研究習(xí)題 提煉方法

焦良存

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第74頁第11題是：

如圖1，△ABC的周長是24，面積是48，求它的內(nèi)切圓的半徑.

解：設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為r，與△ABC三邊的切點依次為D、E、F，連 接AO、BO、CO、OD、OE、OF，則OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF=r，S△ABC=S△ABO+S△BCO+SACO=AB·r+BC·r+AC·r=r（AB+BC+AC）. ∵△ABC的周長是24，面積是48，∴AB+BC+AC=24，S△ABC=48，∴r×24=48，r=4.

一般地，應(yīng)用上述方法，可以得到結(jié)論：

已知△ABC的周長為l，面積為S，其內(nèi)切圓的半徑為r，則r=.（請同學(xué)們自己證明）

由此我們可發(fā)現(xiàn)一種重要的解題方法——將圖形分割，再利用整體面積等于各個部分面積之和，即可得到一個等量關(guān)系，進而解決問題，這是一種行之有效的解題策略.下面我們應(yīng)用這種方法來解決一類問題.

例1 如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，它的內(nèi)切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點D、E、F，且BD=6，AD=4，求☉O的半徑r.

【解析】連接OA、OB、OC，將Rt△ABC分成3個三角形，分別為△OAB、△OBC、△OCA，它們的高都是內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)整體等于部分之和（設(shè)r為內(nèi)切圓的半徑）可得：S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=AB·r+BC·r+AC·r=r（AB+BC+AC）. 連接OE、OF、OD，根據(jù)“切線垂直于過切點的半徑”可知OE⊥BC、OF⊥AC，又∠ACB=90°，所以四邊形OECF是矩形，又OE=OF，所以四邊形OECF是正方形，CE=CF=r，根據(jù)“從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等”，所以AF=AD=4，BE=BD=6，于是有S△ABC=r（10+6+r+4+r）=r（10+r），又S△ABC=AC·BC=（6+r）（4+r），∴有（6+r）（4+r）=r（10+r），解之得r1=2，r2=-12（不合題意，舍去），所以☉O的半徑為2.

一般地，應(yīng)用上述方法，可以得到結(jié)論：

已知直角三角形，a、b是直角邊長，c是斜邊長，則其內(nèi)切圓半徑r=（a+b-c）.

例2 （1） 如圖3，已知等邊△ABC內(nèi)任意一點O到各邊的距離分別為r1、r2、r3，等邊△ABC的高為h，試證明r1+r2+r3=h（為定值）. （2） 拓展與延伸：