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      二次函數(shù)與絕對值函數(shù)聯(lián)姻

      2014-10-17 00:04:38楊光
      理科考試研究·高中 2014年8期
      關鍵詞:代數(shù)式對稱軸原題

      楊光

      中數(shù)參2012年第3期《一道不等式題的求解歷程》一文中,提出了一道以二次不等式為背景的題目:已知關于x的不[JP3]等式(2x-1)2

      數(shù)a的取值范圍.[JP]

      原文作者從數(shù)與形兩方面對上題進行了分析求解,綜合得出“形”在解決此題中的優(yōu)勢,隨后又就數(shù)a的幾何意義做了進一步的挖掘:|a|的大小影響了二次函數(shù)g(x)=ax2圖象的開口大小.

      研讀全文,結合實際數(shù)學情況,如果用原文“形”的辦法,需要繪制兩幅二次函數(shù)圖象,且還需要比較兩條曲線相對開口大小,學生繪圖時難免會出錯,直接影響后續(xù)的用圖求解.能否實現(xiàn)數(shù)與形更充實地融合,以期進一步提高解題效率呢?我們不妨做一番探索.

      首先,容易發(fā)現(xiàn)a值肯定大于0;其次,等價轉(zhuǎn)化為絕對值不等式:|2x-1|

      解后反思:上述解法較原文“數(shù)”上多做了一步等價轉(zhuǎn)化,而“形”中巧妙地以直代曲,可操作性更強.不妨進一步做一般化的歸納——形如y=a|x-h|+k的絕對值函數(shù),與形如y=a(x-h)2+k的二次函數(shù)在“形”上有許多相似點,他們都有相同的頂點(h,k),都有相同的對稱軸方程

      為x=h,參量a決定了圖象的開口方向及大小等,所以根據(jù)解題的不同需要完全可以進行相互模擬.

      以下給出一變題,讀者不妨再次體驗一下這種以直代曲的好處.

      變式:已知關于x的不等式(2x-a)2

      當然,由于學生對二次函數(shù)圖象性質(zhì)較熟悉,所以在解決[HJ1.5mm]絕對值函數(shù)問題時,我們又可以套用二次函數(shù)典型問題的處理辦法.

      例已知函數(shù)f(x)=|x+13-a|+2a,且0≤a≤34,當x∈[0,12]時,試求函數(shù)f(x)的最大值M(a).

      分析解決此問題的常規(guī)辦法,對絕對值內(nèi)代數(shù)式x+13-a的符號進行討論,進而去絕對值符號,但由于代數(shù)式x+13-a內(nèi)含參,討論起來十分麻煩.換個思維方向,如果能把絕對值函數(shù)y=f(x)與二次函數(shù)g(x)=[x-(a-13)]2+2a的圖象聯(lián)系起來,不覺茅塞頓開.y=f(x)的圖象有一條類似二次函數(shù)的“動”對稱軸,即直線x=a-13,而x的取值為“定”區(qū)間[0,12],且x=a-13為函數(shù)f(x)的極小值點,函數(shù)的最大值點只能出現(xiàn)在區(qū)間的兩個端點處,故可以類比于二次函數(shù)中典型的“定區(qū)間,動對稱軸”問題進行討論.

      解1.當a-13<14時,即0≤a<712時,f(x)max=f(12)=|56-a|+2a=a+56.

      2.當a-13≥14時,即712≤a≤34時,f(x)max=f(0)=|13-a|+2a=3a-13.

      綜上M(a)=a+56 (0≤a<712),3a-56 (712≤a≤34).

      通過以上的探索,我們體會到了二次函數(shù)與一類絕對值函數(shù)在“形”上有較理想的契合,可以借此進行兩種函數(shù)圖象的相互類比,從而實現(xiàn)對問題的靈活求解.

      中數(shù)參2012年第3期《一道不等式題的求解歷程》一文中,提出了一道以二次不等式為背景的題目:已知關于x的不[JP3]等式(2x-1)2

      數(shù)a的取值范圍.[JP]

      原文作者從數(shù)與形兩方面對上題進行了分析求解,綜合得出“形”在解決此題中的優(yōu)勢,隨后又就數(shù)a的幾何意義做了進一步的挖掘:|a|的大小影響了二次函數(shù)g(x)=ax2圖象的開口大小.

      研讀全文,結合實際數(shù)學情況,如果用原文“形”的辦法,需要繪制兩幅二次函數(shù)圖象,且還需要比較兩條曲線相對開口大小,學生繪圖時難免會出錯,直接影響后續(xù)的用圖求解.能否實現(xiàn)數(shù)與形更充實地融合,以期進一步提高解題效率呢?我們不妨做一番探索.

      首先,容易發(fā)現(xiàn)a值肯定大于0;其次,等價轉(zhuǎn)化為絕對值不等式:|2x-1|

      解后反思:上述解法較原文“數(shù)”上多做了一步等價轉(zhuǎn)化,而“形”中巧妙地以直代曲,可操作性更強.不妨進一步做一般化的歸納——形如y=a|x-h|+k的絕對值函數(shù),與形如y=a(x-h)2+k的二次函數(shù)在“形”上有許多相似點,他們都有相同的頂點(h,k),都有相同的對稱軸方程

      為x=h,參量a決定了圖象的開口方向及大小等,所以根據(jù)解題的不同需要完全可以進行相互模擬.

      以下給出一變題,讀者不妨再次體驗一下這種以直代曲的好處.

      變式:已知關于x的不等式(2x-a)2

      當然,由于學生對二次函數(shù)圖象性質(zhì)較熟悉,所以在解決[HJ1.5mm]絕對值函數(shù)問題時,我們又可以套用二次函數(shù)典型問題的處理辦法.

      例已知函數(shù)f(x)=|x+13-a|+2a,且0≤a≤34,當x∈[0,12]時,試求函數(shù)f(x)的最大值M(a).

      分析解決此問題的常規(guī)辦法,對絕對值內(nèi)代數(shù)式x+13-a的符號進行討論,進而去絕對值符號,但由于代數(shù)式x+13-a內(nèi)含參,討論起來十分麻煩.換個思維方向,如果能把絕對值函數(shù)y=f(x)與二次函數(shù)g(x)=[x-(a-13)]2+2a的圖象聯(lián)系起來,不覺茅塞頓開.y=f(x)的圖象有一條類似二次函數(shù)的“動”對稱軸,即直線x=a-13,而x的取值為“定”區(qū)間[0,12],且x=a-13為函數(shù)f(x)的極小值點,函數(shù)的最大值點只能出現(xiàn)在區(qū)間的兩個端點處,故可以類比于二次函數(shù)中典型的“定區(qū)間,動對稱軸”問題進行討論.

      解1.當a-13<14時,即0≤a<712時,f(x)max=f(12)=|56-a|+2a=a+56.

      2.當a-13≥14時,即712≤a≤34時,f(x)max=f(0)=|13-a|+2a=3a-13.

      綜上M(a)=a+56 (0≤a<712),3a-56 (712≤a≤34).

      通過以上的探索,我們體會到了二次函數(shù)與一類絕對值函數(shù)在“形”上有較理想的契合,可以借此進行兩種函數(shù)圖象的相互類比,從而實現(xiàn)對問題的靈活求解.

      中數(shù)參2012年第3期《一道不等式題的求解歷程》一文中,提出了一道以二次不等式為背景的題目:已知關于x的不[JP3]等式(2x-1)2

      數(shù)a的取值范圍.[JP]

      原文作者從數(shù)與形兩方面對上題進行了分析求解,綜合得出“形”在解決此題中的優(yōu)勢,隨后又就數(shù)a的幾何意義做了進一步的挖掘:|a|的大小影響了二次函數(shù)g(x)=ax2圖象的開口大小.

      研讀全文,結合實際數(shù)學情況,如果用原文“形”的辦法,需要繪制兩幅二次函數(shù)圖象,且還需要比較兩條曲線相對開口大小,學生繪圖時難免會出錯,直接影響后續(xù)的用圖求解.能否實現(xiàn)數(shù)與形更充實地融合,以期進一步提高解題效率呢?我們不妨做一番探索.

      首先,容易發(fā)現(xiàn)a值肯定大于0;其次,等價轉(zhuǎn)化為絕對值不等式:|2x-1|

      解后反思:上述解法較原文“數(shù)”上多做了一步等價轉(zhuǎn)化,而“形”中巧妙地以直代曲,可操作性更強.不妨進一步做一般化的歸納——形如y=a|x-h|+k的絕對值函數(shù),與形如y=a(x-h)2+k的二次函數(shù)在“形”上有許多相似點,他們都有相同的頂點(h,k),都有相同的對稱軸方程

      為x=h,參量a決定了圖象的開口方向及大小等,所以根據(jù)解題的不同需要完全可以進行相互模擬.

      以下給出一變題,讀者不妨再次體驗一下這種以直代曲的好處.

      變式:已知關于x的不等式(2x-a)2

      當然,由于學生對二次函數(shù)圖象性質(zhì)較熟悉,所以在解決[HJ1.5mm]絕對值函數(shù)問題時,我們又可以套用二次函數(shù)典型問題的處理辦法.

      例已知函數(shù)f(x)=|x+13-a|+2a,且0≤a≤34,當x∈[0,12]時,試求函數(shù)f(x)的最大值M(a).

      分析解決此問題的常規(guī)辦法,對絕對值內(nèi)代數(shù)式x+13-a的符號進行討論,進而去絕對值符號,但由于代數(shù)式x+13-a內(nèi)含參,討論起來十分麻煩.換個思維方向,如果能把絕對值函數(shù)y=f(x)與二次函數(shù)g(x)=[x-(a-13)]2+2a的圖象聯(lián)系起來,不覺茅塞頓開.y=f(x)的圖象有一條類似二次函數(shù)的“動”對稱軸,即直線x=a-13,而x的取值為“定”區(qū)間[0,12],且x=a-13為函數(shù)f(x)的極小值點,函數(shù)的最大值點只能出現(xiàn)在區(qū)間的兩個端點處,故可以類比于二次函數(shù)中典型的“定區(qū)間,動對稱軸”問題進行討論.

      解1.當a-13<14時,即0≤a<712時,f(x)max=f(12)=|56-a|+2a=a+56.

      2.當a-13≥14時,即712≤a≤34時,f(x)max=f(0)=|13-a|+2a=3a-13.

      綜上M(a)=a+56 (0≤a<712),3a-56 (712≤a≤34).

      通過以上的探索,我們體會到了二次函數(shù)與一類絕對值函數(shù)在“形”上有較理想的契合,可以借此進行兩種函數(shù)圖象的相互類比,從而實現(xiàn)對問題的靈活求解.

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