淺談洛朗定理與留數(shù)定理的關(guān)系

岳紅云 劉宏超

摘要：本文通過對洛朗定理與留數(shù)定理的比較，發(fā)現(xiàn)它們雖然都能進行積分計算，但存在復(fù)雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結(jié)論，洛朗定理是留數(shù)定理進行積分計算的本質(zhì)和保證，留數(shù)定理是洛朗定理進行積分計算的方便應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：洛朗定理，留數(shù)定理，積分計算

中圖分類號：G642文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

一、前言

1. 洛朗定理：設(shè) 在圓環(huán)域 內(nèi)處處解析，那么 ，其中 ， .特別的，令 ，計算 沿 的積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù) 的洛朗展式中 的系數(shù) .

2. 留數(shù)定理：設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)除有限個孤立奇點 外處處解析， 是 內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么 ，其中 ， 為 在 內(nèi)的洛朗展式中 的系數(shù).

二、問題

洛朗定理是級數(shù)理論的重要內(nèi)容，留數(shù)定理是積分理論的的重要內(nèi)容，兩個定理都可以計算復(fù)變函數(shù)的積分，它們之間有什么關(guān)系？初學(xué)者往往對此問題感到困惑，這影響了復(fù)變函數(shù)理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復(fù)變函數(shù)的重點內(nèi)容——積分的計算有清晰明了的認(rèn)識，接下來就通過一個例題來說明這兩個定理是如何進行積分計算的.

三、例題

例. 計算積分 ，其中 為正向圓周 .

解：法1. 因為被積函數(shù)的奇點有 ， ，故其在 內(nèi)解析，且 在此圓環(huán)域內(nèi)，所以被積函數(shù)在此圓環(huán)域內(nèi)洛朗展式的 的系數(shù) 乘以 即為所求的積分值.

，

由此可見 ，故 .

法2. 因為被積函數(shù)的奇點有 ， ，將圓環(huán)域換成 ，函數(shù)仍解析， 在此圓環(huán)域內(nèi)，同理可得，

，

由此可見 ，故 .

法3. 因為被積函數(shù)的奇點有 ， ，都在 內(nèi)，計算

， ，

故由留數(shù)定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進行積分的計算時，關(guān)鍵是找到被積函數(shù)解析的圓環(huán)域，這可以通過討論被積函數(shù)的奇點就不難確定，但需要找到的圓環(huán)域包含閉曲線 ，這就不是一件容易的事，初學(xué)者往往很頭疼。當(dāng)然，只要找到了這樣的圓環(huán)域，就可以把函數(shù)進行洛朗展開尋找其系數(shù) 就行了；而利用留數(shù)定理進行積分的計算則需要兩步，第一步需要找到 內(nèi)所有有限奇點，第二步計算留數(shù)，當(dāng)然留數(shù)的計算仍需要在奇點的去心鄰域內(nèi)對函數(shù)進行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數(shù)定理要繞彎，但實質(zhì)上，由于尋找函數(shù)的洛朗展開的解析區(qū)域并不容易，而且不確定是那個區(qū)域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計算積分并不常用；而留數(shù)定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數(shù)，但都是在奇點的去心鄰域展開的，是確定的區(qū)域，而且還可以發(fā)展延伸出更方便、快捷的計算方法，由于其有規(guī)范明確的程序化步驟可循，使得留數(shù)定理在積分的計算中易于大家掌握，從而起到了主導(dǎo)的地位.

四、結(jié)論

由以上兩定理可得， ，所以留數(shù)定理是將洛朗定理中 的求法簡化，細(xì)化為 內(nèi)每一個孤立奇點處的留數(shù)之和，它們的實質(zhì)是一致的，歸根到底，都是利用函數(shù)的洛朗展式進行積分的計算，所以洛朗定理是復(fù)變函數(shù)積分計算的基礎(chǔ)和出發(fā)點，洛朗定理是留數(shù)定理進行積分計算的本質(zhì)和保證，而留數(shù)定理使洛朗定理進行積分計算的方便應(yīng)用，沒有洛朗定理，就沒有留數(shù)定理，就沒有復(fù)變函數(shù)積分的計算，而沒有留數(shù)定理，就沒有復(fù)變函數(shù)積分的廣泛應(yīng)用.

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因為函數(shù)在閉曲線內(nèi)處處解析，故只能在解析點進行泰勒展開，無負(fù)冪項，即 ，故 .

參考文獻

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