(2+1)維破裂孤子方程組的精確解

王振立，劉希強

(2+1)維破裂孤子方程組的精確解

王振立，*劉希強

(聊城大學數(shù)學科學學院，山東，聊城 252059)

利用推廣的()展開法，并借助于計算機代數(shù)系統(tǒng)maple，獲得了（2+l）維破裂孤子方程組新的顯式解，包括單循環(huán)孤立子解、三角周期解、有理函數(shù)解等。

(2+1)維破裂孤子方程組；()展開法；顯式解；齊次平衡

尋找非線性偏微分方程的精確解在孤立子理論中一直占有重要地位。非線性偏微分方程描述了眾多領(lǐng)域的復(fù)雜現(xiàn)象，如物理學，生物，化學，工程等。到目前為止已發(fā)展了許多不同的求解方法，如Painlevé截尾展開法[1]，雙曲函數(shù)法[2-4]，Jacobi橢圓函數(shù)展開法[5]，Jacobi橢圓函數(shù)方法一般化的F-展開法[6]，反散射法[7]，齊次平衡法[8]等。利用這些方法得到許多豐富的精確解，包括孤立波解，周期波解等。

文獻[9]中提出了一種新的構(gòu)造精確行波解()的展開方法。該法的主要思想是：非線性演化方程的行波解可以表示為()的多項式，多項式的次數(shù)可由齊次平衡原則確定；多項式的系數(shù)可通過解一個非線性代數(shù)方程組求得；非線性代數(shù)方程組是應(yīng)用()展開法過程中產(chǎn)生的。該方法具有直接、簡潔與基本的優(yōu)點，已有效地求解了許多非線性演化方程。本文應(yīng)用()展開法獲得了(2+1)維破裂孤子方程組含任意參數(shù)的更多的顯式行波解。

1 (w/g)展開法

考慮如下偏微分方程

(ii)假設(shè)（1.2）有下述形式的解：

(1.3)

關(guān)于()的項共有+1項。這里的()滿足以下方程

即

且滿足

這是我們熟悉的tanh函數(shù)展開法[11-12]。

且滿足

且滿足

2 （2+1）維破裂孤子方程組的行波解

考慮以下方程組

將(2.4)積分一次得

代入(2.3)式積分并置積分常數(shù)為零，得

解以上代數(shù)方程組得：

解以上代數(shù)方程組得：

注：(1)本文得到方程組顯式解比文獻[13]中的該類型的解豐富。

(2)本文得到的解均經(jīng)過maple數(shù)學軟件檢驗。

3 結(jié)論

()展開法的提出為非線性發(fā)展方程(組)的求解又提供了一種強有力的辦法。本文將簡潔的()展開方法應(yīng)用于(2+1)維破裂孤子方程組的顯式行波解，其中包括孤立波解、三角函數(shù)解以及有理函數(shù)解。由于參數(shù)的任意性, ()展開法可以獲得(2+1)維破裂孤子方程組更多的精確解。這些精確解對解釋復(fù)雜的物理現(xiàn)象有重要的作用。()展開法具有直接、簡捷而基本的優(yōu)點，該方法具有一定的普遍性，可以用來求解其它的非線性發(fā)展方程(組)。

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Explicit Solutions of (2+1)-dimensional Breaking Solition Equations

Wangzhen-li，*LiuXi-qiang

（College of Mathematical Sciences，Liaocheng University, Liaocheng, Shandong 252059,China）

Applying the generalized () -expansion method and with the help of computer algebraic system maple, the explicit travelling solutions of the (2+1)-dimensional breaking solition equations were obtained, which included soliton solution, the trigonometric functions and the rational functions.

(2+1)-dimensional breaking solition equations; the ()-expansion method; explicit solutions; homogeneous balance principle

O175.2

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.04.005

2014-03-28；

2014-05-15

國家自然科學基金和中國工程物理研究院聯(lián)合基金項目(11076015)

王振立(1981- )，男，山東棗莊人，碩士生，主要從事非線性偏微分方程解的研究(E-mail: wzl2319668@163.com);

*劉希強(1957- )，男，山東菏澤人，教授，博士，主要從事非線性偏微分方程系統(tǒng)研究(E-mail:liuxiq@sina.com).