(wěn)態(tài)擴散，邊界導致的壓力下降大.可以根據(jù)壓力響應(yīng)情況，推測地層氣體擴散方式，從而進行產(chǎn)能預測.與擬穩(wěn)定竄流特征類似，擴散系數(shù)和蘭格繆爾系數(shù)是反映擬穩(wěn)態(tài)擴散的兩個相關(guān)特征參數(shù).擴散系數(shù)反映氣體擴散能力大小，擴散系數(shù)越大，氣體擴散越早發(fā)生；蘭格繆爾參數(shù)反映基質(zhì)解吸和儲存吸附氣的能力大小，參數(shù)越大，氣體的解吸和供氣能力越強.

(4)對于頁巖氣多級壓裂水平井，宏觀壓裂級數(shù)影響微觀基質(zhì)形狀因子，最終影響竄流系數(shù)，壓裂級數(shù)越多，竄流系數(shù)越大，天然裂縫越早向人工裂縫發(fā)生竄流，頁巖氣產(chǎn)量越高.

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TE33

A

2095-4107(2014)05-0093-10

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2014.05.012

2014-06-26；編輯張兆虹

國家自然科學基金項目(51204193)

田 冷(1977-)，男，博士，副教授，主要從事油氣田開發(fā)方面的研究.