0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+4b2-c=0,且使|2a+b|最大時(shí),3a-4b+5c的最小值為.本題雖是一道填空題,卻別有洞天,考查了函數(shù)與方程、不等式的綜合應(yīng)用等知識(shí).試題設(shè)計(jì)新穎,區(qū)分度高,學(xué)生普遍感到難以下手.因?yàn)閺臈l件來看,它包含兩部分,一個(gè)多元方程及一個(gè)絕對(duì)值問題,考生很"/>
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      多視角審視全方位探究

      2014-10-21 16:34黃麗生朱信富
      關(guān)鍵詞:通法最值變式

      黃麗生+朱信富

      題目對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+4b2-c=0,且使|2a+b|最大時(shí),3a-4b+5c的最小值為.

      本題雖是一道填空題,卻別有洞天,考查了函數(shù)與方程、不等式的綜合應(yīng)用等知識(shí).試題設(shè)計(jì)新穎,區(qū)分度高,學(xué)生普遍感到難以下手.因?yàn)閺臈l件來看,它包含兩部分,一個(gè)多元方程及一個(gè)絕對(duì)值問題,考生很難發(fā)現(xiàn)到底考的是哪一塊知識(shí).本題實(shí)質(zhì)上是根據(jù)|2a+b|最大時(shí)所滿足的條件,把一個(gè)三元函數(shù)一元化,這是處理多元函數(shù)的常規(guī)方法,關(guān)鍵是怎么找到滿足的條件.可見,試題“暗藏”著一定的潛在價(jià)值,需要我們?nèi)ヌ剿靼l(fā)現(xiàn),做一番研究.

      視角一不等式法

      思路1(運(yùn)用向量)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得34a2+3b2-2a+b2=2c①,令m=(2a,3b),n=(1,33),由m·n2≤m2·n2,得2a+b2≤4a2+3b21+13②,即2c≥542a+b2,所以2a+bmax=85c,當(dāng)且僅當(dāng)m,n共線,即2a=3b時(shí),等號(hào)成立,將2a=3b帶入條件:4a2-2ab+4b2-c=0,得c=10b2,于是3a-4b+5c可轉(zhuǎn)化為b的函數(shù),即3a-4b+5c=121b-22-2≥-2,所以當(dāng)b=12時(shí),3a-4b+5c的最小值為-2,此時(shí)a=34,c=52.

      點(diǎn)評(píng)對(duì)條件方程的變形有很多種,比如,將條件轉(zhuǎn)化成34a2+3b2-2a+b2=2c,下一步該怎么走,應(yīng)該有一個(gè)目標(biāo)才行,要尋找|2a+b|最大值,需要建立4a2+3b2與2a+b2的不等關(guān)系,此時(shí)可以考慮使用向量中的不等式來建立,等號(hào)成立的條件,恰好是m,n共線,即2a=3b時(shí),下面的問題就簡單了.可見,抓住問題的關(guān)鍵,才能產(chǎn)生一個(gè)優(yōu)美、漂亮的解法.

      思路2(運(yùn)用柯西不等式)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=2a-b22+5332b2,由柯西不等式,得

      2a-b22+533b221+35≥

      2a-b2+32b2=2a+b2,所以2a+bmax=85c,當(dāng)且僅當(dāng)2a-b23b2=53時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)2a=3b,下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)柯西不等式是人教A版選修45中的內(nèi)容,運(yùn)用二維柯西不等式,通??梢匝杆僮C明不等式或建立一些不等關(guān)系.比如本題配方后,下一步怎么辦?c=2a-b22+5332b2,這種平方和的形式,結(jié)構(gòu)上是否可以使用柯西不等式,實(shí)現(xiàn)“等”與“不等”的轉(zhuǎn)化?以上兩種解法,異曲同工,令人賞心悅目,這種“高屋建瓴”的解題途徑體現(xiàn)了較高的思維品質(zhì).

      思路3(運(yùn)用基本不等式)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=2a-b22+5332b2.

      由基本不等式,得

      2a-b22+58c≥258c2a-b2,①

      5332b2+38c≥258c32b,②

      ①+②,得2c≥258c2a-b2+3b2≥

      258c2a-b2+32b,當(dāng)且僅當(dāng)①、②中的等號(hào)同時(shí)成立時(shí)等號(hào)成立,即2a-b2533b2=53,化簡得2a=3b時(shí)|2a+b|max=58c,下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)從本題解法可以看出,對(duì)條件的轉(zhuǎn)化,等同于思路2,接下來利用有效增設(shè),使用基本不等式,建立兩個(gè)不等式,然后通過疊加、利用絕對(duì)值性質(zhì)放縮,求出|2a+b|的最大值,同時(shí)也找到了|2a+b|達(dá)到最大時(shí)所滿足的條件.解法仍然屬于通法,但對(duì)不等式的應(yīng)用提出了更高的要求,有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S,拓展其視野.

      思路4(運(yùn)用基本不等式)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=2a+b2-3b2a-b,

      3b2a-b=32·2b·2a-b≤322b+2a-b22=382a+b2,

      所以c≥582a+b2,當(dāng)且僅當(dāng)2b=2a-b,即2a=3b時(shí)等號(hào)成立,下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)從解法看到,對(duì)條件“4a2-2ab+4b2-c=0”的不同配方形式,導(dǎo)致解法的多樣化.新解法的出現(xiàn),根源在于對(duì)題目結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的提高,實(shí)際上是對(duì)思路3解法的改進(jìn),由兩次使用基本不等式減少為一次使用基本不等式,大大縮短了解題的長度.

      視角二減元法

      思路5(對(duì)方程配方減元)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=582a+b2+382a-3b2,

      所以2a+b2=85c-382a-3b2≤85c,所以2a+bmax=85c,當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時(shí),等號(hào)成立;下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)從解法看出,三元最值問題的常規(guī)手段,就是“三元?dú)w一”,同樣是對(duì)方程配方,但變形的方法仍然有別于前面三種解法,不僅快速求出|2a+b|的最大值,而且也找到了其達(dá)到最值時(shí)所滿足的條件.正是因?yàn)闂l件的不同變形形式,才導(dǎo)致了解法的多樣性,靈活性.可見,該試題立意之深,背景之妙,讓人感覺不漏痕跡,唯有很強(qiáng)的思維洞察力,方可識(shí)破玄機(jī).用簡單的方法說明深刻的道理,才是數(shù)學(xué)之精髓.

      思路6(利用判別式減元)

      令m=2a+b,所以b=m-2a,帶入條件4a2-2ab+4b2-c=0,

      得24a2-8ma+4m2-c=0,所以Δ=-60m2+96c≥0,

      所以m2≤85c,即2a+bmax=85c,又4a2-2ab+4b2=c,所以2a=3b.

      下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)這是最初的基本解法,考生也最容易想到,但與前面的四種方法相比較,它只能先得到|2a+b|的最大值,然后再結(jié)合條件等式,才能發(fā)現(xiàn)其達(dá)到最值時(shí)所滿足的條件,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)減元.從解法可以看到,其中少一些技巧,多一點(diǎn)自然,水到渠成的解題過程,常常源自思維方法上的質(zhì)樸.

      思路7(利用齊次式減元)

      令a=bt,則4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=4t2+4t+14t2-2t+4=6t-34t2-2t+4+1,令λ=t-12,

      所以4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=6t-34t2-2t+4+1=6λ4λ2+2λ+4+1=64λ+4λ+2+1≤85

      當(dāng)且僅當(dāng)λ=t-12=1,即t=32時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)2a=3b,下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)此解法精妙之處在于將已知兩個(gè)條件完美地融合在一起,考慮將|2a+b|平方后,它與條件方程中的“4a2-2ab+4b2”都是齊次式,然后再利用換元法,將其轉(zhuǎn)化為運(yùn)用均值不等式求最值問題,這是基于代數(shù)式中各個(gè)部分和整體間的關(guān)系,重新顯現(xiàn)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)之美,構(gòu)思精巧,不僅收獲了|2a+b|的最大值,而且順利找到了其達(dá)到最大值時(shí)所滿足的條件,使得解法流暢、自然,能有效地考查學(xué)生觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化問題的能力.

      思路8(直接減元)

      直接令a=bt,把a(bǔ)=bt帶入條件4a2-2ab+4b2-c=0,整理得b2=c4t2-2t+4,

      所以|2a+b|=|2t+1b|=4t2+4t+1b2=6t-34t2-2t+4+1c,下同解法7.

      點(diǎn)評(píng)對(duì)于多元函數(shù)的最值求解問題,解題的關(guān)鍵在于能否成功減元,本題應(yīng)該預(yù)測到當(dāng)|2a+b|達(dá)到最大值時(shí),a,b,c之間某兩個(gè)變元應(yīng)該有一個(gè)關(guān)系,這樣再結(jié)合條件方程,就可以順利實(shí)現(xiàn)減元,故直接令a=bt.教師在引導(dǎo)學(xué)生解答問題時(shí)要注重一般思路,即通性通法.中學(xué)生應(yīng)掌握的通性通法是:具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)的解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法,在解決問題時(shí),應(yīng)突出通性通法在問題解答中的主體性.

      視角三換元法

      思路9(變量代換)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=2a-b22+152b2,令x′=2a-b2

      y′=152b,所以

      原等式轉(zhuǎn)化為x′2+y′2=c2,

      設(shè)z=2a+b=2a-b2+3b2=x′+32215y′=x′+155y′,顯然當(dāng)直線z=x′+155y′與圓x′2+y′2=c2相切時(shí),|z|最大,即c=zmax12+1552,所以zmax=85c,即

      2a+b=85c,兩邊平方,結(jié)合4a2-2ab+4b2-c=0,可得2a=3b,下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)本解法對(duì)方程的配方有別于前面,但考慮運(yùn)用變量代換法,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螁栴}了,帶有絕對(duì)值的二元函數(shù),瞬間變成了一個(gè)學(xué)生很熟悉的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題.在解題上,這就是我們常說的模式識(shí)別,用幾何問題處理代數(shù)問題,這是高中數(shù)學(xué)重要的方法之一,在教學(xué)中忽視這樣的通性通法,顯然是不夠恰當(dāng)?shù)?真可謂一法一個(gè)境界,每種解法都彰顯理性的力量.

      思路10(三角代換)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=2a-b22+152b2,考慮三角代換,

      令2a-b2=ccost,

      152b=csint,從而2a+b=ccost+35sint=c1+35sint+φ,若要|2a+b|最大,只需t+φ=π2,其中,sinφ=58,cosφ=38,從而sint=38,cost=58,

      所以2a+bmax=85c,又4a2-2ab+4b2=c,所以2a=3b.下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)本題對(duì)方程的變形同思路9,但這次使用的是三角代換,這也是學(xué)生常用的一種解題方法.以上兩種代換方法,雖然在解題的過程中只得到了|2a+b|的最大值,但在沒有找到其它好的解法前,這是一個(gè)毋庸置疑的好主意.因?yàn)?,這兩種解法接地氣,常規(guī)思路,正統(tǒng)本份,學(xué)生最容易接受.波利亞指出:“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半,而更重要的是解題之后的回顧與反思.”只要教師善于引導(dǎo),學(xué)生的解題能力就會(huì)提高.

      視角四構(gòu)造法

      圖1

      思路11(構(gòu)造三角形)由條件4a2-2ab+4b2-c=0,

      得c2=2a2-2·2a·2b·14+2b2,于是,構(gòu)造三角形ABC,如圖1,其中AB=2b,AC=2a,cosα=14,再由csinα=2asinθ=2bsinα+θ,

      得2a+b=c2915sinθ+cosθ=85csinα+θ≤85c,

      所以2a+bmax=85c,又4a2-2ab+4b2=c,所以2a=3b.下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)這是筆者在解題過程中,誘發(fā)的另一個(gè)解題念頭,因?yàn)闂l件等式類似于余弦定理,聯(lián)想到運(yùn)用構(gòu)造法解決該題,構(gòu)造法的關(guān)鍵在于審時(shí)度勢,積極展開想象,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).本題正、余弦定理以及三角函數(shù)式的變換,都是基本知識(shí),沒有什么技巧在里面.美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說:“如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”,大家不妨去體驗(yàn)一下.

      思路12(構(gòu)造直線)

      圖2

      由條件4a2-2ab+4b2-c=0,

      可得2c=34a2+3b2-2a+b2,顯然,要尋找4a2+3b2與2a+b2的不等關(guān)系,于是構(gòu)造直線l:x+13y=0外一點(diǎn)P2a,3b到直線l的距離PM不大于PO(如圖2),即PO2≥PM2,得4a2+3b2≥2a+3b×131+132,即2a+b2≤434a2+3b2.等號(hào)在點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)取到,此時(shí)PO⊥l,即kPO·kl=-1,3b2a×-3=-1,化簡得2a=3b.下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)波利亞曾說過,“對(duì)于一個(gè)非幾何問題,去找一個(gè)清晰的幾何表達(dá)式,可能是走向解答的重要一步”.此解法對(duì)方程的配方形式,雖然可以使用柯西不等式解決,但充分挖掘代數(shù)不等式的幾何背景,構(gòu)造適當(dāng)幾何圖形,常??梢允盏揭庀氩坏降慕忸}效果,同時(shí)也可培養(yǎng)我們的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思想的能力.

      為了更好地掌握上述解題方法,筆者給出如下變式題目:

      變式1對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+b2-c=0,且使|2a+b|最大時(shí),1a+2b+4c的最小值為.

      變式2對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+b2-c=0,且使|2a+b|最大時(shí),a+2b-4c的最大值為.

      變式3設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-3ab+4b2-c=0,則當(dāng)abc取得最大值時(shí),2a+1b-2c的最大值為.

      變式4設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-3ab+4b2-c=0,則當(dāng)cab取得最小值時(shí),a+2b-c的最大值為.

      (答案:(1)-1;(2)2564;(3)1;(4)2)

      一道填空壓軸題,創(chuàng)新意識(shí)濃厚.打破常規(guī)根據(jù)已知條件(方程)求函數(shù)的最值,而是把一個(gè)最值當(dāng)作條件,求三元函數(shù)的最值問題.該題的編擬思想體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)理念和教材的設(shè)計(jì)意圖,簡樸中顯特色,平凡中見真諦,提高了考生觀察思辨的能力,提升了本題的考試功能與選拔功能.很有開發(fā)的價(jià)值,無疑是一道經(jīng)典之作.

      本題雖小,但入口寬,解法具有開放性,橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同,因?yàn)橹埸c(diǎn)不同,解題的方式方法不同,效果也就大不相同.并且每種方法所用到的知識(shí)比較基礎(chǔ),不偏不怪,但要想拿到滿分,須具備較強(qiáng)的思維能力和分析問題、解決問題的能力,彰顯了“由知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意”的命題理念.試題內(nèi)涵豐富、思想深刻,將知識(shí)內(nèi)容和等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元法、向量法等數(shù)學(xué)思想方法融為一體,讓人感覺平凡中出新意,有滋味、有嚼頭、有厚度.此題啟示我們,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系,突出數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、提煉和滲透;注重思維探究,突出培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)新問題的選擇應(yīng)變能力和分析、解決問題的能力.

      令a=bt,則4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=4t2+4t+14t2-2t+4=6t-34t2-2t+4+1,令λ=t-12,

      所以4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=6t-34t2-2t+4+1=6λ4λ2+2λ+4+1=64λ+4λ+2+1≤85

      當(dāng)且僅當(dāng)λ=t-12=1,即t=32時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)2a=3b,下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)此解法精妙之處在于將已知兩個(gè)條件完美地融合在一起,考慮將|2a+b|平方后,它與條件方程中的“4a2-2ab+4b2”都是齊次式,然后再利用換元法,將其轉(zhuǎn)化為運(yùn)用均值不等式求最值問題,這是基于代數(shù)式中各個(gè)部分和整體間的關(guān)系,重新顯現(xiàn)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)之美,構(gòu)思精巧,不僅收獲了|2a+b|的最大值,而且順利找到了其達(dá)到最大值時(shí)所滿足的條件,使得解法流暢、自然,能有效地考查學(xué)生觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化問題的能力.

      思路8(直接減元)

      直接令a=bt,把a(bǔ)=bt帶入條件4a2-2ab+4b2-c=0,整理得b2=c4t2-2t+4,

      所以|2a+b|=|2t+1b|=4t2+4t+1b2=6t-34t2-2t+4+1c,下同解法7.

      點(diǎn)評(píng)對(duì)于多元函數(shù)的最值求解問題,解題的關(guān)鍵在于能否成功減元,本題應(yīng)該預(yù)測到當(dāng)|2a+b|達(dá)到最大值時(shí),a,b,c之間某兩個(gè)變元應(yīng)該有一個(gè)關(guān)系,這樣再結(jié)合條件方程,就可以順利實(shí)現(xiàn)減元,故直接令a=bt.教師在引導(dǎo)學(xué)生解答問題時(shí)要注重一般思路,即通性通法.中學(xué)生應(yīng)掌握的通性通法是:具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)的解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法,在解決問題時(shí),應(yīng)突出通性通法在問題解答中的主體性.

      視角三換元法

      思路9(變量代換)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=2a-b22+152b2,令x′=2a-b2

      y′=152b,所以

      原等式轉(zhuǎn)化為x′2+y′2=c2,

      設(shè)z=2a+b=2a-b2+3b2=x′+32215y′=x′+155y′,顯然當(dāng)直線z=x′+155y′與圓x′2+y′2=c2相切時(shí),|z|最大,即c=zmax12+1552,所以zmax=85c,即

      2a+b=85c,兩邊平方,結(jié)合4a2-2ab+4b2-c=0,可得2a=3b,下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)本解法對(duì)方程的配方有別于前面,但考慮運(yùn)用變量代換法,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螁栴}了,帶有絕對(duì)值的二元函數(shù),瞬間變成了一個(gè)學(xué)生很熟悉的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題.在解題上,這就是我們常說的模式識(shí)別,用幾何問題處理代數(shù)問題,這是高中數(shù)學(xué)重要的方法之一,在教學(xué)中忽視這樣的通性通法,顯然是不夠恰當(dāng)?shù)?真可謂一法一個(gè)境界,每種解法都彰顯理性的力量.

      思路10(三角代換)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=2a-b22+152b2,考慮三角代換,

      令2a-b2=ccost,

      152b=csint,從而2a+b=ccost+35sint=c1+35sint+φ,若要|2a+b|最大,只需t+φ=π2,其中,sinφ=58,cosφ=38,從而sint=38,cost=58,

      所以2a+bmax=85c,又4a2-2ab+4b2=c,所以2a=3b.下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)本題對(duì)方程的變形同思路9,但這次使用的是三角代換,這也是學(xué)生常用的一種解題方法.以上兩種代換方法,雖然在解題的過程中只得到了|2a+b|的最大值,但在沒有找到其它好的解法前,這是一個(gè)毋庸置疑的好主意.因?yàn)?,這兩種解法接地氣,常規(guī)思路,正統(tǒng)本份,學(xué)生最容易接受.波利亞指出:“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半,而更重要的是解題之后的回顧與反思.”只要教師善于引導(dǎo),學(xué)生的解題能力就會(huì)提高.

      視角四構(gòu)造法

      圖1

      思路11(構(gòu)造三角形)由條件4a2-2ab+4b2-c=0,

      得c2=2a2-2·2a·2b·14+2b2,于是,構(gòu)造三角形ABC,如圖1,其中AB=2b,AC=2a,cosα=14,再由csinα=2asinθ=2bsinα+θ,

      得2a+b=c2915sinθ+cosθ=85csinα+θ≤85c,

      所以2a+bmax=85c,又4a2-2ab+4b2=c,所以2a=3b.下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)這是筆者在解題過程中,誘發(fā)的另一個(gè)解題念頭,因?yàn)闂l件等式類似于余弦定理,聯(lián)想到運(yùn)用構(gòu)造法解決該題,構(gòu)造法的關(guān)鍵在于審時(shí)度勢,積極展開想象,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).本題正、余弦定理以及三角函數(shù)式的變換,都是基本知識(shí),沒有什么技巧在里面.美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說:“如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”,大家不妨去體驗(yàn)一下.

      思路12(構(gòu)造直線)

      圖2

      由條件4a2-2ab+4b2-c=0,

      可得2c=34a2+3b2-2a+b2,顯然,要尋找4a2+3b2與2a+b2的不等關(guān)系,于是構(gòu)造直線l:x+13y=0外一點(diǎn)P2a,3b到直線l的距離PM不大于PO(如圖2),即PO2≥PM2,得4a2+3b2≥2a+3b×131+132,即2a+b2≤434a2+3b2.等號(hào)在點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)取到,此時(shí)PO⊥l,即kPO·kl=-1,3b2a×-3=-1,化簡得2a=3b.下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)波利亞曾說過,“對(duì)于一個(gè)非幾何問題,去找一個(gè)清晰的幾何表達(dá)式,可能是走向解答的重要一步”.此解法對(duì)方程的配方形式,雖然可以使用柯西不等式解決,但充分挖掘代數(shù)不等式的幾何背景,構(gòu)造適當(dāng)幾何圖形,常??梢允盏揭庀氩坏降慕忸}效果,同時(shí)也可培養(yǎng)我們的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思想的能力.

      為了更好地掌握上述解題方法,筆者給出如下變式題目:

      變式1對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+b2-c=0,且使|2a+b|最大時(shí),1a+2b+4c的最小值為.

      變式2對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+b2-c=0,且使|2a+b|最大時(shí),a+2b-4c的最大值為.

      變式3設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-3ab+4b2-c=0,則當(dāng)abc取得最大值時(shí),2a+1b-2c的最大值為.

      變式4設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-3ab+4b2-c=0,則當(dāng)cab取得最小值時(shí),a+2b-c的最大值為.

      (答案:(1)-1;(2)2564;(3)1;(4)2)

      一道填空壓軸題,創(chuàng)新意識(shí)濃厚.打破常規(guī)根據(jù)已知條件(方程)求函數(shù)的最值,而是把一個(gè)最值當(dāng)作條件,求三元函數(shù)的最值問題.該題的編擬思想體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)理念和教材的設(shè)計(jì)意圖,簡樸中顯特色,平凡中見真諦,提高了考生觀察思辨的能力,提升了本題的考試功能與選拔功能.很有開發(fā)的價(jià)值,無疑是一道經(jīng)典之作.

      本題雖小,但入口寬,解法具有開放性,橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同,因?yàn)橹埸c(diǎn)不同,解題的方式方法不同,效果也就大不相同.并且每種方法所用到的知識(shí)比較基礎(chǔ),不偏不怪,但要想拿到滿分,須具備較強(qiáng)的思維能力和分析問題、解決問題的能力,彰顯了“由知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意”的命題理念.試題內(nèi)涵豐富、思想深刻,將知識(shí)內(nèi)容和等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元法、向量法等數(shù)學(xué)思想方法融為一體,讓人感覺平凡中出新意,有滋味、有嚼頭、有厚度.此題啟示我們,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系,突出數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、提煉和滲透;注重思維探究,突出培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)新問題的選擇應(yīng)變能力和分析、解決問題的能力.

      令a=bt,則4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=4t2+4t+14t2-2t+4=6t-34t2-2t+4+1,令λ=t-12,

      所以4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=6t-34t2-2t+4+1=6λ4λ2+2λ+4+1=64λ+4λ+2+1≤85

      當(dāng)且僅當(dāng)λ=t-12=1,即t=32時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)2a=3b,下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)此解法精妙之處在于將已知兩個(gè)條件完美地融合在一起,考慮將|2a+b|平方后,它與條件方程中的“4a2-2ab+4b2”都是齊次式,然后再利用換元法,將其轉(zhuǎn)化為運(yùn)用均值不等式求最值問題,這是基于代數(shù)式中各個(gè)部分和整體間的關(guān)系,重新顯現(xiàn)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)之美,構(gòu)思精巧,不僅收獲了|2a+b|的最大值,而且順利找到了其達(dá)到最大值時(shí)所滿足的條件,使得解法流暢、自然,能有效地考查學(xué)生觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化問題的能力.

      思路8(直接減元)

      直接令a=bt,把a(bǔ)=bt帶入條件4a2-2ab+4b2-c=0,整理得b2=c4t2-2t+4,

      所以|2a+b|=|2t+1b|=4t2+4t+1b2=6t-34t2-2t+4+1c,下同解法7.

      點(diǎn)評(píng)對(duì)于多元函數(shù)的最值求解問題,解題的關(guān)鍵在于能否成功減元,本題應(yīng)該預(yù)測到當(dāng)|2a+b|達(dá)到最大值時(shí),a,b,c之間某兩個(gè)變元應(yīng)該有一個(gè)關(guān)系,這樣再結(jié)合條件方程,就可以順利實(shí)現(xiàn)減元,故直接令a=bt.教師在引導(dǎo)學(xué)生解答問題時(shí)要注重一般思路,即通性通法.中學(xué)生應(yīng)掌握的通性通法是:具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)的解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法,在解決問題時(shí),應(yīng)突出通性通法在問題解答中的主體性.

      視角三換元法

      思路9(變量代換)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=2a-b22+152b2,令x′=2a-b2

      y′=152b,所以

      原等式轉(zhuǎn)化為x′2+y′2=c2,

      設(shè)z=2a+b=2a-b2+3b2=x′+32215y′=x′+155y′,顯然當(dāng)直線z=x′+155y′與圓x′2+y′2=c2相切時(shí),|z|最大,即c=zmax12+1552,所以zmax=85c,即

      2a+b=85c,兩邊平方,結(jié)合4a2-2ab+4b2-c=0,可得2a=3b,下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)本解法對(duì)方程的配方有別于前面,但考慮運(yùn)用變量代換法,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螁栴}了,帶有絕對(duì)值的二元函數(shù),瞬間變成了一個(gè)學(xué)生很熟悉的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題.在解題上,這就是我們常說的模式識(shí)別,用幾何問題處理代數(shù)問題,這是高中數(shù)學(xué)重要的方法之一,在教學(xué)中忽視這樣的通性通法,顯然是不夠恰當(dāng)?shù)?真可謂一法一個(gè)境界,每種解法都彰顯理性的力量.

      思路10(三角代換)

      由4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=2a-b22+152b2,考慮三角代換,

      令2a-b2=ccost,

      152b=csint,從而2a+b=ccost+35sint=c1+35sint+φ,若要|2a+b|最大,只需t+φ=π2,其中,sinφ=58,cosφ=38,從而sint=38,cost=58,

      所以2a+bmax=85c,又4a2-2ab+4b2=c,所以2a=3b.下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)本題對(duì)方程的變形同思路9,但這次使用的是三角代換,這也是學(xué)生常用的一種解題方法.以上兩種代換方法,雖然在解題的過程中只得到了|2a+b|的最大值,但在沒有找到其它好的解法前,這是一個(gè)毋庸置疑的好主意.因?yàn)?,這兩種解法接地氣,常規(guī)思路,正統(tǒng)本份,學(xué)生最容易接受.波利亞指出:“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半,而更重要的是解題之后的回顧與反思.”只要教師善于引導(dǎo),學(xué)生的解題能力就會(huì)提高.

      視角四構(gòu)造法

      圖1

      思路11(構(gòu)造三角形)由條件4a2-2ab+4b2-c=0,

      得c2=2a2-2·2a·2b·14+2b2,于是,構(gòu)造三角形ABC,如圖1,其中AB=2b,AC=2a,cosα=14,再由csinα=2asinθ=2bsinα+θ,

      得2a+b=c2915sinθ+cosθ=85csinα+θ≤85c,

      所以2a+bmax=85c,又4a2-2ab+4b2=c,所以2a=3b.下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)這是筆者在解題過程中,誘發(fā)的另一個(gè)解題念頭,因?yàn)闂l件等式類似于余弦定理,聯(lián)想到運(yùn)用構(gòu)造法解決該題,構(gòu)造法的關(guān)鍵在于審時(shí)度勢,積極展開想象,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).本題正、余弦定理以及三角函數(shù)式的變換,都是基本知識(shí),沒有什么技巧在里面.美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說:“如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”,大家不妨去體驗(yàn)一下.

      思路12(構(gòu)造直線)

      圖2

      由條件4a2-2ab+4b2-c=0,

      可得2c=34a2+3b2-2a+b2,顯然,要尋找4a2+3b2與2a+b2的不等關(guān)系,于是構(gòu)造直線l:x+13y=0外一點(diǎn)P2a,3b到直線l的距離PM不大于PO(如圖2),即PO2≥PM2,得4a2+3b2≥2a+3b×131+132,即2a+b2≤434a2+3b2.等號(hào)在點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)取到,此時(shí)PO⊥l,即kPO·kl=-1,3b2a×-3=-1,化簡得2a=3b.下同解法1.

      點(diǎn)評(píng)波利亞曾說過,“對(duì)于一個(gè)非幾何問題,去找一個(gè)清晰的幾何表達(dá)式,可能是走向解答的重要一步”.此解法對(duì)方程的配方形式,雖然可以使用柯西不等式解決,但充分挖掘代數(shù)不等式的幾何背景,構(gòu)造適當(dāng)幾何圖形,常常可以收到意想不到的解題效果,同時(shí)也可培養(yǎng)我們的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思想的能力.

      為了更好地掌握上述解題方法,筆者給出如下變式題目:

      變式1對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+b2-c=0,且使|2a+b|最大時(shí),1a+2b+4c的最小值為.

      變式2對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+b2-c=0,且使|2a+b|最大時(shí),a+2b-4c的最大值為.

      變式3設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-3ab+4b2-c=0,則當(dāng)abc取得最大值時(shí),2a+1b-2c的最大值為.

      變式4設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-3ab+4b2-c=0,則當(dāng)cab取得最小值時(shí),a+2b-c的最大值為.

      (答案:(1)-1;(2)2564;(3)1;(4)2)

      一道填空壓軸題,創(chuàng)新意識(shí)濃厚.打破常規(guī)根據(jù)已知條件(方程)求函數(shù)的最值,而是把一個(gè)最值當(dāng)作條件,求三元函數(shù)的最值問題.該題的編擬思想體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)理念和教材的設(shè)計(jì)意圖,簡樸中顯特色,平凡中見真諦,提高了考生觀察思辨的能力,提升了本題的考試功能與選拔功能.很有開發(fā)的價(jià)值,無疑是一道經(jīng)典之作.

      本題雖小,但入口寬,解法具有開放性,橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同,因?yàn)橹埸c(diǎn)不同,解題的方式方法不同,效果也就大不相同.并且每種方法所用到的知識(shí)比較基礎(chǔ),不偏不怪,但要想拿到滿分,須具備較強(qiáng)的思維能力和分析問題、解決問題的能力,彰顯了“由知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意”的命題理念.試題內(nèi)涵豐富、思想深刻,將知識(shí)內(nèi)容和等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元法、向量法等數(shù)學(xué)思想方法融為一體,讓人感覺平凡中出新意,有滋味、有嚼頭、有厚度.此題啟示我們,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系,突出數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、提煉和滲透;注重思維探究,突出培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)新問題的選擇應(yīng)變能力和分析、解決問題的能力.

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