基于觀測(cè)器的具外部擾動(dòng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的滑?？刂?/h1>
2014-10-16 07:21:28高存臣
高 超，高存臣
（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）
滑模變結(jié)構(gòu)控制的最大優(yōu)點(diǎn)是對(duì)不確定參數(shù)和外部擾動(dòng)具有不靈敏性，這一良好的性質(zhì)對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來諸多好處，因而受到控制工作者的青睞，成為設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器的主要方法之一。自從Utkin V［1］提出滑模變結(jié)構(gòu)以來，許多學(xué)者研究了滑模變結(jié)構(gòu)的性質(zhì)和設(shè)計(jì)方法。但是，目前大部分研究成果是在連續(xù)時(shí)域內(nèi)得到的。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和工業(yè)自動(dòng)化等領(lǐng)域的實(shí)際需要，表述控制系統(tǒng)的模型不但有連續(xù)模型，而且還有離散模型，這就需要研究離散控制系統(tǒng)的性質(zhì)與控制器的設(shè)計(jì)，因此用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法研究DTS的分析與設(shè)計(jì)問題具有重要的理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值。然而，由于采樣周期的影響，在連續(xù)時(shí)域內(nèi)得到的滑?？刂频哪承┬再|(zhì)卻并不適用于DTS。因此，許多學(xué)者開始研究DTS的切換流形與滑模控制器的設(shè)計(jì)方法［2－6］。
高為炳［7］提出了離散滑模控制的定義，并給出了DTS的趨近律。文獻(xiàn)［3］在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上討論了利用離散趨近律設(shè)計(jì)不確定DTS的變結(jié)構(gòu)控制問題，分析了離散趨近律造成系統(tǒng)顫振的原因，給出了改進(jìn)的離散趨近律，并利用它設(shè)計(jì)了變結(jié)構(gòu)控制律。文獻(xiàn)［8］討論了線性多變量離散不確定系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制問題，并利用全程滑動(dòng)模態(tài)的思想，通過構(gòu)造切換函數(shù)，使系統(tǒng)的狀態(tài)軌線一開始便落在切換面上，縮短了到達(dá)時(shí)間，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)［9］分別提出了積分型變結(jié)構(gòu)控制和積分型滑?？刂萍夹g(shù)。然而，在上述文獻(xiàn)中，關(guān)于控制器的設(shè)計(jì)都是在假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)的條件下完成的，但在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)假設(shè)不一定總是成立的，因此一個(gè)很自然的問題就是如何利用輸入、輸出的信息對(duì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)。文獻(xiàn)［10］針對(duì)未知輸入線性連續(xù)系統(tǒng)提出了全階觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方案。文獻(xiàn)［11］針對(duì)未知輸入線性連續(xù)系統(tǒng)提出了降階觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方案。文獻(xiàn)［12］提出了基于觀測(cè)器的MIMO連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)方案。因此，對(duì)于狀態(tài)不可觀測(cè)的DTS，如何給出切換曲面與滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)方案便是一個(gè)需要解決的問題。
本文在文獻(xiàn)［10］的基礎(chǔ)上，針對(duì)上述問題，通過對(duì)DTS設(shè)計(jì)一種改進(jìn)的狀態(tài)觀測(cè)器，研究DTS的穩(wěn)定性。并將上述結(jié)果推廣到具有擾動(dòng)的MIMO不確定DTS。改進(jìn)后的方案具有設(shè)計(jì)方便，易于應(yīng)用和收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)。然后針對(duì)外部擾動(dòng)滿足匹配條件的DTS進(jìn)行了控制器的設(shè)計(jì)。對(duì)外部擾動(dòng)采用了擾動(dòng)估計(jì)器［13］來估計(jì)擾動(dòng)的值，這樣就不需知道擾動(dòng)的上界，降低了對(duì)擾動(dòng)的要求，增強(qiáng)了實(shí)際應(yīng)用性。擾動(dòng)估計(jì)器對(duì)滿足緩時(shí)變條件［9］的擾動(dòng)的估計(jì)效果是很好的，特別是對(duì)常值擾動(dòng)，可達(dá)到理想的預(yù)期。
1 觀測(cè)器的設(shè)計(jì)
考慮如下MIMO不確定DTS
其中：x∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；u∈Rm為控制向量；fRp為外部擾動(dòng)向量；y∈Rq為系統(tǒng)的輸出向量；系數(shù)矩陣A∈Rn×n；B∈Rn×m；C∈Rq×n為已知的常值矩陣，且滿足rank（B）＝m。
對(duì)系統(tǒng)（1），作如下假設(shè)：A1）矩陣對(duì)（A，B）完全可控；A2）矩陣對(duì)（A，C）完全可觀。
現(xiàn)在，構(gòu)造系統(tǒng)（1）的觀測(cè)器如下：
其中：矩陣L∈Rn×q；E∈Rn×q；H ∈Rn×q待定；xe（k）為觀測(cè)到的狀態(tài)變量。定義
則有
如果令：
則
現(xiàn)確定矩陣H，E，L，G使得它們滿足（6）～（8）式。
首先由假設(shè)A2，（A，C）完全可觀，據(jù)對(duì)偶性原理［14］，（A′，C′）完全可控，于是存在矩陣K ，使得 具有事先給定的極點(diǎn)，此時(shí)取
其次再來確定E?？紤]如下2種情況
情形1 rank（CB）＝q，且q＝m。此時(shí)，CB可逆，
由式（8），可得
由式（7）和（11），有
由式（6）、（10）和（11），有
情形2 rank（CB）＝q，且q＜m。此時(shí)，存在非奇異矩陣Q，使得QCB＝J［］0T，其中矩陣J∈Rp×p可逆，于是可得
其中α∈ Rn×（q－p）可任意確定。
當(dāng)確定出矩陣E后，由式（7）可確定出
最后，經(jīng)過適當(dāng)選取E中的任意項(xiàng)α的元素，可確定出矩陣L。
注1 當(dāng)rank（CB）＜p時(shí)，式（8）沒有解，此時(shí)，觀測(cè)器是不存在的［10］。
注2 上述第二種情形下，通過式（14）計(jì)算E時(shí)，先不給任意項(xiàng)α賦值，然后結(jié)合式（6）和（10），適當(dāng)?shù)倪x取α，確定出矩陣L，最后再經(jīng)過式（12）確定出G。
2 滑模面設(shè)計(jì)
考慮系統(tǒng)（1）的變結(jié)構(gòu)控制問題。在變結(jié)構(gòu)控制的設(shè)計(jì)中，滑模面的設(shè)計(jì)是1個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，1個(gè)好的滑模面可以保證系統(tǒng)有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。以下，基于上述的觀測(cè)器來設(shè)計(jì)滑模面。
引理1 在假設(shè)A1的條件下，如果存在列滿秩矩陣M ∈Rm×n，使得 MB 可逆，則A－B（MB）－1MA 有m個(gè)零特征值和n－m個(gè)非零特征值。
注3 由引理1，可選擇1個(gè)列滿秩矩陣M∈Rm×n，使得MB 可逆，并且A－B（MB）－1MA 具有穩(wěn)定的極點(diǎn)［7］。
現(xiàn)在，選擇系統(tǒng)（1）的切換函數(shù)如下
考慮到狀態(tài)x（k）不可測(cè)，考察觀測(cè)器的xe（k）的狀態(tài)方程，由式（2）、（3）、（6）、（7）及（8）可得
或
可解出等效控制：
將式（20）帶入（1），可得系統(tǒng)（1）的滑模方程如下：
因此，由狀態(tài)x（k）和狀態(tài)誤差e（k）所組成的閉環(huán)系統(tǒng)可描述為
因?yàn)镸和H 的選擇分別使得A－B（MB）－1MA和A－
3 滑模穩(wěn)態(tài)分析及控制器設(shè)計(jì)
上述等效控制ueq中含有外部擾動(dòng)項(xiàng)f（k），但實(shí)際中f（k）往往是未知的，所以u(píng)eq并不能實(shí)際應(yīng)用。在對(duì)待未知外部擾動(dòng)的問題中，以往文獻(xiàn)中的控制器是按它的上下界來設(shè)計(jì)的，也就是說按最壞情況來設(shè)計(jì)的，這樣系統(tǒng)就達(dá)不到削弱抖振的目的。本段中，先分析滑動(dòng)模態(tài)的穩(wěn)定性，然后對(duì)緩時(shí)變函數(shù)f（k），采用文獻(xiàn)［13］中的單位周期延遲的方法來估計(jì)f（k），并以此來設(shè)計(jì)控制器。
此時(shí)，設(shè)計(jì)控制器如下
其中Ω＝diag（q1，…，qm）∈Rm×m為對(duì)角矩陣，滿足條件控制輸入v（k）∈Rm稍后設(shè)計(jì)。式（18）兩邊同時(shí)左乘 （MB）－1M 并將式（28）代入，得到
注4 這里只需要知道外部擾動(dòng)f（k）之差分的上界，而不要求知道f（k）的上界，即η，從而降低了對(duì)f（k）的要求。其中η是隨著采樣頻率增加而減小的。特別地，當(dāng)f（k）為常值擾動(dòng)時(shí)，則有f（k）＝f（k－1），從而就得到了f（k）的精確估計(jì)。如果f（k）不是常值擾動(dòng)，但滿足緩時(shí)變條件，那么由（29）得出的估計(jì)值也能達(dá)到精度要求。
4 數(shù)值仿真
對(duì)系統(tǒng)（1），取
圖1 狀態(tài)誤差曲線Fig.1 State error curve
圖2 狀態(tài)變化曲線Fig.2 State change curve
圖3 實(shí)際擾動(dòng)及估計(jì)擾動(dòng)曲線（放大后）Fig.3 Actual perturbation and disturbance estimation curve
圖4 系統(tǒng)輸入曲線Fig.4 System input curve
5 結(jié)語
本文改進(jìn)了文獻(xiàn)［10］中對(duì)帶有擾動(dòng)的MIMO離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器方法，改進(jìn)之后的方法計(jì)算更簡(jiǎn)單有效。并根據(jù)觀測(cè)器的狀態(tài)方程設(shè)計(jì)了原系統(tǒng)的控制器，在設(shè)計(jì)控制器的過程當(dāng)中，對(duì)滿足緩時(shí)變條件的外部擾動(dòng)采用了單位周期延遲的方法來估計(jì)擾動(dòng)項(xiàng)的值，仿真結(jié)果表明，本文中設(shè)計(jì)的方法收斂速度更快，而且有效地克服了系統(tǒng)中的抖動(dòng)現(xiàn)象。
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高 超，高存臣
（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）
滑模變結(jié)構(gòu)控制的最大優(yōu)點(diǎn)是對(duì)不確定參數(shù)和外部擾動(dòng)具有不靈敏性，這一良好的性質(zhì)對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來諸多好處，因而受到控制工作者的青睞，成為設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器的主要方法之一。自從Utkin V［1］提出滑模變結(jié)構(gòu)以來，許多學(xué)者研究了滑模變結(jié)構(gòu)的性質(zhì)和設(shè)計(jì)方法。但是，目前大部分研究成果是在連續(xù)時(shí)域內(nèi)得到的。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和工業(yè)自動(dòng)化等領(lǐng)域的實(shí)際需要，表述控制系統(tǒng)的模型不但有連續(xù)模型，而且還有離散模型，這就需要研究離散控制系統(tǒng)的性質(zhì)與控制器的設(shè)計(jì)，因此用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法研究DTS的分析與設(shè)計(jì)問題具有重要的理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值。然而，由于采樣周期的影響，在連續(xù)時(shí)域內(nèi)得到的滑?？刂频哪承┬再|(zhì)卻并不適用于DTS。因此，許多學(xué)者開始研究DTS的切換流形與滑模控制器的設(shè)計(jì)方法［2－6］。
高為炳［7］提出了離散滑模控制的定義，并給出了DTS的趨近律。文獻(xiàn)［3］在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上討論了利用離散趨近律設(shè)計(jì)不確定DTS的變結(jié)構(gòu)控制問題，分析了離散趨近律造成系統(tǒng)顫振的原因，給出了改進(jìn)的離散趨近律，并利用它設(shè)計(jì)了變結(jié)構(gòu)控制律。文獻(xiàn)［8］討論了線性多變量離散不確定系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制問題，并利用全程滑動(dòng)模態(tài)的思想，通過構(gòu)造切換函數(shù)，使系統(tǒng)的狀態(tài)軌線一開始便落在切換面上，縮短了到達(dá)時(shí)間，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)［9］分別提出了積分型變結(jié)構(gòu)控制和積分型滑?？刂萍夹g(shù)。然而，在上述文獻(xiàn)中，關(guān)于控制器的設(shè)計(jì)都是在假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)的條件下完成的，但在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)假設(shè)不一定總是成立的，因此一個(gè)很自然的問題就是如何利用輸入、輸出的信息對(duì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)。文獻(xiàn)［10］針對(duì)未知輸入線性連續(xù)系統(tǒng)提出了全階觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方案。文獻(xiàn)［11］針對(duì)未知輸入線性連續(xù)系統(tǒng)提出了降階觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方案。文獻(xiàn)［12］提出了基于觀測(cè)器的MIMO連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)方案。因此，對(duì)于狀態(tài)不可觀測(cè)的DTS，如何給出切換曲面與滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)方案便是一個(gè)需要解決的問題。
本文在文獻(xiàn)［10］的基礎(chǔ)上，針對(duì)上述問題，通過對(duì)DTS設(shè)計(jì)一種改進(jìn)的狀態(tài)觀測(cè)器，研究DTS的穩(wěn)定性。并將上述結(jié)果推廣到具有擾動(dòng)的MIMO不確定DTS。改進(jìn)后的方案具有設(shè)計(jì)方便，易于應(yīng)用和收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)。然后針對(duì)外部擾動(dòng)滿足匹配條件的DTS進(jìn)行了控制器的設(shè)計(jì)。對(duì)外部擾動(dòng)采用了擾動(dòng)估計(jì)器［13］來估計(jì)擾動(dòng)的值，這樣就不需知道擾動(dòng)的上界，降低了對(duì)擾動(dòng)的要求，增強(qiáng)了實(shí)際應(yīng)用性。擾動(dòng)估計(jì)器對(duì)滿足緩時(shí)變條件［9］的擾動(dòng)的估計(jì)效果是很好的，特別是對(duì)常值擾動(dòng)，可達(dá)到理想的預(yù)期。
1 觀測(cè)器的設(shè)計(jì)
考慮如下MIMO不確定DTS
其中：x∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；u∈Rm為控制向量；fRp為外部擾動(dòng)向量；y∈Rq為系統(tǒng)的輸出向量；系數(shù)矩陣A∈Rn×n；B∈Rn×m；C∈Rq×n為已知的常值矩陣，且滿足rank（B）＝m。
對(duì)系統(tǒng)（1），作如下假設(shè)：A1）矩陣對(duì)（A，B）完全可控；A2）矩陣對(duì)（A，C）完全可觀。
現(xiàn)在，構(gòu)造系統(tǒng)（1）的觀測(cè)器如下：
其中：矩陣L∈Rn×q；E∈Rn×q；H ∈Rn×q待定；xe（k）為觀測(cè)到的狀態(tài)變量。定義
則有
如果令：
則
現(xiàn)確定矩陣H，E，L，G使得它們滿足（6）～（8）式。
首先由假設(shè)A2，（A，C）完全可觀，據(jù)對(duì)偶性原理［14］，（A′，C′）完全可控，于是存在矩陣K ，使得 具有事先給定的極點(diǎn)，此時(shí)取
其次再來確定E?？紤]如下2種情況
情形1 rank（CB）＝q，且q＝m。此時(shí)，CB可逆，
由式（8），可得
由式（7）和（11），有
由式（6）、（10）和（11），有
情形2 rank（CB）＝q，且q＜m。此時(shí)，存在非奇異矩陣Q，使得QCB＝J［］0T，其中矩陣J∈Rp×p可逆，于是可得
其中α∈ Rn×（q－p）可任意確定。
當(dāng)確定出矩陣E后，由式（7）可確定出
最后，經(jīng)過適當(dāng)選取E中的任意項(xiàng)α的元素，可確定出矩陣L。
注1 當(dāng)rank（CB）＜p時(shí)，式（8）沒有解，此時(shí)，觀測(cè)器是不存在的［10］。
注2 上述第二種情形下，通過式（14）計(jì)算E時(shí)，先不給任意項(xiàng)α賦值，然后結(jié)合式（6）和（10），適當(dāng)?shù)倪x取α，確定出矩陣L，最后再經(jīng)過式（12）確定出G。
2 滑模面設(shè)計(jì)
考慮系統(tǒng)（1）的變結(jié)構(gòu)控制問題。在變結(jié)構(gòu)控制的設(shè)計(jì)中，滑模面的設(shè)計(jì)是1個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，1個(gè)好的滑模面可以保證系統(tǒng)有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。以下，基于上述的觀測(cè)器來設(shè)計(jì)滑模面。
引理1 在假設(shè)A1的條件下，如果存在列滿秩矩陣M ∈Rm×n，使得 MB 可逆，則A－B（MB）－1MA 有m個(gè)零特征值和n－m個(gè)非零特征值。
注3 由引理1，可選擇1個(gè)列滿秩矩陣M∈Rm×n，使得MB 可逆，并且A－B（MB）－1MA 具有穩(wěn)定的極點(diǎn)［7］。
現(xiàn)在，選擇系統(tǒng)（1）的切換函數(shù)如下
考慮到狀態(tài)x（k）不可測(cè)，考察觀測(cè)器的xe（k）的狀態(tài)方程，由式（2）、（3）、（6）、（7）及（8）可得
或
可解出等效控制：
將式（20）帶入（1），可得系統(tǒng)（1）的滑模方程如下：
因此，由狀態(tài)x（k）和狀態(tài)誤差e（k）所組成的閉環(huán)系統(tǒng)可描述為
因?yàn)镸和H 的選擇分別使得A－B（MB）－1MA和A－
3 滑模穩(wěn)態(tài)分析及控制器設(shè)計(jì)
上述等效控制ueq中含有外部擾動(dòng)項(xiàng)f（k），但實(shí)際中f（k）往往是未知的，所以u(píng)eq并不能實(shí)際應(yīng)用。在對(duì)待未知外部擾動(dòng)的問題中，以往文獻(xiàn)中的控制器是按它的上下界來設(shè)計(jì)的，也就是說按最壞情況來設(shè)計(jì)的，這樣系統(tǒng)就達(dá)不到削弱抖振的目的。本段中，先分析滑動(dòng)模態(tài)的穩(wěn)定性，然后對(duì)緩時(shí)變函數(shù)f（k），采用文獻(xiàn)［13］中的單位周期延遲的方法來估計(jì)f（k），并以此來設(shè)計(jì)控制器。
此時(shí)，設(shè)計(jì)控制器如下
其中Ω＝diag（q1，…，qm）∈Rm×m為對(duì)角矩陣，滿足條件控制輸入v（k）∈Rm稍后設(shè)計(jì)。式（18）兩邊同時(shí)左乘 （MB）－1M 并將式（28）代入，得到
注4 這里只需要知道外部擾動(dòng)f（k）之差分的上界，而不要求知道f（k）的上界，即η，從而降低了對(duì)f（k）的要求。其中η是隨著采樣頻率增加而減小的。特別地，當(dāng)f（k）為常值擾動(dòng)時(shí)，則有f（k）＝f（k－1），從而就得到了f（k）的精確估計(jì)。如果f（k）不是常值擾動(dòng)，但滿足緩時(shí)變條件，那么由（29）得出的估計(jì)值也能達(dá)到精度要求。
4 數(shù)值仿真
對(duì)系統(tǒng)（1），取
圖1 狀態(tài)誤差曲線Fig.1 State error curve
圖2 狀態(tài)變化曲線Fig.2 State change curve
圖3 實(shí)際擾動(dòng)及估計(jì)擾動(dòng)曲線（放大后）Fig.3 Actual perturbation and disturbance estimation curve
圖4 系統(tǒng)輸入曲線Fig.4 System input curve
5 結(jié)語
本文改進(jìn)了文獻(xiàn)［10］中對(duì)帶有擾動(dòng)的MIMO離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器方法，改進(jìn)之后的方法計(jì)算更簡(jiǎn)單有效。并根據(jù)觀測(cè)器的狀態(tài)方程設(shè)計(jì)了原系統(tǒng)的控制器，在設(shè)計(jì)控制器的過程當(dāng)中，對(duì)滿足緩時(shí)變條件的外部擾動(dòng)采用了單位周期延遲的方法來估計(jì)擾動(dòng)項(xiàng)的值，仿真結(jié)果表明，本文中設(shè)計(jì)的方法收斂速度更快，而且有效地克服了系統(tǒng)中的抖動(dòng)現(xiàn)象。
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