謝歡歡，李長源，楊伯朝

（中國電子科技集團公司第二十研究所，西安 710068）

在陣列天線設(shè)計過程中，為了實現(xiàn)一些特定的目標(biāo)，需要對陣列的波束形狀進行優(yōu)化設(shè)計。在實際應(yīng)用中，有時要求展寬陣列天線的波束。如相控陣?yán)走_在指定空間區(qū)域?qū)崿F(xiàn)多目標(biāo)的搜索和跟蹤時，要求展寬相控陣天線的波束。相控陣?yán)走_在進行寬波束搜索、多目標(biāo)引導(dǎo)和寬波束導(dǎo)彈截獲時，也需要其陣列天線具有寬波束的功能。除此以外，陣列波束展寬還應(yīng)用于空間微波能量傳輸中，波束展寬能避免能量過于集中，對接收的整流設(shè)備造成擊穿破壞，使能量在要求區(qū)域內(nèi)均衡分布，接收設(shè)備的效率最大化。研究人員提出了很多陣列賦形算法來實現(xiàn)波束展寬，其通常可分為解析方法和數(shù)值方法。經(jīng)典的解析方法有傅立葉變換法（Fourier Transform Method）[1]、Woodward綜合法[2]等，這類方法計算速度快，但其精度較差，與要求的波形會存在一定差異。與解析方法相比，數(shù)值方法的精度高，適用范圍廣，越來越受到重視。然而數(shù)值方法的計算量比較大，存在變量多及方向圖綜合全局優(yōu)化較困難等問題。

種群進化類算法在解決多維、非線性、全局尋優(yōu)方面具有傳統(tǒng)算法不具備的優(yōu)點，在陣列方向圖綜合方面得到了廣泛應(yīng)用。進化算法中的遺傳算法（GA）在降低陣列天線的副瓣電平有較好應(yīng)用[3]。粒子群優(yōu)化算法（PSO）已成功應(yīng)用于二維陣列、共形陣列波束優(yōu)化上[4-5]。差分進化算法是一種在連續(xù)空間中進行啟發(fā)式隨機搜索的智能優(yōu)化算法[6],差分進化算法已用于陣列天線波束賦形上[7-8]。然而目前的進化類智能算法都存在易陷入局部最優(yōu)、容易早熟、收斂速度慢的問題。

本文使用差分進化算法結(jié)合傅立葉變換的初值對陣列天線波束進行展寬設(shè)計。該方法首先使用傅立葉變換計算展寬后陣列天線的幅相，將得到的幅相作為差分進化算法的一個初始值進行進一步的優(yōu)化計算。這能提高傅立葉變換計算的精度，使展寬后的波束效果更好。而以一個相對較優(yōu)的幅相值作為差分進化算法的初始值時，能使差分進化算法的收斂速度更快，避免陷入局部最優(yōu)的現(xiàn)象。使用該方法對一個21元的一維直線陣進行波束展寬設(shè)計。陣列在等幅同相時的3 dB波束寬度為4.02o，使用文中方法展寬波束后，3 dB波束寬度變?yōu)?9.6o，主波束范圍內(nèi)的平坦度為0.21 dB，優(yōu)于僅使用傅立葉變換獲得的結(jié)果。

1 算法原理

該算法將傅立葉級數(shù)變換和差分進化算法結(jié)合，使用傅立葉級數(shù)變換獲取差分進化算法其中的一個初始值，再使用差分進化算法對傅立葉級數(shù)變換的結(jié)果進行優(yōu)化，獲得更佳的波束形狀。

1.1 傅立葉級數(shù)變換法

N元規(guī)則直線陣的陣因子可表示為：

其中，Φ=kd sin(θ)，k=2πf /c0，f是工作頻率，c0是光速，為3×108m/s，d是單元間距，Am是激勵的電流信號，為復(fù)數(shù)。令參考位置點為陣列的中心，當(dāng)單元數(shù)為奇數(shù)時，陣因子為：

當(dāng)單元數(shù)為偶數(shù)時，陣因子為：

當(dāng)m不在陣列區(qū)域范圍內(nèi)時Am=0，即單元為奇數(shù)時，Am=0（ m＜ -(N -1)/2或m＞(N -1)/2）；單元為偶數(shù)時，Am=0（ m＜- N/2或 m＞ N/2）。因而式（2）可轉(zhuǎn)化為：

式（3）可轉(zhuǎn)化為：

對式（4）和式（5）進行傅立葉變換可得，奇數(shù)單元激勵的信號為：

偶數(shù)單元激勵的信號為：

求解的激勵信號為復(fù)數(shù)，包含了激勵的幅度和相位。

1.2 差分進化算法

差分進化算法是一種基于種群的隨機進化類優(yōu)化算法，它始于一個隨機選擇的初始種群向量，主要過程包括初始化種群、變異、交叉和選擇[7]操作，重復(fù)其變異、交叉和選擇操作使計算結(jié)果滿足設(shè)定目標(biāo)或達到最大迭代次數(shù)，計算結(jié)束。其計算過程參考文獻7。

本文根據(jù)算法的實際應(yīng)用情況，在初始化種群計算時，將其中的一個種群個體設(shè)為傅立葉級數(shù)變換獲得的激勵信號，其他NP-1個個體為隨機產(chǎn)生。該操作能加速算法收斂速度，避免其陷入局部最優(yōu)，這里我們令NP個個體的第一個為傅立葉級數(shù)變換獲得的激勵信號，則操作過程如下：

式中，Ai是由傅立葉級數(shù)變換得到的幅相值；i =2,3,…,NP，j=1,2,…,D；和分別是第 j個變量的下界和上界；randij是[0,1]之間的隨機小數(shù)。算法的變異、交叉和選擇操作和文獻7一致。

2 21元直線陣

為了驗證上述方法的可行性，設(shè)計了一個21元的直線陣并使用推薦方法進行波束展寬計算。設(shè)天線單元為點源，陣列的單元間距d=0.6λ，λ是工作波長，陣列中心為參考的0位置。則天線陣列的電場可表式為：

從圖1中可以看到，等幅同相時，天線的3 dB波束寬度為4.02o，副瓣電平為-13.2 dB。

圖1 等幅同相情況下，陣列歸一化的增益方向圖

圖2 傅立葉級數(shù)變換后，陣列歸一化的增益方向圖

表1 傅立葉級數(shù)變換計算獲得的幅相值

3 波束展寬設(shè)計及結(jié)果

將21元直線陣的波束展寬，設(shè)計展寬后的3 dB波束寬度為20o，使用傅立葉級數(shù)變換法進行計算，得到陣列激勵的信號為：

由式（10）計算激勵的幅度和相位如表1所示，其歸一化的增益方向圖如圖2所示。從表1數(shù)據(jù)可以看到，傅立葉級數(shù)變換后，得到一些單元激勵的幅度很小，如:單元1、2、6、16、20、21，這些端口的幅度都小于 0.1，這會加大單元激勵的難度。從表1的數(shù)據(jù)可以看到，獲得的幅度和相位是以中間單元呈現(xiàn)對稱關(guān)系。從圖2的方向圖曲線可以看到，陣列的3 dB波束寬度為16.96o，與要求的20o有一定差距。副瓣電平為-22.5 dB，陣列主波束有凹坑，其平坦度為1.64 dB，這說明使用傅立葉級數(shù)變換獲得的幅相效果不太好。我們以傅立葉級數(shù)變換得到的幅相為基礎(chǔ)，將其作為差分進化算法其中的一個初始值，進一步提升波束展寬效果，主要從以下三個方面進行改進：

1）增加單元激勵的幅度值；

2）提高天線主波束的平坦度；

3）進一步減少副瓣電平。

以此為目標(biāo)，將激勵的幅度設(shè)為[0.1，1]，波束平坦度設(shè)為0，陣列波束的副瓣電平設(shè)為-25 dB。則其適應(yīng)度函數(shù)S(θ)可表式為：

G(θ)是由電場方向圖E(θ)得到的歸一化增益方向圖。計算得到的歸一化增益方向圖如圖3所示，其激勵的幅度和相位如表2所示。

圖3 推薦方法計算后，陣列歸一化的增益方向圖

表2 推薦方法計算獲得的幅相值

從表2的數(shù)據(jù)可以看到，單元激勵的幅度都大于 0.1。從圖 3可以看到，陣列 3 dB波束寬度為19.6o，幅瓣電平為-24.9 dB，主波束平坦度為0.21 dB，基本達到了設(shè)定的要求。

4 結(jié)論

本文使用差分進化算法結(jié)合傅立葉變換的初值對陣列波束進行展寬設(shè)計，該方法比普通傅立葉級數(shù)變換獲得的波束形狀更好，能克服傳統(tǒng)差分進化算法收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)的問題。通過對一個 21元的直線陣進行波束展寬設(shè)計，使陣列的3 dB波束寬主擴展到19.6o，主波束范圍內(nèi)的平坦度為0.21 dB，副瓣電平為-24.9 dB，證實該設(shè)計方法是切實可行的。

[1]C.A.Balanis, Antenna Theory Analysis and Design [M].Third Edition, Published by John Wiley & Sons, Inc.,Hoboken, New Jersey, 2005.

[2]束咸榮，何炳發(fā)，高鐵.相控陣?yán)走_天線[M].北京：國防工業(yè)出版社.2007

[3]K.K.Yan, and Y.Lu Side Lobe Reduction in Array-pattern Synthesis Using Genetic Algorithm [J].IEEE Trans.Antennas and Propagation, 1997.45（7）:1117-1121.

[4]袁智皓, 耿軍平, 金榮洪, 范瑜.基于改進的粒子群算法的二維陣列天線方向圖綜合技術(shù)[J].電子與信息學(xué)報,2007.29（5）: 1236-1239.

[5]D W Boeringer, D H Werner.Efficiency Constrained Particle Swarm Optimization of a Modified Bernstein Polynomial for Conformal Array Excitation Amplitude Synthesis [J].IEEE Trans on Antennas and Propagation,2005.53 （8）: 2662-2673.

[6]R Storn, and K.Price, Differential evolution - a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous space [J].Journal of Global Optimization,1997.11 （4）:3412359.

[7]謝歡歡, 楊伯朝.基于差分進化算法的陣列天線波束賦形研究[J].現(xiàn)代導(dǎo)航, 2012.3: 219-224.

[8]S.Yang, Y.B.Gan, and A.Qing.Sideband suppression in time-modulated linear arrays by the differential evolution algorithm [J].IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2002.1: 173-175.