高考中的線性規(guī)劃交匯試題解析

方秦金

線性規(guī)劃的內(nèi)涵及思想方法已滲透到高中數(shù)學(xué)的各知識模塊中，是實現(xiàn)高考試題交匯命制的良好載體，近年的高考試題呈現(xiàn)了對線性規(guī)劃交匯考查的趨勢.本文例舉高考試題中線性規(guī)劃交匯試題的類型與解法，供參考.

1.與面積交匯

例1（2009安徽理）若不等式組x≥0，x+3y≥4，3x+y≤4所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+43分為面積相等的兩部分，則k的值是（ ）.

A.73 B.37 C.43 D. 34

解析不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分△ABC，

由x+3y=4，3x+y=4得A（1，1）.又B（0，4），C（0，43），

所以S△ABC=12（4-43）×1=43.設(shè)y=kx+43與3x+y=4的交點為D，則由S△BCD=12S△ABC=23=14BC·xD知xD=12，所以yD=52.

所以52=k×12+43，k=73選A.

評注本題把線性規(guī)劃與面積交匯在一起，綜合考查了線性規(guī)劃與三角形面積的知識.

2.與基本不等式交匯

例2（2009山東理）設(shè)x，y滿足約束條件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目標函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則2a+3b的最小值為（ ）.

A.256 B. 83 C.113 D. 4

解析不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當直線ax+by=z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4，6）時，目標函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，

而2a+3b=（2a+3b）2a+3b6=136+（ba+ab）≥136+2=256，故選A.

評注本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠利用基本不等式求最值.這是一種常見的交匯方式，如2010年安徽高考理科試題：設(shè)x，y滿足約束條件2x-y+2≥0，8x-y-4≤0，x≥0，y≥0，若目標函數(shù)z=abx+y（a>0，b>0）的最大值為8，則a+b的最小值為.

3.與平面向量交匯

例3（2011福建理）已知O是坐標原點，點A（-1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域x+y≥2，x≤1，y≤2上的一個動點，則

OA·OM的取值范圍是（ ）.

A.[-1，0] B.[0，1] C.

[0，2] D.[-1，2]

解析作出可行域（略），設(shè)可行域上任意一點為M（x，y），z=OA·OM=（-1，1）·（x，y）=-x+y.作直線-x+y=0并平移，當直線-x+y=z過可行域時，z的最大值為2，最小值為0，故選C.

評注本題是線性規(guī)劃與數(shù)量積的交匯.無獨有偶，2011年廣東高考理科試題：已知在平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組0≤x≤2，

y≤2，x≤2y給定.若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為（2，1），則z=OM·OA的最大值為（ ）.

A.42B.32C.4D.3

4.與斜率交匯

例4（2013山東理）在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為（ ）.

A.2 B.1

C.-13 D. -12

解析作出可行域如圖，由圖象可知當M位于點D處時，OM的斜率最小.由x+2y-1=0，3x+y-8=0得x=3，y=-1，即D（3，-1）.此時OM的斜率為-13，選C.

評注與幾何概念，如斜率、兩點間的距離交匯是線性規(guī)劃交匯的形式之一.

5.與集合交匯

例5（2013廣東理）給定區(qū)域D∶x+4y≥4，x+y≤4，x≥0.令點集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點共確定

條不同的直線.

解析畫出可行域，其中z=x+y取得最小值時的整點為（0，1），取得最大值時的整點為（0，4），（1，3），（2，2），（3，1）及（4，0）共5個整點.故可確定5+1=6條不同的直線.

評注這題本質(zhì)是線性規(guī)劃中目標函數(shù)最值問題的求法，只不過用集合的形式表達而已.

6.與拋物線交匯

例6.（ 2013江蘇）拋物線 在 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為 （包含三角形內(nèi)部與邊界）.若點 是區(qū)域 內(nèi)的任意一點，則 的取值范圍是__________.

解析：易知切線方程為： ，所以與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域三個點為 ，當直線 過C點時有最小值 ，過B點時有最大值0.5，故所求范圍是

評注：本題借用拋物線的切線與坐標軸構(gòu)成可行域，是線性規(guī)劃與圓錐曲線交匯的一種形式.

7.與函數(shù)交匯

例7.（2012陜西理）設(shè)函數(shù) ， 是由 軸和曲線 及該曲線在點 處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則 在 上的最大值為 .

解析：函數(shù) 在點 處的切線為 ，即 .所以D表示的平面區(qū)域如圖，當目標函數(shù)所表示的直線經(jīng)過點M時 有最大值，最大值為 .

評注：利用函數(shù)圖象的切線構(gòu)成可行域是實現(xiàn)線性規(guī)劃與函數(shù)交匯的基本途徑.

8.與概率交匯

例8.（2013四川理）節(jié)日里某家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，若接通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是（ ）

A. B. C. D.

解析：設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x，y，由題意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它們第一次閃亮的時候相差不超過2秒，則|x﹣y|≤2，由幾何概型可得所求概率為上述兩平面區(qū)域的面積之比，

由圖可知所求的概率為： = .故選C.

評注：兩個變量的幾何概型?？衫镁€性規(guī)劃方法解決.

總之，高考中對線性規(guī)劃的考查已從顯性轉(zhuǎn)向隱性、從單一轉(zhuǎn)向綜合，線性規(guī)劃交匯題型是高考考查的必然趨勢.

線性規(guī)劃的內(nèi)涵及思想方法已滲透到高中數(shù)學(xué)的各知識模塊中，是實現(xiàn)高考試題交匯命制的良好載體，近年的高考試題呈現(xiàn)了對線性規(guī)劃交匯考查的趨勢.本文例舉高考試題中線性規(guī)劃交匯試題的類型與解法，供參考.

1.與面積交匯

例1（2009安徽理）若不等式組x≥0，x+3y≥4，3x+y≤4所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+43分為面積相等的兩部分，則k的值是（ ）.

A.73 B.37 C.43 D. 34

解析不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分△ABC，

由x+3y=4，3x+y=4得A（1，1）.又B（0，4），C（0，43），

所以S△ABC=12（4-43）×1=43.設(shè)y=kx+43與3x+y=4的交點為D，則由S△BCD=12S△ABC=23=14BC·xD知xD=12，所以yD=52.

所以52=k×12+43，k=73選A.

評注本題把線性規(guī)劃與面積交匯在一起，綜合考查了線性規(guī)劃與三角形面積的知識.

2.與基本不等式交匯

例2（2009山東理）設(shè)x，y滿足約束條件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目標函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則2a+3b的最小值為（ ）.

A.256 B. 83 C.113 D. 4

解析不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當直線ax+by=z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4，6）時，目標函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，

而2a+3b=（2a+3b）2a+3b6=136+（ba+ab）≥136+2=256，故選A.

評注本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠利用基本不等式求最值.這是一種常見的交匯方式，如2010年安徽高考理科試題：設(shè)x，y滿足約束條件2x-y+2≥0，8x-y-4≤0，x≥0，y≥0，若目標函數(shù)z=abx+y（a>0，b>0）的最大值為8，則a+b的最小值為.

3.與平面向量交匯

例3（2011福建理）已知O是坐標原點，點A（-1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域x+y≥2，x≤1，y≤2上的一個動點，則

OA·OM的取值范圍是（ ）.

A.[-1，0] B.[0，1] C.

[0，2] D.[-1，2]

解析作出可行域（略），設(shè)可行域上任意一點為M（x，y），z=OA·OM=（-1，1）·（x，y）=-x+y.作直線-x+y=0并平移，當直線-x+y=z過可行域時，z的最大值為2，最小值為0，故選C.

評注本題是線性規(guī)劃與數(shù)量積的交匯.無獨有偶，2011年廣東高考理科試題：已知在平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組0≤x≤2，

y≤2，x≤2y給定.若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為（2，1），則z=OM·OA的最大值為（ ）.

A.42B.32C.4D.3

4.與斜率交匯

例4（2013山東理）在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為（ ）.

A.2 B.1

C.-13 D. -12

解析作出可行域如圖，由圖象可知當M位于點D處時，OM的斜率最小.由x+2y-1=0，3x+y-8=0得x=3，y=-1，即D（3，-1）.此時OM的斜率為-13，選C.

評注與幾何概念，如斜率、兩點間的距離交匯是線性規(guī)劃交匯的形式之一.

5.與集合交匯

例5（2013廣東理）給定區(qū)域D∶x+4y≥4，x+y≤4，x≥0.令點集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點共確定

條不同的直線.

解析畫出可行域，其中z=x+y取得最小值時的整點為（0，1），取得最大值時的整點為（0，4），（1，3），（2，2），（3，1）及（4，0）共5個整點.故可確定5+1=6條不同的直線.

評注這題本質(zhì)是線性規(guī)劃中目標函數(shù)最值問題的求法，只不過用集合的形式表達而已.

6.與拋物線交匯

例6.（ 2013江蘇）拋物線 在 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為 （包含三角形內(nèi)部與邊界）.若點 是區(qū)域 內(nèi)的任意一點，則 的取值范圍是__________.

解析：易知切線方程為： ，所以與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域三個點為 ，當直線 過C點時有最小值 ，過B點時有最大值0.5，故所求范圍是

評注：本題借用拋物線的切線與坐標軸構(gòu)成可行域，是線性規(guī)劃與圓錐曲線交匯的一種形式.

7.與函數(shù)交匯

例7.（2012陜西理）設(shè)函數(shù) ， 是由 軸和曲線 及該曲線在點 處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則 在 上的最大值為 .

解析：函數(shù) 在點 處的切線為 ，即 .所以D表示的平面區(qū)域如圖，當目標函數(shù)所表示的直線經(jīng)過點M時 有最大值，最大值為 .

評注：利用函數(shù)圖象的切線構(gòu)成可行域是實現(xiàn)線性規(guī)劃與函數(shù)交匯的基本途徑.

8.與概率交匯

例8.（2013四川理）節(jié)日里某家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，若接通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是（ ）

A. B. C. D.

解析：設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x，y，由題意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它們第一次閃亮的時候相差不超過2秒，則|x﹣y|≤2，由幾何概型可得所求概率為上述兩平面區(qū)域的面積之比，

由圖可知所求的概率為： = .故選C.

評注：兩個變量的幾何概型?？衫镁€性規(guī)劃方法解決.

總之，高考中對線性規(guī)劃的考查已從顯性轉(zhuǎn)向隱性、從單一轉(zhuǎn)向綜合，線性規(guī)劃交匯題型是高考考查的必然趨勢.

線性規(guī)劃的內(nèi)涵及思想方法已滲透到高中數(shù)學(xué)的各知識模塊中，是實現(xiàn)高考試題交匯命制的良好載體，近年的高考試題呈現(xiàn)了對線性規(guī)劃交匯考查的趨勢.本文例舉高考試題中線性規(guī)劃交匯試題的類型與解法，供參考.

1.與面積交匯

例1（2009安徽理）若不等式組x≥0，x+3y≥4，3x+y≤4所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+43分為面積相等的兩部分，則k的值是（ ）.

A.73 B.37 C.43 D. 34

解析不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分△ABC，

由x+3y=4，3x+y=4得A（1，1）.又B（0，4），C（0，43），

所以S△ABC=12（4-43）×1=43.設(shè)y=kx+43與3x+y=4的交點為D，則由S△BCD=12S△ABC=23=14BC·xD知xD=12，所以yD=52.

所以52=k×12+43，k=73選A.

評注本題把線性規(guī)劃與面積交匯在一起，綜合考查了線性規(guī)劃與三角形面積的知識.

2.與基本不等式交匯

例2（2009山東理）設(shè)x，y滿足約束條件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目標函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則2a+3b的最小值為（ ）.

A.256 B. 83 C.113 D. 4

解析不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當直線ax+by=z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4，6）時，目標函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，

而2a+3b=（2a+3b）2a+3b6=136+（ba+ab）≥136+2=256，故選A.

評注本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠利用基本不等式求最值.這是一種常見的交匯方式，如2010年安徽高考理科試題：設(shè)x，y滿足約束條件2x-y+2≥0，8x-y-4≤0，x≥0，y≥0，若目標函數(shù)z=abx+y（a>0，b>0）的最大值為8，則a+b的最小值為.

3.與平面向量交匯

例3（2011福建理）已知O是坐標原點，點A（-1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域x+y≥2，x≤1，y≤2上的一個動點，則

OA·OM的取值范圍是（ ）.

A.[-1，0] B.[0，1] C.

[0，2] D.[-1，2]

解析作出可行域（略），設(shè)可行域上任意一點為M（x，y），z=OA·OM=（-1，1）·（x，y）=-x+y.作直線-x+y=0并平移，當直線-x+y=z過可行域時，z的最大值為2，最小值為0，故選C.

評注本題是線性規(guī)劃與數(shù)量積的交匯.無獨有偶，2011年廣東高考理科試題：已知在平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組0≤x≤2，

y≤2，x≤2y給定.若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為（2，1），則z=OM·OA的最大值為（ ）.

A.42B.32C.4D.3

4.與斜率交匯

例4（2013山東理）在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為（ ）.

A.2 B.1

C.-13 D. -12

解析作出可行域如圖，由圖象可知當M位于點D處時，OM的斜率最小.由x+2y-1=0，3x+y-8=0得x=3，y=-1，即D（3，-1）.此時OM的斜率為-13，選C.

評注與幾何概念，如斜率、兩點間的距離交匯是線性規(guī)劃交匯的形式之一.

5.與集合交匯

例5（2013廣東理）給定區(qū)域D∶x+4y≥4，x+y≤4，x≥0.令點集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點共確定

條不同的直線.

解析畫出可行域，其中z=x+y取得最小值時的整點為（0，1），取得最大值時的整點為（0，4），（1，3），（2，2），（3，1）及（4，0）共5個整點.故可確定5+1=6條不同的直線.

評注這題本質(zhì)是線性規(guī)劃中目標函數(shù)最值問題的求法，只不過用集合的形式表達而已.

6.與拋物線交匯

例6.（ 2013江蘇）拋物線 在 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為 （包含三角形內(nèi)部與邊界）.若點 是區(qū)域 內(nèi)的任意一點，則 的取值范圍是__________.

解析：易知切線方程為： ，所以與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域三個點為 ，當直線 過C點時有最小值 ，過B點時有最大值0.5，故所求范圍是

評注：本題借用拋物線的切線與坐標軸構(gòu)成可行域，是線性規(guī)劃與圓錐曲線交匯的一種形式.

7.與函數(shù)交匯

例7.（2012陜西理）設(shè)函數(shù) ， 是由 軸和曲線 及該曲線在點 處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則 在 上的最大值為 .

解析：函數(shù) 在點 處的切線為 ，即 .所以D表示的平面區(qū)域如圖，當目標函數(shù)所表示的直線經(jīng)過點M時 有最大值，最大值為 .

評注：利用函數(shù)圖象的切線構(gòu)成可行域是實現(xiàn)線性規(guī)劃與函數(shù)交匯的基本途徑.

8.與概率交匯

例8.（2013四川理）節(jié)日里某家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，若接通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是（ ）

A. B. C. D.

解析：設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x，y，由題意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它們第一次閃亮的時候相差不超過2秒，則|x﹣y|≤2，由幾何概型可得所求概率為上述兩平面區(qū)域的面積之比，

由圖可知所求的概率為： = .故選C.

評注：兩個變量的幾何概型?？衫镁€性規(guī)劃方法解決.

總之，高考中對線性規(guī)劃的考查已從顯性轉(zhuǎn)向隱性、從單一轉(zhuǎn)向綜合，線性規(guī)劃交匯題型是高考考查的必然趨勢.