陸李華

教材簡(jiǎn)析：

“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”是分?jǐn)?shù)乘法單元的最后一節(jié)，它既是分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算的后繼內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的先決條件，具有承上啟下的作用。這部分內(nèi)容主要包括兩部分知識(shí)：一是理解倒數(shù)的意義；二是掌握求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法。

教學(xué)過(guò)程：

一、憶“數(shù)”引新，揭題認(rèn)標(biāo)

師：同學(xué)們，我們每天都要和一個(gè)老朋友打交道，它就是“數(shù)”（板書：數(shù)）。大家回憶一下，我們都認(rèn)識(shí)哪些數(shù)？

生：整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)。

師：你們能分別舉些例子嗎？

（學(xué)生隨意地說(shuō)數(shù)，教師有選擇地進(jìn)行板書）

師：今天我們要學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識(shí)——倒數(shù)。它和我們以前認(rèn)識(shí)的這些數(shù)有什么不同？什么是倒數(shù)？怎么求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)？

板書：不同？是什么？怎么求？

【設(shè)計(jì)意圖】以“數(shù)”為引子，引導(dǎo)學(xué)生回憶以前認(rèn)識(shí)的數(shù)，作用有兩點(diǎn)：一是便于和倒數(shù)作比較；二是可作為求各種類型的倒數(shù)的素材。隨后一連拋出三個(gè)問(wèn)題：倒數(shù)與這些數(shù)有什么不同？什么是倒數(shù)？怎么求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)？清晰到位的學(xué)習(xí)目標(biāo)的呈現(xiàn)，使學(xué)生產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)心向。

二、自主學(xué)習(xí)，建構(gòu)新知

師：讓我們帶著這3個(gè)問(wèn)題展開(kāi)自學(xué)，看一下學(xué)習(xí)單。

學(xué)習(xí)單

認(rèn)真閱讀教材，思考下列問(wèn)題：

1.圈一圈。仔細(xì)讀一讀倒數(shù)的意義。你覺(jué)得哪個(gè)詞特別重要？把它圈出來(lái)。

2.說(shuō)一說(shuō)。和互為倒數(shù)，還可以怎么說(shuō)？

3.想一想。觀察例題中互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

4.寫一寫。試著寫出和的倒數(shù)。

學(xué)生圍繞學(xué)習(xí)單自主學(xué)習(xí)。

師：下面老師檢查一下大家自學(xué)的情況。出示：

師：你同意他的說(shuō)法嗎？

生：他說(shuō)的不對(duì)，必須乘積是1的兩個(gè)數(shù)才互為倒數(shù)。

教師相機(jī)在“乘積”下面加著重號(hào)，同時(shí)板書：（ ）×（ ）=1

師：聽(tīng)了大家的建議，他改了一下，出示：

因?yàn)椤?1，所以和互為倒數(shù)。

師：現(xiàn)在對(duì)嗎？

生：對(duì)了！

師：和互為倒數(shù)，這句話怎么理解？

生：的倒數(shù)是，的倒數(shù)是。

師：哦！這就像我和你互為朋友，還可以怎么說(shuō)？

生：我是你的朋友，你是我的朋友。

師：對(duì)！都表示一種相互之間的關(guān)系。（板書：關(guān)系）

師：下面我們來(lái)探討“怎么求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)？”看一個(gè)具體的例子：的倒數(shù)是多少？

生：。

師：我們一起來(lái)驗(yàn)證一下。和的乘積是不是1？

老師發(fā)現(xiàn)有同學(xué)中間用“=”連接，你們覺(jué)得對(duì)嗎？

生：不可以，是個(gè)真分?jǐn)?shù)，是個(gè)假分?jǐn)?shù)，怎么可能相等呢？

師：對(duì)！為了方便起見(jiàn)，我們可以用“→”表示的倒數(shù)是。

師：的倒數(shù)是多少？

生（齊）：。

師：好！現(xiàn)在老師給大家一組數(shù)，你能很快說(shuō)出它們的倒數(shù)嗎？

（學(xué)生開(kāi)火車口答）

師：說(shuō)得這么快，有竅門嗎？

生：太簡(jiǎn)單了，只要把分子、分母調(diào)換一下位置。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)單主要圍繞兩個(gè)方面進(jìn)行設(shè)計(jì)：一是倒數(shù)意義的理解；二是通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的方法。自學(xué)后的交流引導(dǎo)學(xué)生更進(jìn)一步、更深層次地探討，明確兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)的先決條件必須是“乘積是1”，再者理解“互為”倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)是相互依存的關(guān)系，使學(xué)生對(duì)倒數(shù)意義的理解更為清晰、明朗。

三、共同探究，深化認(rèn)知

1.研究整數(shù)、小數(shù)的倒數(shù)。

師：好！真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)已經(jīng)研究了，那整數(shù)、小數(shù)，它們的倒數(shù)怎么求呢？

（教師在黑板上從學(xué)生舉的例題中分別挑一個(gè)數(shù)：10、0.2）

師：先獨(dú)立思考，怎么求這兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)？

（學(xué)生獨(dú)立研究）

師：下面小組里再商量一下，還可以再舉一些例子，驗(yàn)證你們的想法。

（小組內(nèi)交流想法）

師：哪個(gè)小組來(lái)匯報(bào)？

生1：我們組研究了整數(shù)，想到了兩種方法。我來(lái)說(shuō)第一種：10=，的倒數(shù)是。

師：能把新知轉(zhuǎn)化成我們剛剛研究過(guò)的分?jǐn)?shù)的形式，再去思考，很會(huì)學(xué)習(xí)！

生2：我們還想到了1÷10=。

師：大家能看明白嗎？

生3：我知道，因?yàn)橐?0的倒數(shù)，就想10×（ ）=1，即用1÷10=。

師：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就要善于從不同的角度去思考，你們小組很棒！

師：接下去哪組來(lái)匯報(bào)小數(shù)？

生1：我們組認(rèn)為小數(shù)可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，0.2=，的倒數(shù)是5。

生2：太麻煩了，可以直接用1÷0.2=5。

師：大家同意嗎？

生：同意。

師：那我再給大家一個(gè)數(shù)：0.3，試著求它的倒數(shù)。

（生一致都用轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的方法）

師：咦？怎么都不用第二種方法啦？

生：因?yàn)?除以0.3，除不盡。

師：看來(lái)這種方法有局限性，所以我們要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用各種方法。

【設(shè)計(jì)意圖】考慮到本課內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，同時(shí)為了滿足不同層次學(xué)生的需要，把求倒數(shù)的范圍從“分?jǐn)?shù)”延伸至“整數(shù)、小數(shù)”，以獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合，不斷擴(kuò)展認(rèn)知，深化認(rèn)識(shí)。

2.及時(shí)練習(xí)中探討1和0的倒數(shù)。

師：好！掌握了方法，咱們來(lái)看一組數(shù)：25 0.9 1 0

（部分學(xué)生開(kāi)始埋頭寫）

師：別急著動(dòng)筆，咱們先來(lái)說(shuō)。說(shuō)說(shuō)你最喜歡求哪個(gè)數(shù)的倒數(shù)，最不喜歡求哪個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

生1：我最喜歡求的倒數(shù)，它的倒數(shù)就是。

生2：我最喜歡求1的倒數(shù)，它的倒數(shù)是1。

師：哦？你是怎么想的？

生2：因?yàn)?×1=1，所以1的倒數(shù)就是1。

（教師相機(jī)板書）

生3：我不喜歡求0的倒數(shù)，感覺(jué)好像沒(méi)有。

生4：我覺(jué)得0的倒數(shù)還是0。

師：0到底有沒(méi)有倒數(shù)呢？你有辦法證明你的結(jié)論嗎？

（思考片刻后……）

生1：因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0，不可能等于1。所以0沒(méi)有倒數(shù)。

師：從倒數(shù)的意義去思考，很有說(shuō)服力。

生2：我認(rèn)為0是整數(shù)，所以0=，的倒數(shù)是，分母為0的時(shí)候，沒(méi)有意義。

師：用求倒數(shù)的方法也證明了0沒(méi)有倒數(shù)。

（教師相機(jī)板書）

【設(shè)計(jì)意圖】求1和0的倒數(shù)，沒(méi)有刻意安排，而是巧妙地穿插在輕松的練習(xí)中，學(xué)生在自主選擇時(shí)，發(fā)現(xiàn)1的倒數(shù)就是1，而對(duì)0是否有倒數(shù)產(chǎn)生疑惑，在此基礎(chǔ)上組織學(xué)生探討，順應(yīng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，可謂水到渠成。

3.回顧反思，交流總結(jié)。

師：學(xué)到這兒，咱們回頭看看學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程，一開(kāi)始的三個(gè)問(wèn)題，心中都有答案了嗎？同桌互相說(shuō)說(shuō)。

師：找到答案了嗎？還有疑問(wèn)嗎？

（學(xué)生交流分享）

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)很好地呼應(yīng)了一開(kāi)始提出的三個(gè)問(wèn)題，通過(guò)回顧，不僅梳理了知識(shí)，完善了認(rèn)知，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的元認(rèn)知意識(shí)，也使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功感。

四、鞏固練習(xí)，拓展延伸

1.將互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)用線連起來(lái)。

100

8 4

0.25

2.我來(lái)當(dāng)小法官。

（1）a和b互為倒數(shù)，所以a×b=1。（ ）

（2）因?yàn)椤?1，所以是倒數(shù)，也是倒數(shù)。

（ ）

（3）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)總比這個(gè)數(shù)小。（ ）

（4）9的倒數(shù)是。（ ）

（5）0.49的倒數(shù)是0.94。（ ）

3.先觀察下面每組數(shù)有什么共同特點(diǎn)，再看看它們的倒數(shù)有什么共同點(diǎn)。

（1）

（2）

（3） 4 9 15

（4）

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

（1）真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都是大于1的假分?jǐn)?shù)。

（2）大于1的假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都是真分?jǐn)?shù)。

（3）幾分之一的倒數(shù)都是整數(shù)。

（4）非0自然數(shù)的倒數(shù)都是幾分之一。

4.拓展延伸。

師：其實(shí)倒數(shù)的一些特點(diǎn)，還可以通過(guò)圖像清楚地表示出來(lái)。

如果用列所在的位置表示原來(lái)的數(shù)，行所在的位置表示它的倒數(shù)。我們?nèi)∫恍┨厥獾狞c(diǎn)。把這些點(diǎn)連成一條線，就形成了這樣一個(gè)倒數(shù)的圖像。

師：仔細(xì)看看，從圖中你能什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)數(shù)越來(lái)越大，它的倒數(shù)就越來(lái)越小。

師：那反過(guò)來(lái)說(shuō)呢？

生：當(dāng)一個(gè)數(shù)越來(lái)越小，它的倒數(shù)就越來(lái)越大。

師：想象一下，這時(shí)候會(huì)形成怎樣的圖像？

（學(xué)生用手勢(shì)表示圖像的大致走勢(shì)）

（出示另外半段圖像）

師：和你想的一樣嗎？

生：一樣。

師：繼續(xù)看，你能從圖像上讀出“0沒(méi)有倒數(shù)”嗎？

生1：倒數(shù)的圖像沒(méi)有經(jīng)過(guò)0這個(gè)點(diǎn)。

生2：我看到圍成的每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積都是1，如果有一條邊是0的話，就不可能組成長(zhǎng)方形了。

師：真會(huì)觀察，相信大家現(xiàn)在對(duì)倒數(shù)又有了更深的理解。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)越大，它的倒數(shù)就越小，一個(gè)數(shù)越小，它的倒數(shù)就越大。同時(shí)，從圖像中再次感受到0沒(méi)有倒數(shù)，使學(xué)生對(duì)倒數(shù)獲得更為豐富的理解。

◇責(zé)任編輯：張 瑩◇

生1：我最喜歡求的倒數(shù)，它的倒數(shù)就是。

生2：我最喜歡求1的倒數(shù)，它的倒數(shù)是1。

師：哦？你是怎么想的？

生2：因?yàn)?×1=1，所以1的倒數(shù)就是1。

（教師相機(jī)板書）

生3：我不喜歡求0的倒數(shù)，感覺(jué)好像沒(méi)有。

生4：我覺(jué)得0的倒數(shù)還是0。

師：0到底有沒(méi)有倒數(shù)呢？你有辦法證明你的結(jié)論嗎？

（思考片刻后……）

生1：因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0，不可能等于1。所以0沒(méi)有倒數(shù)。

師：從倒數(shù)的意義去思考，很有說(shuō)服力。

生2：我認(rèn)為0是整數(shù)，所以0=，的倒數(shù)是，分母為0的時(shí)候，沒(méi)有意義。

師：用求倒數(shù)的方法也證明了0沒(méi)有倒數(shù)。

（教師相機(jī)板書）

【設(shè)計(jì)意圖】求1和0的倒數(shù)，沒(méi)有刻意安排，而是巧妙地穿插在輕松的練習(xí)中，學(xué)生在自主選擇時(shí)，發(fā)現(xiàn)1的倒數(shù)就是1，而對(duì)0是否有倒數(shù)產(chǎn)生疑惑，在此基礎(chǔ)上組織學(xué)生探討，順應(yīng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，可謂水到渠成。

3.回顧反思，交流總結(jié)。

師：學(xué)到這兒，咱們回頭看看學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程，一開(kāi)始的三個(gè)問(wèn)題，心中都有答案了嗎？同桌互相說(shuō)說(shuō)。

師：找到答案了嗎？還有疑問(wèn)嗎？

（學(xué)生交流分享）

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)很好地呼應(yīng)了一開(kāi)始提出的三個(gè)問(wèn)題，通過(guò)回顧，不僅梳理了知識(shí)，完善了認(rèn)知，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的元認(rèn)知意識(shí)，也使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功感。

四、鞏固練習(xí)，拓展延伸

1.將互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)用線連起來(lái)。

100

8 4

0.25

2.我來(lái)當(dāng)小法官。

（1）a和b互為倒數(shù)，所以a×b=1。（ ）

（2）因?yàn)椤?1，所以是倒數(shù)，也是倒數(shù)。

（ ）

（3）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)總比這個(gè)數(shù)小。（ ）

（4）9的倒數(shù)是。（ ）

（5）0.49的倒數(shù)是0.94。（ ）

3.先觀察下面每組數(shù)有什么共同特點(diǎn)，再看看它們的倒數(shù)有什么共同點(diǎn)。

（1）

（2）

（3） 4 9 15

（4）

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

（1）真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都是大于1的假分?jǐn)?shù)。

（2）大于1的假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都是真分?jǐn)?shù)。

（3）幾分之一的倒數(shù)都是整數(shù)。

（4）非0自然數(shù)的倒數(shù)都是幾分之一。

4.拓展延伸。

師：其實(shí)倒數(shù)的一些特點(diǎn)，還可以通過(guò)圖像清楚地表示出來(lái)。

如果用列所在的位置表示原來(lái)的數(shù)，行所在的位置表示它的倒數(shù)。我們?nèi)∫恍┨厥獾狞c(diǎn)。把這些點(diǎn)連成一條線，就形成了這樣一個(gè)倒數(shù)的圖像。

師：仔細(xì)看看，從圖中你能什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)數(shù)越來(lái)越大，它的倒數(shù)就越來(lái)越小。

師：那反過(guò)來(lái)說(shuō)呢？

生：當(dāng)一個(gè)數(shù)越來(lái)越小，它的倒數(shù)就越來(lái)越大。

師：想象一下，這時(shí)候會(huì)形成怎樣的圖像？

（學(xué)生用手勢(shì)表示圖像的大致走勢(shì)）

（出示另外半段圖像）

師：和你想的一樣嗎？

生：一樣。

師：繼續(xù)看，你能從圖像上讀出“0沒(méi)有倒數(shù)”嗎？

生1：倒數(shù)的圖像沒(méi)有經(jīng)過(guò)0這個(gè)點(diǎn)。

生2：我看到圍成的每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積都是1，如果有一條邊是0的話，就不可能組成長(zhǎng)方形了。

師：真會(huì)觀察，相信大家現(xiàn)在對(duì)倒數(shù)又有了更深的理解。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)越大，它的倒數(shù)就越小，一個(gè)數(shù)越小，它的倒數(shù)就越大。同時(shí)，從圖像中再次感受到0沒(méi)有倒數(shù)，使學(xué)生對(duì)倒數(shù)獲得更為豐富的理解。

◇責(zé)任編輯：張 瑩◇

生1：我最喜歡求的倒數(shù)，它的倒數(shù)就是。

生2：我最喜歡求1的倒數(shù)，它的倒數(shù)是1。

師：哦？你是怎么想的？

生2：因?yàn)?×1=1，所以1的倒數(shù)就是1。

（教師相機(jī)板書）

生3：我不喜歡求0的倒數(shù)，感覺(jué)好像沒(méi)有。

生4：我覺(jué)得0的倒數(shù)還是0。

師：0到底有沒(méi)有倒數(shù)呢？你有辦法證明你的結(jié)論嗎？

（思考片刻后……）

生1：因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0，不可能等于1。所以0沒(méi)有倒數(shù)。

師：從倒數(shù)的意義去思考，很有說(shuō)服力。

生2：我認(rèn)為0是整數(shù)，所以0=，的倒數(shù)是，分母為0的時(shí)候，沒(méi)有意義。

師：用求倒數(shù)的方法也證明了0沒(méi)有倒數(shù)。

（教師相機(jī)板書）

【設(shè)計(jì)意圖】求1和0的倒數(shù)，沒(méi)有刻意安排，而是巧妙地穿插在輕松的練習(xí)中，學(xué)生在自主選擇時(shí)，發(fā)現(xiàn)1的倒數(shù)就是1，而對(duì)0是否有倒數(shù)產(chǎn)生疑惑，在此基礎(chǔ)上組織學(xué)生探討，順應(yīng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，可謂水到渠成。

3.回顧反思，交流總結(jié)。

師：學(xué)到這兒，咱們回頭看看學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程，一開(kāi)始的三個(gè)問(wèn)題，心中都有答案了嗎？同桌互相說(shuō)說(shuō)。

師：找到答案了嗎？還有疑問(wèn)嗎？

（學(xué)生交流分享）

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)很好地呼應(yīng)了一開(kāi)始提出的三個(gè)問(wèn)題，通過(guò)回顧，不僅梳理了知識(shí)，完善了認(rèn)知，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的元認(rèn)知意識(shí)，也使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功感。

四、鞏固練習(xí)，拓展延伸

1.將互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)用線連起來(lái)。

100

8 4

0.25

2.我來(lái)當(dāng)小法官。

（1）a和b互為倒數(shù)，所以a×b=1。（ ）

（2）因?yàn)椤?1，所以是倒數(shù)，也是倒數(shù)。

（ ）

（3）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)總比這個(gè)數(shù)小。（ ）

（4）9的倒數(shù)是。（ ）

（5）0.49的倒數(shù)是0.94。（ ）

3.先觀察下面每組數(shù)有什么共同特點(diǎn)，再看看它們的倒數(shù)有什么共同點(diǎn)。

（1）

（2）

（3） 4 9 15

（4）

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

（1）真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都是大于1的假分?jǐn)?shù)。

（2）大于1的假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都是真分?jǐn)?shù)。

（3）幾分之一的倒數(shù)都是整數(shù)。

（4）非0自然數(shù)的倒數(shù)都是幾分之一。

4.拓展延伸。

師：其實(shí)倒數(shù)的一些特點(diǎn)，還可以通過(guò)圖像清楚地表示出來(lái)。

如果用列所在的位置表示原來(lái)的數(shù)，行所在的位置表示它的倒數(shù)。我們?nèi)∫恍┨厥獾狞c(diǎn)。把這些點(diǎn)連成一條線，就形成了這樣一個(gè)倒數(shù)的圖像。

師：仔細(xì)看看，從圖中你能什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)數(shù)越來(lái)越大，它的倒數(shù)就越來(lái)越小。

師：那反過(guò)來(lái)說(shuō)呢？

生：當(dāng)一個(gè)數(shù)越來(lái)越小，它的倒數(shù)就越來(lái)越大。

師：想象一下，這時(shí)候會(huì)形成怎樣的圖像？

（學(xué)生用手勢(shì)表示圖像的大致走勢(shì)）

（出示另外半段圖像）

師：和你想的一樣嗎？

生：一樣。

師：繼續(xù)看，你能從圖像上讀出“0沒(méi)有倒數(shù)”嗎？

生1：倒數(shù)的圖像沒(méi)有經(jīng)過(guò)0這個(gè)點(diǎn)。

生2：我看到圍成的每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積都是1，如果有一條邊是0的話，就不可能組成長(zhǎng)方形了。

師：真會(huì)觀察，相信大家現(xiàn)在對(duì)倒數(shù)又有了更深的理解。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)越大，它的倒數(shù)就越小，一個(gè)數(shù)越小，它的倒數(shù)就越大。同時(shí)，從圖像中再次感受到0沒(méi)有倒數(shù)，使學(xué)生對(duì)倒數(shù)獲得更為豐富的理解。

◇責(zé)任編輯：張 瑩◇