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      基于改進SIR模型的甲型H1N1流感防控研究

      2014-10-10 07:07:08熊思燦吳志強
      關(guān)鍵詞:曲線圖感染者流感

      孫 海, 熊思燦, 吳志強

      (1.樂山師范學院數(shù)學與信息科學學院,四川樂山 614000;2.東華理工大學理學院,江西撫州 344000)

      甲型H1N1流感是一種由A型甲流感病毒引起的豬呼吸系統(tǒng)疾病,該病毒可在豬群中造成流感的爆發(fā)。目前,此種病毒已在人群中大量爆發(fā),它的潛伏期較流感、禽流感潛伏期長,病毒可能在人體潛伏7天后才表現(xiàn)出病癥,感染后一般會在一周或一周多后就發(fā)病。所以分析感染人群的變化規(guī)律具有十分重要的意義。

      霍闊等(2010)采用四階Runge-kutta方法,利用一般SIR模型(姜啟源等,2003;劉來福等,1997;李偉等,2004;李建奎等,2004;宇永仁等,2005;王汝發(fā)等,2004;周永衛(wèi)等,2007)對甲型 H1N1流感傳播進行了研究,本文在此模型的基礎(chǔ)上進行了改進,增加了人群種類:潛伏者和接種疫苗者,且對他們間的轉(zhuǎn)化系數(shù)也做了相應(yīng)的改變,增加了每日潛伏者中轉(zhuǎn)化為病毒攜帶者的比例和易感染者的接種疫苗比例,這樣就使得模型更接近實際情況。

      1 改進SIR模型的建立和求解

      1.1 模型的假設(shè)與符號的約定

      1.1.1 模型假設(shè)

      (1)假設(shè)人群總數(shù)不變,并且不考慮這段時間內(nèi)的人口出生率和自然死亡率及因其他疾病死亡和國內(nèi)人口流動情況;

      (2)假設(shè)以天作為時間計量單位;

      (3)假設(shè)甲型H1N1流感潛伏期為7 d,在發(fā)病前1 d就具有傳染性;

      (4)假設(shè)由于一旦發(fā)現(xiàn)流感,就會加強防控,而且防控措施到位,凡感染者均能去醫(yī)院就醫(yī),并成為確診者;

      (5)假設(shè)治愈恢復(fù)者對甲型H1N1病毒有免疫力,不再感染;

      (6)假設(shè)甲型H1N1流感的死亡率為0;

      (7)假設(shè)所有的統(tǒng)計數(shù)據(jù)真實,沒有遺漏現(xiàn)象。

      1.1.2 符號約定

      S(t)為t時刻易感染者在人群中所占的比例;I(t)為t時刻感染者在人群中所占的比例;R(t)為截止到t時刻累計治愈恢復(fù)者在人群中所占的比例;V(t)為截止到t時刻累計接種疫苗者在人群中所占的比例;L(t)為潛伏者在人群中所占的比例;r為每天已確認成為治愈者的比例;p為每個攜帶甲流病毒者的日平均傳染率;q為每日潛伏者中轉(zhuǎn)化為病毒攜帶者的比例;l為每日潛伏者發(fā)病成為感染者的比例;v為易感染者的接種疫苗比例。

      1.2 模型的建立

      由以上假設(shè)和符號的約定,可以得到改進的SIR模型甲型H1N1流感各類人群間的關(guān)系轉(zhuǎn)化如圖1所示:

      圖1 改進的SIR模型的各類人群間的關(guān)系圖Fig.1 Relationship graph of all kinds of people based on the improved SIR model

      由圖1可以看出,不同人群間增加了更多的轉(zhuǎn)換過程:易感染者可以向潛伏者或接種疫苗者轉(zhuǎn)化;潛伏者可以向感染者轉(zhuǎn)化;感染者可以向治愈者轉(zhuǎn)化,使得模型與實際情況更加符合,并由此我們可以得到改進的SIR模型的甲型H1N1流感防控模型的常微分方程如式1所示:

      1.3 模型的求解

      設(shè)日平均傳染率p為1.5,易感染者的接種疫苗比例v為0.002。由于假設(shè)甲型H1N1流感潛伏期為7 d,故每日潛伏者成為傳染者的比例l為1/7,每日潛伏者中轉(zhuǎn)化為病毒攜帶者的比例q為1/6,本文中 r取估計值 0.309 4。

      對改進的SIR模型,利用一般的解微分方程的方法難以求解,本文采用德國學者(Felhberg,1968)提出的四階五級RKF算法。假設(shè)當前的步長為hk,則可以定義下面的6個ki變量:

      式中,tk為當前計算時刻,中間參數(shù)αi,βij及其他參數(shù)由表1(四階五級RKF算法系數(shù)表)給出,其中αi,βij參數(shù)對又稱為 Dormand-Prince對。這時下一步的狀態(tài)向量可以由下式求出:

      表1 四階五級RKF算法系數(shù)表Table 1 The coefficient of four order and five stage RKF method

      利用上述方法對模型進行求解,得到改進SIR模型 S(t),I(t),R(t),V(t),L(t)隨時間變化的曲線圖(圖2)。

      由圖2可以看出,S(t)曲線隨時間遞減,表明易感染者受到傳染或接種疫苗而成為潛伏者或接種疫苗者,所以數(shù)量不斷減少;I(t)曲線隨時間呈先遞增后遞減的趨勢,這是由于易感染者轉(zhuǎn)化為感染者,所以感染者數(shù)量逐漸增大,增大到一定值后,隨著中后期防控措施的加強,感染者最終將全部轉(zhuǎn)化為治愈者,直至為0;L(t)曲線隨時間呈先遞增后遞減的趨勢,這是由于潛伏者轉(zhuǎn)化為確診者,所以確診者數(shù)量逐漸增大,增大到一定值后,隨著中后期防控措施的加強,確診者最終將全部轉(zhuǎn)化為治愈恢復(fù)者,直至為0;R(t)曲線隨時間呈遞增趨勢,這是由于確診者不斷治愈成為治愈恢復(fù)者,到最后趨于一個穩(wěn)定值。V(t)曲線隨時間呈遞增趨勢,這是由于易感染者不斷接種疫苗而成為接種疫苗者。

      1.4 參數(shù)修正

      對日平均傳染率對參數(shù)p值進行修正,再對SIR模型和改進的SIR模型進行求解。當p為1.4,1.3,1時,SIR模型和改進的 SIR 模型的 S(t),I(t),R(t),V(t),L(t)隨時間變化的曲線圖如圖3~5所示。

      由圖3可以看出,隨著p值的不斷減小,SIR模型的S(t)曲線,I(t)曲線,R(t)曲線隨時間的變化趨勢不大,并且最后易感染者和感染者最后幾乎都轉(zhuǎn)化成了治愈恢復(fù)者,這顯然與實際情況不符合,改進的SIR模型的S(t)曲線,I(t)曲線,R(t)曲線,V(t)曲線,L(t)曲線隨時間呈遞增或遞減趨勢越來越明顯,這是因為:隨著接觸率的不斷減少,以及后期防控措施的加強,易感染者數(shù)量在不斷減少,接種疫苗者一直隨時間呈遞增趨勢,這是由于易感染者不斷接種疫苗,確診者和潛伏者已與模型無關(guān),治愈恢復(fù)者變?yōu)?。這說明所建的模型與實際情況越來越接近,模型越來越合理。

      圖2 防控模型的預(yù)測曲線圖Fig.2 The prediction of prevention model

      圖3 SIR曲線圖及改進SIR曲線圖Fig.3 The SIR graphics and improved SIR graphics

      2 基于改進SIR模型的甲型H1N1流感防控的檢驗

      2.1 I(t)預(yù)測值與實際值的對比

      當 p 為1.5,1.4,1.3,1 時,得到 SIR 模型的預(yù)測I(t)、改進的SIR模型的預(yù)測I(t)和實際I(t)隨時間變化的曲線圖(圖4)。

      由圖4可以看出,當參數(shù)p逐步減小時,改進的SIR模型的預(yù)測I(t)值和實際I(t)值越來越吻合。當p值為1時,SIR模型的預(yù)測I(t)值卻與實際預(yù)測I(t)值存在較大的偏差,而改進的SIR模型的預(yù)測I(t)值和實際I(t)值幾乎吻合,這進一步說明了改進的SIR模型的合理性。

      2.2 R(t)預(yù)測值與實際值的對比

      當 p 為 1.5,1.4,1.3,1 時,得到 SIR 模型的預(yù)測R(t)、改進的SIR模型的預(yù)測R(t)和實際R(t)隨時間變化的曲線圖(圖5)。

      圖4 日平均感染率取不同值時感染者比例的預(yù)測值、改進后預(yù)測值和實際值的對比圖Fig.4 The comparison of the infected rate of the prediction,the improved prediction and the actual with different daily average infection rate

      由圖5可以看出,當參數(shù)p逐步減小時,改進的SIR模型的預(yù)測R(t)值和實際R(t)值越來越吻合。當p值為1時,SIR模型的預(yù)測R(t)值卻與實際預(yù)測R(t)值存在較大的偏差,而改進的SIR模型的預(yù)測R(t)值和實際的R(t)值幾乎完全吻合,這也進一步說明了改進的SIR模型的合理性。

      3 結(jié)論

      較之一般的SIR模型,本文的人群分類更準確,因素考慮更全面。建立模型時,增加了對潛伏者、接種疫苗者的考慮,并將甲型H1N1流感患者在發(fā)病前一天即具有傳染性這一因素也考慮了進去,使得所建模型更合理,所得結(jié)果與實際情況更一致。但由于沒有隱性傳染者相關(guān)數(shù)據(jù)的支持,所以無法獲得隱性傳染者與其他人群間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,故未將其列入所建數(shù)學模型中,這也成了模型的一大缺點。

      圖5 日平均感染率取不同值時治愈者比例的預(yù)測值、改進后預(yù)測值和實際值的對比圖Fig.5 The comparison of the cured rate of the prediction,the improved prediction and the actual with different daily average infection rate

      霍闊,李世霖.2010.甲型H1N1流感傳播的SIR模型研究[J].湖南工業(yè)大學學報,24(4):40-42.

      姜啟源,謝金星,葉俊.2003.數(shù)學模型[M].北京:高等教育出版社.

      劉來福,曾文藝.1997.數(shù)學模型與數(shù)學建模[M].北京:北京師范大學出版社.

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