標準Ⅱ型馬蹄形斷面正常水深和臨界水深的簡化計算

吳國慶

（安康市水利水電勘測設(shè)計院，陜西安康 725000）

1 問題的提出

標準Ⅱ型馬蹄形斷面由于形狀比較復雜，正常水深和臨界水深的計算有一定的難度。近年來已有學者采用不同的方法對馬蹄形斷面渠道正常水深進行了研究。文獻[1]給出了馬蹄形斷面正常水深和臨界水深的迭代計算公式；文獻[2]對正常水深的超越方程采用逐次逼近的擬合方法，獲得了最優(yōu)替代函數(shù)，其最大誤差為0.66%；文獻[3]也給出了馬蹄形斷面正常水深的迭代公式，并認為計算結(jié)果在特征水深點是吻合的，但公式相對較為復雜。文獻[4]將馬蹄形過水斷面正常水深計算轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題采用實數(shù)編碼的遺傳算法進行求解，但該方法應用比較困難。文獻[5]引入準一次函數(shù)、準二次函數(shù)的概念，對馬蹄形兩種標準斷面正常水深的原函數(shù)方程在無量綱正常水深（0.01，1.80）范圍內(nèi)給出了已知流量計算正常水深的簡化公式，但未給出已知水深求解流量的方法。文獻[6]研究了平底II型馬蹄形斷面的正常水深和臨界水深，引入無量綱參數(shù)得到了正常水深和臨界水深的直接計算公式。文獻[7]研究了標準Ⅰ型馬蹄形斷面正常水深、弗勞德數(shù)和收縮斷面水深的計算方法，但未涉及到標準Ⅱ型馬蹄形斷面的水力計算問題。文獻[8]給出了馬蹄形斷面臨界水深的迭代計算公式。文獻[9]通過對馬蹄形斷面臨界流方程的數(shù)學變換，應用逐步優(yōu)化擬合原理，得到馬蹄形斷面臨界水深的直接計算式。

由以上綜述可以看出，標準Ⅱ型馬蹄形斷面的正常水深和臨界水深雖然已有一些研究成果，除文獻[9]對臨界水深有直接計算公式外，其余計算方法要么比較復雜，要么還不完善。所以本文根據(jù)明渠均勻流理論和臨界水深的一般計算方法，通過優(yōu)化擬合提出了馬蹄形斷面正常水深和臨界水深的直接計算公式。

2 標準Ⅱ型馬蹄形斷面的基本形式和圓心角

標準Ⅱ型馬蹄形斷面如圖1所示，它由3部分組成，即底部的弓形斷面、下部的扇形斷面和頂拱的半圓形斷面。三圓弧段的半徑均為2r，頂拱半徑為r，下部弓形斷面的圓心角為2α，側(cè)面扇形圓心角為α。由圖中可以看出

圖1 標準Ⅱ型馬蹄形斷面Fig.1 Horseshoe cross section of standard TypeⅡ

由上式可以解出α=24.29519°，由此可以看出，標準Ⅱ型馬蹄形斷面的圓心角為常數(shù)。

3 標準Ⅱ型馬蹄形斷面的相對斷面面積、相對濕周、相對水力半徑和相對水深

將標準Ⅱ型馬蹄形斷面分為圖2中ab線以下（含ab線）的弓形斷面、ab線與ef線之間（含ef線）和ef線以上3部分，各部分的斷面面積、濕周和水力半徑分別計算如下。

3.1 當水深處于ab線以下（含ab線）時

此時水深處于底部弓形斷面內(nèi)，如圖2所示，相對斷面面積、相對濕周和相對水深分別為

式中，A為面積；h為水深；φ為水深為h時的半圓心角。相對水力半徑R為

圖2 水深處于弓形斷面內(nèi)Fig.2 Water depth at the bottom bow of the cross section

水面寬度為

式中，B為水面寬度，0<φ≤24.29519°。

3.2 當水深處于ab線與ef線之間（含ef線）時

此時水深處于圖3中的ab線以上，ef線以下（含ef線）。由圖3可以看出，下部水深淹沒的面積分為4部分，即圖3中的面積A0、A1、A2和A3，其中A2和A3相等。相對斷面面積為

圖3 水深處于最大直徑（含最大直徑）斷面內(nèi)Fig.3 Water depth under the max width of the cross section

相對濕周為

相對水力半徑為

相對水深h為

水面寬度為

式中，0<β<24.29519°。

3.3 當水深處于ef線以上時

此時水深處于頂拱半圓形斷面內(nèi)，如圖4所示，可以看出，斷面面積由圖中ef線以下的面積、ef線以上的兩個扇形面積和一個三角形面積組成。斷面相對面積、相對濕周、相對水力半徑和相對水深為

圖4 水深位于最大直徑以上斷面Fig.4 Water depth at profile when water depth is above the maximum diameter

水面寬度為

式中，0<θ<90°。

用以上公式計算的相對斷面面積、相對濕周、相對水力半徑和水面相對寬度與相對水深的關(guān)系見表1。

4 標準Ⅱ型馬蹄形斷面的正常水深

一般明渠的正常水深流量關(guān)系為[10]

式中，Q為流量；C為謝才系數(shù)；R為水力半徑；i為渠道的底坡；n為糙率；A為過水斷面面積；χ為濕周。

4.1 當水深處于ab線以下（含ab線）時

如果已知流量，則可寫成迭代公式

4.2 當水深處于ab線與ef線之間（含ef線）時

用上式計算水深流量關(guān)系時，β的取值范圍為0°~24.29519°，如果水深已知，則可由式（9）求出β，代入式（19）即可計算出流量。如果已知流量求水深，可以將式（19）寫成迭代公式為

4.3 當水深處于ef線以上時

相對正常水深流量關(guān)系為

式（21）中只有一個變量θ，0<θ<90°，計算時如果已知水深，可由式（14）求出θ，代入式（21）求出流量；如果已知流量，則可寫出迭代公式為

由以上公式計算的正常相對水深與相對流量的關(guān)系亦列于表1中?？梢钥闯?，馬蹄形斷面計算正常水深時需先判斷水深所處的位置，然后選用合適的公式，而且計算時均為隱函數(shù)關(guān)系，不易求解。為了簡化計算，分段擬合了與h/r的顯函數(shù)關(guān)系，相對水深或相對流量可以表示為

已知正常水深求流量時

已知流量求正常水深時

表1 相對斷面面積、相對濕周、相對水力半徑和相對水面寬度與相對水深的關(guān)系Tab.1 The relationship between relative sectional area，relative wetted perimeter，relative hydraulic radius，relative width and relative water depth

公式（23）的最大誤差為1.025%，平均誤差為0.093%，

公式（24）的最大誤差為1.114%，平均誤差為0.225%。

5 標準Ⅱ型馬蹄形斷面的臨界水深

明渠臨界水深的計算公式為[10]

式中，g為重力加速度；Ak為臨界水深對應的斷面面積；Bk為臨界水深對應的水面寬度。

將公式（25）變形為

分段擬合臨界水深與Q2/（gr5）的關(guān)系為

上式的平均誤差為0.337%，最大誤差為1.095%。

6 算例

例題1某馬蹄形標準Ⅱ型斷面，已知頂拱半徑r=2.3 m，渠道底坡i=0.00263，糙率n=0.014，試計算正常水深與流量的關(guān)系以及臨界水深。

解：

用經(jīng)驗公式（23），理論公式（17）、（19）、（21）計算正常水深流量關(guān)系，用經(jīng)驗公式（27）計算臨界水深。用理論公式計算時，采用試算法，計算結(jié)果仍列于表2中。

由以上計算可以看出，本文提出的經(jīng)驗公式計算的流量與理論公式計算的流量最大誤差為0.664%；臨界水深的經(jīng)驗公式與理論公式最大誤差為1.250%，且經(jīng)驗公式判斷計算區(qū)域明了，過程簡單，不需試算，精度完全滿足工程要求。

例題2萬家寨引黃工程南干1號隧洞的坡降為i=1/1500，n=0.014，r=2.12 m，取其中的兩個流量8.6 m3/s和25.8 m3/s計算正常水深，

解：

當流量為8.6 m3/s時，求得將7代入公式（24）得水深h=0.693507×2.12=1.47 m。

當流量為25.8 m3/s時得水深h=1.4542×2.12=3.0829 m

如果用理論公式計算，當流量為8.6 m3/s時，用公式（20）迭代得β=0.2703724，用公式（9）計算得水深為1.47105 m，經(jīng)驗公式與理論公式相差0.0555%。當流量為25.8 m3/s時，用公式（22）迭代得θ=0.479238，用公式（14）計算得水深為3.09754 m，經(jīng)驗公式與理論公式相差0.473%。

表2 例題1正常水深-流量關(guān)系及臨界水深計算表Tab.2 Example I:calculation table of the relationship between the normal water depth and flow and critical depth

7 結(jié)語

本文詳細推導了標準Ⅱ型馬蹄形斷面相對面積、相對濕周、相對水力半徑、相對水深和水面相對寬度的計算方法，在此基礎(chǔ)上，給出了標準Ⅱ型馬蹄形斷面正常水深的理論計算公式。為了簡化計算，分段擬合了與h/r的關(guān)系，給出了均勻流時流量的顯函數(shù)關(guān)系式和正常水深的迭代公式；分段擬合相對臨界水深hk/r與Q2（/gr5）的關(guān)系，給出了臨界水深的簡化計算公式。這些公式計算簡單，迭代方便，精度完全滿足設(shè)計要求。為了明確計算過程，通過實例給出了解題步驟，供工程設(shè)計參考。

[1] 李永剛.馬蹄形隧洞水力計算迭代法[J].人民黃河，1955（11）：42-44.LI Yonggang.Iterative method of horseshoe tunnel hydraulic calculation[J].Yellow River，1995（11）:42-44（in Chinese）.

[2] 騰凱，劉繼忠，李松巖，等.馬蹄形過水斷面均勻流水深的簡化計算法[J].人民黃河，1997（1）：36-38.TENG Kai，LIU Jizhong，LI Songyan，et al.Simplified calculation method of uniform water deep of horseshoe cross section[J].Yellow River， 1997（1）： 36-38 （in Chinese）.

[3] 呂宏興，辛全才，花立峰.馬蹄形過水斷面正常水深的迭代計算[J].長江科學院院報，2001，18（3）：7-10.LU Hongxing，XIN Quancai，HUA Lifeng.Calculation on normal depth of horseshoe cross section by iterative method[J].Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2001，18（3）:7-10（in Chinese）.

[4]王順久，侯玉，張欣莉，等.馬蹄形過水斷面正常水深計算的遺傳算法[J].灌溉排水，2002，21（3）：43-45.WANG Shunjiu，HOU Yu，ZHANG Xinli，et al.Genetic algorithm for calculating normal water depth of horseshoe cross section[J].Irrigation and Drainage，2012，21（3）:43-45（in Chinese）.

[5] 趙延風，王正中，蘆琴.馬蹄形斷面正常水深的直接計算公式[J].水力發(fā)電學報，2012，31（1）：173-177.ZHAO Yanfeng，WANG Zhengzhong，LU Qin.Direct calculation formulae for normal depth of horseshoe section[J].Journal of Hydroelectric Engineering，2012，31（1）:173-177（in Chinese）.

[6]文輝，李風玲.平底馬蹄形斷面的水力計算[J].農(nóng)業(yè)工程學報，2013，29（10）：130-135.WEN Hui，LI Fengling.Hydraulic calculation of horseshoe cross-section with flat bottom[J].Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering，2013，29（10）:130-135（in Chinese）.

[7]張志昌，李若冰.標準Ⅰ型馬蹄形斷面水力特性的研究[J].長江科學院院報，2013，30（5）：55-59.ZHANG Zhichang，LI Ruobing.Hydraulic characteristics of standard I-Type horseshoe cross section[J].Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2013，30（5）:55-59（in Chinese）.

[8] 呂宏興.馬蹄形過水斷面臨界水深的迭代計算[J].長江科學院院報，2002，19（3）：12-14.L譈Hongxing.Calculation on critical depth of horseshoe cross-section by iterative method[J].Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2002，19（3）:12-14（in Chinese）.

[9] 張寬地，呂宏興，陳俊英.馬蹄形過水斷面臨界水深的直接計算法[J].農(nóng)業(yè)工程學報，2009，25（4）：15-18.ZHANG Kuandi，L譈 Hongxing，CHEN Junying.Direct calculation of critical depth of horseshoe section tunnel[J].Transactions of the CSAE，2009，25（4）:15-18 （in Chinese）.

[10]張志昌.水力學（下冊）[M].北京：中國水利水電出版社，2011：69-90.