（重慶工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，重慶 400067）

（重慶工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，重慶 400067）

針對(duì)提高太陽能光伏能源系統(tǒng)的發(fā)電效率問題,參考2012年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽B題部分?jǐn)?shù)據(jù),利用面積約束對(duì)各表面光伏電池的組合鋪設(shè)及逆變器的選取建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行簡(jiǎn)化分析處理,通過多元優(yōu)化對(duì)影響目標(biāo)函數(shù)的變量進(jìn)行合理賦值得到最優(yōu)解,從而實(shí)現(xiàn)光伏能源的高效利用。

光伏電池；逆變化率；優(yōu)化系數(shù)；太陽能小屋

太陽能光伏電池是目前使用最為普遍的一種利用半導(dǎo)體光伏效應(yīng)將太陽能直接轉(zhuǎn)化為電能的光伏產(chǎn)品。太陽能小屋即是利用光伏電池發(fā)電實(shí)現(xiàn)家居環(huán)保與低碳的新型住宅。在設(shè)計(jì)太陽能小屋時(shí)，在設(shè)計(jì)太陽能小屋時(shí)，需綜合考量不同條件下各因素對(duì)發(fā)電的影響。不同種類的光伏電池每峰瓦的價(jià)格差別很大，且每峰瓦的實(shí)際發(fā)電效率或發(fā)電量還受諸多因素的影響，如太陽輻射強(qiáng)度、光線入射角、建筑物所處的地理緯度、地區(qū)的氣候與氣象條件、安裝部位及方式等。因此，在太陽能小屋的設(shè)計(jì)過程中，其首要問題是在小屋外表面實(shí)現(xiàn)光伏電池的優(yōu)化鋪設(shè)。

通過建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)不同型號(hào)光伏電池及逆變器在貼附模式下的不同排列進(jìn)行研究，并由建模定量計(jì)算出滿足發(fā)電總量盡可能大而所耗費(fèi)用盡可能小的最優(yōu)方案。經(jīng)由對(duì)光伏電池工作原理的探究，分析得出影響建模結(jié)果的因素，并為各因素在其限定條件下建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，計(jì)算得到在貼附模式下的鋪設(shè)最優(yōu)解。進(jìn)一步利用多目標(biāo)規(guī)劃法，綜合考量各影響因素的權(quán)重，由此為大同市規(guī)劃設(shè)計(jì)出滿足其用電需求的太陽能光伏小屋。

1 發(fā)電效率最高的光伏電池組的選擇

1.1 最高發(fā)電效率的光伏電池組件的選擇

根據(jù)光伏電池工作原理可知，通常單塊太陽能電池組件無法滿足家居負(fù)載電壓或功率的要求，為了用電的穩(wěn)定，必須將其可靠地固定在太陽能電池板上（跟蹤系統(tǒng)除外）。因此，在大多數(shù)情況下，不同型號(hào)的光伏電池在自身參數(shù)允許范圍內(nèi)進(jìn)行合理的連接，從而構(gòu)成太陽能電池方陣結(jié)構(gòu)（若干個(gè)太陽電池組件在機(jī)械和電氣上按一定方式組裝在一起，并且有固定的支撐結(jié)構(gòu)而構(gòu)成的直流發(fā)電單元）。再通過選取適當(dāng)規(guī)格的逆變器，將電池方陣產(chǎn)生的直流電轉(zhuǎn)化為交流電。

實(shí)驗(yàn)中選用市面上應(yīng)用較多的3種不同類型的光伏電池組件（A-單晶硅、B-多晶硅、C-非晶硅薄膜）進(jìn)行評(píng)估。在不考慮其他因素的前提下，根據(jù)不同類型光伏電池的有關(guān)數(shù)據(jù)，比較不同類型光伏電池的單位貼附面積的發(fā)電功率和單位貼附面積的電池成本。初選出單位貼附面積的發(fā)電功率高且單位貼附面積的電池成本相對(duì)較低的3種類型的光伏電池以備鋪設(shè)中擇優(yōu)選取，盡可能使全年光伏發(fā)電總量最大化。

單位面積發(fā)電效率ξ等于組件發(fā)電效率P于組件總面積S的比值，即：

將A、B、C三類光伏電池的發(fā)電效率的技術(shù)參數(shù)代入模型，由數(shù)據(jù)可知，A類中的A1，B類中的B2，C類中的C13種型號(hào)的光伏電池組件在其所在組別中具有最大的單位面積發(fā)電功率，在鋪設(shè)時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮?，F(xiàn)將此3種光伏電池的參數(shù)特性匯于表1中。

表1 光伏電池的參數(shù)特性

1.2 建筑物表面太陽輻射模型的建立

根據(jù)給定的小屋各外表面參數(shù)，結(jié)合當(dāng)?shù)厝照諘r(shí)長(zhǎng)及強(qiáng)度，通過建立模型，求解得到各方向總輻射強(qiáng)度。

2.2.1 垂直面模型

當(dāng)光伏電池鋪設(shè)面為東、南、西、北4個(gè)面的時(shí)，電池僅受來自法向的太陽光照射。以南面為例受光面為南面面積S，其他各面情況相同。

2.2.2 傾斜面模型

當(dāng)光伏電池鋪設(shè)在頂面時(shí)，不僅受到垂直面光照照射，也同時(shí)受到水平面光照照射，即所受光源來自兩個(gè)方向，則總受光面積為S1+S2。則頂偏南面（TS面）與頂偏北面（TN面）受光照情況如圖1、2所示。

圖2 頂偏北面光照模型

朝南屋頂全年接收各方向總輻射強(qiáng)度：

其中：HT為水平面總輻射強(qiáng)度，HS為南向總輻射強(qiáng)度，HN為北向總輻射強(qiáng)度。

1.3 鋪設(shè)電池方案的優(yōu)化模型

根據(jù)計(jì)算所得出每個(gè)屋頂在一年中接受太陽輻射強(qiáng)度，分別以東、南、西、北、屋頂（偏南面和偏北面）全

以TS面為例：設(shè)∠BAO=α，∠BCO=β：年的總發(fā)電量為目標(biāo)函數(shù)，由鋪設(shè)面積小于鋪設(shè)面總面積作為約束條件，以A1，B2，C13種初選的光伏電池鋪設(shè)在每個(gè)表面的電池個(gè)數(shù)為決策變量，以各個(gè)面鋪設(shè)后全年產(chǎn)生的直流電總量最大化為追求目標(biāo)。對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行建模，故目標(biāo)函數(shù)為：

式中，ηi表示電池組件轉(zhuǎn)換效率；EA1，EB2，EC1分別表示A1，B2，C1型號(hào)電池每塊能夠利用的輻射量；SA1，SB2，SC1分別表示A1，B2，C1型號(hào)電池的面積；XA1，XB2，XC1分別表示A1，B2，C1型號(hào)電池的個(gè)數(shù)。

根據(jù)各表面實(shí)際尺寸，利用式（6）所示的整數(shù)規(guī)劃，分別求解得到全年最大發(fā)電總量：

分別將函數(shù)中Se帶入不同鋪設(shè)面面積進(jìn)行對(duì)各個(gè)面對(duì)應(yīng)的整數(shù)規(guī)劃求解，可以得到每個(gè)面初略的優(yōu)選光伏電池的鋪設(shè)方案。

1.4 計(jì)算結(jié)果分析與討論

以山西大同典型氣象年逐時(shí)參數(shù)及各方向輻射強(qiáng)度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，因?yàn)楣夥姵刂饕獙⑻柲苻D(zhuǎn)化為電能所以首先考慮光照因素。太陽光光照強(qiáng)度為太陽投射到單位面積上的輻射功率（輻射通量）稱為輻射度或輻照度，單位是W/m2，在一段時(shí)間內(nèi)（如每小時(shí)、日、月、年等）太陽投射到單位面積上的輻射能量稱為輻射量或輻照量，單位是kW/m2·d。

在模型建立時(shí)，假設(shè)太陽能光伏電池組件的轉(zhuǎn)換率不變，逆變器的逆變效率不變。

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，使用Matlab進(jìn)行編程，根據(jù)不同光伏電池有效光照強(qiáng)度要求，將有效數(shù)據(jù)加總求和，得到A類單晶硅光伏電池、B類多晶硅光伏電池和C類薄膜光伏電池全年總輻射強(qiáng)度。利用式（7），計(jì)算各表面全年總輻射強(qiáng)度H，其中l(wèi)表示光伏電池全年接受有效光照的天數(shù)。

利用Lingo軟件對(duì)光伏電池鋪設(shè)方案進(jìn)行優(yōu)化求解。所得數(shù)據(jù)如表2：

表2 每個(gè)面鋪設(shè)電阻方案

1.5 各立面有效的光伏電池鋪設(shè)方案的二次優(yōu)化

在進(jìn)行太陽能小屋的設(shè)計(jì)時(shí)，一般要求每面鋪設(shè)的光伏電池組件的類型盡可能少（不超過三類）。同時(shí)，由于光伏電池的幾何形狀一定，而各鋪設(shè)面尺寸也固定且有些平面存在門窗等非有效鋪設(shè)面積，故在上文所求得的鋪設(shè)方案不一定適用于各外立面的實(shí)際幾何尺寸。因此，需要對(duì)實(shí)際鋪設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證，以得到適用于小屋實(shí)際的光伏電池鋪設(shè)方式。

1.5.1 鋪設(shè)原則

（1）實(shí)際鋪設(shè)方案最大限度靠近所求的優(yōu)化解；

（2）由于鋪設(shè)面積限制而無法進(jìn)行安裝時(shí)，可使用其它較小面積的光伏電池替代C類電池進(jìn)行鋪設(shè)。

1.5.2 實(shí)際鋪設(shè)方案

根據(jù)鋪設(shè)原則，運(yùn)用SmartDraw軟件得出各表面鋪設(shè)結(jié)果見圖3-圖7。

南面實(shí)際鋪設(shè)：A1為8塊，C7為56塊；北面實(shí)際鋪設(shè)：C1為12塊，C6為73塊；東面實(shí)際鋪設(shè)：B2為9塊，C6為37塊；屋頂朝南實(shí)際鋪設(shè)：B2為25塊，C6為91塊；屋頂朝北實(shí)際鋪設(shè)：B2為5塊，C6為34塊。

圖3 南面實(shí)際鋪設(shè)

圖4 北面實(shí)際鋪設(shè)

圖5 東面實(shí)際鋪設(shè)

圖6 屋頂朝南實(shí)際鋪設(shè)

圖7 屋頂朝北實(shí)際鋪設(shè)

1.6 各立面已優(yōu)選的每種光伏電池的組件陣列的確定和逆變器選取優(yōu)化模型

由于光伏電池產(chǎn)生的直流電不能直接并入電網(wǎng)中使用，故要使用逆變器（可以把直流電能轉(zhuǎn)變成交流電的一種變壓器）將產(chǎn)生直流電能轉(zhuǎn)變成交流電。根據(jù)可能選用逆變器的額定工作電壓（V）范圍和功率容量（W）等參數(shù)進(jìn)行分組設(shè)計(jì)。光伏電池經(jīng)過串、并聯(lián)組成光伏組陣列接入逆變器的直流側(cè)，通過對(duì)各個(gè)鋪設(shè)面的二次優(yōu)化，可以得到各平面實(shí)際的光伏電池架設(shè)方案。在確定最終優(yōu)化方案后，進(jìn)一步考慮逆變器的選配問題。由表3所給出的每個(gè)外立面各類光伏電池的最優(yōu)鋪設(shè)數(shù)，對(duì)每種光伏電池如何組件成陣列及如何選配其逆變器，建立相應(yīng)的優(yōu)化模型，這里簡(jiǎn)化問題起見，只考慮每個(gè)外立面的每種電池構(gòu)成的組件陣列不超過兩個(gè)，設(shè)第一組件陣列是由Y2個(gè)含Y1個(gè)電池的電池串并起來的陣列，設(shè)第二組件陣列是由Z2個(gè)含Z1個(gè)電池的電池串并起來的陣列。

1.6.1 逆變器選取原則

光伏電池與逆變器進(jìn)行串并聯(lián)連接時(shí)，電池組的總電壓應(yīng)小于逆變器的最大限制電壓；電流應(yīng)小于逆變器的額定電流；在同一表面采用兩種及以上類型的光伏電池組件時(shí)，同一型號(hào)的電池板可串聯(lián)，而不同型號(hào)的電池板不可串聯(lián)；在不同表面上，即使是相同型號(hào)的電池也不能進(jìn)行串、并聯(lián)連接；選用的逆變器轉(zhuǎn)換率應(yīng)盡可能高，所耗費(fèi)的總成本應(yīng)盡可能低。

1.6.2 建立模型

根據(jù)逆變器選取原則，運(yùn)用Lingo軟件對(duì)逆變器的選取進(jìn)行編程求解，其優(yōu)化模型如下：

其中，Xj表示第一組件陣列能否接入第j個(gè)逆變器，Xj為0時(shí)表示能接入，Xj為1時(shí)表示不能接入，j=1，2，…，18；Wk表示第二組件陣列能否接入第k個(gè)逆變器，Wk為0時(shí)表示能接入，Wk為1時(shí)表示不能接入，k= 1，2，...，18；dk、dj分別對(duì)應(yīng)第k和第j個(gè)逆變器的轉(zhuǎn)換效率；Pj，Pk分別為第j個(gè)、第k個(gè)逆變器的價(jià)格，Vj，Vk分別為第j個(gè)、第k個(gè)逆變器的直流輸入額定電壓，Ij，Ik分別為第j個(gè)、第k個(gè)逆變器的直流輸入額定電流，Bj，Bk分別為第j個(gè)、第k個(gè)逆變器所能接受的電壓最小值，Cj，Ck分別為第j個(gè)、第k個(gè)逆變器所能接受的電壓最大值。

1.6.3 不同光伏電池鋪設(shè)串并聯(lián)方案

（1）南面鋪設(shè)方案：選用A1型號(hào)8個(gè)，分別為：5個(gè)并聯(lián)接SN3，3個(gè)并聯(lián)接SN3；選用C7型號(hào)56個(gè)，先兩兩串聯(lián)再將電池組并聯(lián)28組，再串聯(lián)SN1。以南面為例如圖8所示：

圖8 南面電池、逆變器連接方案

（2）北面鋪設(shè)方案：選用C6為73個(gè)，73個(gè)并聯(lián)接于SN1；選用C1為12個(gè)，12個(gè)并聯(lián)接于SN7。

（3）西面鋪設(shè)方案：選用B2為12個(gè)，10個(gè)并聯(lián)接于SN3，2兩個(gè)并聯(lián)接于SN5；選用C7為24個(gè)，先兩兩串聯(lián)12組再并聯(lián)于SN1。

（4）東面鋪設(shè)方案：選用B2為6個(gè)，3個(gè)并聯(lián)接于SN3，6個(gè)并聯(lián)接于SN4；選用C6為37個(gè)，37個(gè)并聯(lián)接于SN1。

（5）頂偏北面鋪設(shè)方案：選B2為5個(gè)，3個(gè)并聯(lián)接于SN3，2個(gè)并聯(lián)接于SN3；選C6為34個(gè)，34個(gè)并聯(lián)接于SN1。

（6）頂偏南面鋪設(shè)方案：選B2為25個(gè)，先三三串聯(lián)再3組并聯(lián)接SN7，16個(gè)并聯(lián)接SN6；選C1為91個(gè)，91個(gè)并聯(lián)接SN1。

綜上所述，在不考慮因光照方向變化而產(chǎn)生的非直流電對(duì)發(fā)電量的影響以及不考慮連接電池或逆變器等元件費(fèi)用的前提下，各平面的最優(yōu)鋪設(shè)方案如表3所示：

表3 各個(gè)面年發(fā)電量比較

1.7 貼附安裝的經(jīng)濟(jì)效益

使用貼附安裝方式時(shí)，需將各光伏電池產(chǎn)生的年發(fā)電量加總。根據(jù)元件性能參數(shù)，假定電池和逆變器35年內(nèi)不會(huì)損壞，且在不考慮鋪設(shè)時(shí)的耗材費(fèi)用以及貨幣的時(shí)間價(jià)值等條件下得到了小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量等于18 926.23 kW·h，根據(jù)當(dāng)前民用電價(jià)按0.5元/kW·h計(jì)算，小屋光伏電池的年經(jīng)濟(jì)效益為9 463.12元。

光伏電池的光電轉(zhuǎn)換效率會(huì)受到溫度、灰塵、太陽輻射不均勻等因素的影響，隨著光伏電池的老化，其發(fā)電效率在0～10年效率按100%，10～25年按照90%折算，25年后按80%折算。所以小屋光伏電池35年壽命期內(nèi)的發(fā)電總量為596 176.25 kW·h，小屋光伏電池35年壽命期內(nèi)的總經(jīng)濟(jì)效益η為298 088元。鋪設(shè)光伏電池所花費(fèi)的總成本等于光伏電池的成本加上對(duì)應(yīng)逆變器的成本，光伏電池的總成本等于各類電池價(jià)格之和87 124元；逆變器的總成本C1為107 100元；鋪設(shè)光伏電池所耗費(fèi)的總成本C2為194 224元。

表4 使用各個(gè)光伏電池的總價(jià)格

投資回收期即為總經(jīng)濟(jì)效益等于所耗費(fèi)總成本需要的年限，即：

解得X=20.5，故小屋光伏電池35年壽命期內(nèi)的投資回收年限為20.5年。

2 太陽能小屋的重新設(shè)計(jì)

2.1 太陽能小屋外表面的優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)太陽能小屋外形設(shè)計(jì)如圖9，相關(guān)尺寸如式（12）要求：建筑屋頂最高點(diǎn)距地面高度≤5.4 m，室內(nèi)使用空間最低凈空高度距地面高度為≥2.8 m；建筑總投影面積（包括挑檐、挑雨棚的投影面積）為≤74 m2；建筑平面體型長(zhǎng)邊應(yīng)≤15 m，最短邊應(yīng)≥3 m。建筑設(shè)計(jì)朝向可以根據(jù)需要設(shè)計(jì)，允許偏離正南朝向。

根據(jù)上述建筑要求建立出房屋尺寸模型：

圖9 房屋外形設(shè)計(jì)

由式（13）模型，故可求解出小屋各方向全年總輻射強(qiáng)度，見表5。

表5 各方向全年總輻射強(qiáng)度

用lingo算法求解得到最優(yōu)解為：χ1=4.933，χ2=0，χ3=15，χ4=5.4，α=β=0，即當(dāng)小屋頂邊與地面平行時(shí)，建筑小屋外表面面積的加權(quán)和最大。

2.2 開窗方位及面積的優(yōu)化設(shè)計(jì)

由于在整年度中水平和南向總輻射強(qiáng)度較其它幾個(gè)面更高，為使全年發(fā)電效率盡可能大，首要考慮在北墻、東墻及西墻開窗。設(shè)在北墻、東墻及西墻的開窗面積分別為S1、S2、S3，則小屋全年太陽能光伏發(fā)電總量目標(biāo)函數(shù)為：

根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，建筑采光要求應(yīng)滿足窗地比（開窗面積與房間地板面積的比值，可不分朝向）≥0.2的要求，建筑節(jié)能要求應(yīng)滿足窗墻比（開窗面積與所在朝向墻面積的比值）南墻≤0.50、東西墻≤0.35、北墻≤0.30。由約束條件結(jié)合和設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，可知全年北向總輻射強(qiáng)度最低，為使建筑小屋全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，考慮在總輻射強(qiáng)度最低的北立面構(gòu)造窗戶，以滿足建筑采光要求。

開窗面積S≥0.2×房間地板面積，S=14.7 m2；北墻的最大開窗面積≤0.3×北墻面積，S1=7.938 m2。其次，考慮對(duì)總輻射強(qiáng)度僅高于北墻的東墻構(gòu)造窗戶：東窗的開窗面積S2=6.762 m2，小于建筑節(jié)能要求應(yīng)該滿足的東窗窗墻比。故設(shè)計(jì)北墻的開窗面積為S1=7.938 m2，東窗的開窗面積S2=6.762 m2.

2.3 光伏電池鋪設(shè)方案

根據(jù)求解得到的小屋尺寸，運(yùn)用式（14）、（15）的優(yōu)化建模結(jié)果，得到各個(gè)面電池板鋪設(shè)方案如表6所示，同時(shí)繪制各面鋪設(shè)圖（圖10）。

表6 光伏電池鋪設(shè)方案

圖10 各面鋪設(shè)

2.4 結(jié)果分析與檢驗(yàn)

對(duì)于最佳經(jīng)濟(jì)效益方案的取舍，應(yīng)從總經(jīng)濟(jì)效益，單位面積經(jīng)濟(jì)效益，投資回收年限等方面進(jìn)行評(píng)價(jià)。首先以單位面積發(fā)電量為評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)選出使各項(xiàng)效益最大的光伏電池，再通過接受光照條件優(yōu)化模型，得到最佳鋪設(shè)方案，然后又以外形尺寸為約束條件，并以密鋪算法進(jìn)行二次優(yōu)化，從而得出鋪設(shè)光伏電阻的方案。進(jìn)一步用層次分析法對(duì)逆變器的種類和型號(hào)做出優(yōu)選，從而確定最終優(yōu)化方案。

表7 發(fā)電經(jīng)濟(jì)效益比較

根據(jù)表7數(shù)據(jù)可知，經(jīng)過一系列的建模求解，并在考慮了屋頂傾斜角度、開窗方位等具體問題的條件下，得到了較為理想的鋪設(shè)方案，從而更好地滿足了設(shè)計(jì)要求中所尋求的經(jīng)濟(jì)效益最大化這一目的。

2.5 結(jié)果合理性分析

由安裝方式下的數(shù)據(jù)可知總發(fā)電量達(dá)到18 000多萬kW時(shí)，其回收成本需要20年左右的時(shí)間，符合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)值。

在太陽能小屋建設(shè)問題中，除了用表中數(shù)據(jù)的期望值來求解，還隨機(jī)選取了600個(gè)會(huì)員的數(shù)據(jù)作為一組隨機(jī)變量驗(yàn)證模型的正確性，結(jié)果是令人滿意的。

致謝：衷心感謝數(shù)統(tǒng)學(xué)院陳修素老師對(duì)文章的指導(dǎo)和修改。

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太陽能小屋的設(shè)計(jì)

崔 靜

Optimal Design Model of Solar House

CUI Jing

（School of Economics，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

With the aim to improve the efficiency of electricity generating of photovoltaic energy systems，this paper referred to the statistics of problem B of 2012 National College Mathematical Modeling Contest，used area constraint method to build a model of solar panel installation and the selection of inverters，and simplified and analyzed the process.Finally，this paper obtained the optimal solution by assigning proper values to the variables according tomultivariate optimization，and achieved efficient utilization of photovoltaic energy.

photovoltaic cell；inverting efficiency；optimization coefficient；Solar House

田 靜

O59

A

1672-058X(2014)02-0077-09

2013-08-06;

2013-09-10.

崔靜（1991-），女，河南洛陽人，從事貿(mào)易經(jīng)濟(jì)研究.