最優(yōu)控制經(jīng)典方法

邊疆

摘 要：最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的經(jīng)典。該文論述了其中的基本支柱方法變分法和極小值原理。兩種方法都有自己獨有的特性，優(yōu)點缺點和適用范圍，可分別用于求解不同種類的問題。最優(yōu)控制理論已經(jīng)廣泛地融入到了現(xiàn)代社會中，在將來仍有廣闊的發(fā)展前景。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制理論 變分法 極小值原理。

中圖分類號：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）07（b）-0255-02

早在20世紀(jì)50年代初，就開始了對最短時間控制問題的研究，形成了時間最優(yōu)控制理論，其中包含著名的Bang-Bang控制理論；隨后，由于空間技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)彈、衛(wèi)星等復(fù)雜系統(tǒng)提出了消耗燃料要少，飛行速度要快，運行可靠性要高等嚴(yán)格的要求，在工程上刺激了最優(yōu)控制理論的發(fā)展，逐步形成了一套較為完整的最優(yōu)控制理論體系。

該文將介紹最優(yōu)控制理論中的經(jīng)典方法。

1 變分法

一個經(jīng)典的例子是，曲線上的最速降線問題，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達(dá)不直接在它底下的一點B[1]。任務(wù)是在所有可能的曲線中確定一條，使得下降的時間達(dá)到最小。

這是一個求取泛函極值的問題。泛函取極值的必要條件是泛函的變分為零。若連續(xù)可微，在點達(dá)到極值，則泛函在處的變分等于零。

泛函極值問題可以分解為有約束和無約束問題，其中對于端點不固定的問題采用橫截條件進(jìn)行處理。

無約束問題中，歐拉-拉格朗日方程是變分法的關(guān)鍵定理。如果已知一條

曲線，始端末端，則泛函

取到極值必要條件是曲線滿足歐拉方程。

其中應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。如果想得到是極大還是極小的結(jié)論還必須有充分條件進(jìn)行泛函二階變分的求解與分析。

若對于泛函極值問題在上述情況下存在端點不固定的情況需要列出額外的橫截條件來求解。

對于有等式約束的問題，一般為含有狀態(tài)空間（1-8）的等式約束。變分法

利用拉格朗日待定乘子法并且引入哈密頓函數(shù)，見式（1-9）。

這樣就可以將有條件約束的問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o條件約束的問題。并利用歐拉方程推導(dǎo)出協(xié)態(tài)方程（1-10）和控制方程（1-11），與狀態(tài)方程和橫截條件一起求解泛函極值問題。

2 極小值原理

當(dāng)采用變分法求解最優(yōu)控制問題時，存在一個約束即認(rèn)為控制向量是不受限制的。但是在實際的系統(tǒng)中，不受限制的控制是比較少存在的。因此我們給定。

極小值原理可以用來求解很多最優(yōu)控制問題，其中著名和經(jīng)典的例子就是時間控制理論中的Bang-Bang控制，還有如線性二次型問題中的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，輸出調(diào)節(jié)器，跟蹤調(diào)節(jié)器等。同樣極小值原理還可以應(yīng)用于離散系統(tǒng)，解決離散系統(tǒng)中的二次型調(diào)節(jié)器問題。

極小值原理中，一般求解的問題可以給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示。

其中是歐幾里得空間的子集，端點約束和目標(biāo)泛函如下，

定義Hamilton函數(shù)為：

當(dāng)初始狀態(tài)不固定的時候，我們需要引入式（31）；當(dāng)終端時刻不固定的時候，我們需要引入式（26）；當(dāng)終端狀態(tài)不固定的時候我們需要引入式（25）。

3 變分法與極小值原理的比較

變分法比較擅長于求解微分方程或者差分方程所表示的問題，而對與更加一般化的實際問題則更多地用極小值原理的方法來求解。

可以從中觀察出來，當(dāng)控制函數(shù)不受約束或只受開集性約束條件下，與實際上是等價的。

極小值原理很好地擴(kuò)大了變分法的適用范圍。不僅可以用來求解函數(shù)U（t）不受約束或只受開集性約束的最優(yōu)控制問題，而且也可以用來求解控制函數(shù)U（t）受到閉集性約束條件的最優(yōu)控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對控制函數(shù)U（t）的要求。

極小值原理可以求解帶有閉域約束的更加一般的最優(yōu)控制問題，如最短的時間，最快的速度，最佳的利用，最短的路徑等等。

在沒有閉域約束的最優(yōu)控制問題中時，變分法，極小值原理是等價等效的。

4 結(jié)語

最優(yōu)控制理論已經(jīng)潛移默化地深深融入到了現(xiàn)代社會的發(fā)展中，在不久的將來仍然有廣闊的發(fā)展前景。

參考文獻(xiàn)

[1] 符曦.系統(tǒng)最優(yōu)化及控制[M].1北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1995：55.endprint

摘 要：最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的經(jīng)典。該文論述了其中的基本支柱方法變分法和極小值原理。兩種方法都有自己獨有的特性，優(yōu)點缺點和適用范圍，可分別用于求解不同種類的問題。最優(yōu)控制理論已經(jīng)廣泛地融入到了現(xiàn)代社會中，在將來仍有廣闊的發(fā)展前景。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制理論 變分法 極小值原理。

中圖分類號：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）07（b）-0255-02

早在20世紀(jì)50年代初，就開始了對最短時間控制問題的研究，形成了時間最優(yōu)控制理論，其中包含著名的Bang-Bang控制理論；隨后，由于空間技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)彈、衛(wèi)星等復(fù)雜系統(tǒng)提出了消耗燃料要少，飛行速度要快，運行可靠性要高等嚴(yán)格的要求，在工程上刺激了最優(yōu)控制理論的發(fā)展，逐步形成了一套較為完整的最優(yōu)控制理論體系。

該文將介紹最優(yōu)控制理論中的經(jīng)典方法。

1 變分法

一個經(jīng)典的例子是，曲線上的最速降線問題，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達(dá)不直接在它底下的一點B[1]。任務(wù)是在所有可能的曲線中確定一條，使得下降的時間達(dá)到最小。

這是一個求取泛函極值的問題。泛函取極值的必要條件是泛函的變分為零。若連續(xù)可微，在點達(dá)到極值，則泛函在處的變分等于零。

泛函極值問題可以分解為有約束和無約束問題，其中對于端點不固定的問題采用橫截條件進(jìn)行處理。

無約束問題中，歐拉-拉格朗日方程是變分法的關(guān)鍵定理。如果已知一條

曲線，始端末端，則泛函

取到極值必要條件是曲線滿足歐拉方程。

其中應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。如果想得到是極大還是極小的結(jié)論還必須有充分條件進(jìn)行泛函二階變分的求解與分析。

若對于泛函極值問題在上述情況下存在端點不固定的情況需要列出額外的橫截條件來求解。

對于有等式約束的問題，一般為含有狀態(tài)空間（1-8）的等式約束。變分法

利用拉格朗日待定乘子法并且引入哈密頓函數(shù)，見式（1-9）。

這樣就可以將有條件約束的問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o條件約束的問題。并利用歐拉方程推導(dǎo)出協(xié)態(tài)方程（1-10）和控制方程（1-11），與狀態(tài)方程和橫截條件一起求解泛函極值問題。

2 極小值原理

當(dāng)采用變分法求解最優(yōu)控制問題時，存在一個約束即認(rèn)為控制向量是不受限制的。但是在實際的系統(tǒng)中，不受限制的控制是比較少存在的。因此我們給定。

極小值原理可以用來求解很多最優(yōu)控制問題，其中著名和經(jīng)典的例子就是時間控制理論中的Bang-Bang控制，還有如線性二次型問題中的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，輸出調(diào)節(jié)器，跟蹤調(diào)節(jié)器等。同樣極小值原理還可以應(yīng)用于離散系統(tǒng)，解決離散系統(tǒng)中的二次型調(diào)節(jié)器問題。

極小值原理中，一般求解的問題可以給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示。

其中是歐幾里得空間的子集，端點約束和目標(biāo)泛函如下，

定義Hamilton函數(shù)為：

當(dāng)初始狀態(tài)不固定的時候，我們需要引入式（31）；當(dāng)終端時刻不固定的時候，我們需要引入式（26）；當(dāng)終端狀態(tài)不固定的時候我們需要引入式（25）。

3 變分法與極小值原理的比較

變分法比較擅長于求解微分方程或者差分方程所表示的問題，而對與更加一般化的實際問題則更多地用極小值原理的方法來求解。

可以從中觀察出來，當(dāng)控制函數(shù)不受約束或只受開集性約束條件下，與實際上是等價的。

極小值原理很好地擴(kuò)大了變分法的適用范圍。不僅可以用來求解函數(shù)U（t）不受約束或只受開集性約束的最優(yōu)控制問題，而且也可以用來求解控制函數(shù)U（t）受到閉集性約束條件的最優(yōu)控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對控制函數(shù)U（t）的要求。

極小值原理可以求解帶有閉域約束的更加一般的最優(yōu)控制問題，如最短的時間，最快的速度，最佳的利用，最短的路徑等等。

在沒有閉域約束的最優(yōu)控制問題中時，變分法，極小值原理是等價等效的。

4 結(jié)語

最優(yōu)控制理論已經(jīng)潛移默化地深深融入到了現(xiàn)代社會的發(fā)展中，在不久的將來仍然有廣闊的發(fā)展前景。

參考文獻(xiàn)

[1] 符曦.系統(tǒng)最優(yōu)化及控制[M].1北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1995：55.endprint

摘 要：最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的經(jīng)典。該文論述了其中的基本支柱方法變分法和極小值原理。兩種方法都有自己獨有的特性，優(yōu)點缺點和適用范圍，可分別用于求解不同種類的問題。最優(yōu)控制理論已經(jīng)廣泛地融入到了現(xiàn)代社會中，在將來仍有廣闊的發(fā)展前景。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制理論 變分法 極小值原理。

中圖分類號：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）07（b）-0255-02

早在20世紀(jì)50年代初，就開始了對最短時間控制問題的研究，形成了時間最優(yōu)控制理論，其中包含著名的Bang-Bang控制理論；隨后，由于空間技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)彈、衛(wèi)星等復(fù)雜系統(tǒng)提出了消耗燃料要少，飛行速度要快，運行可靠性要高等嚴(yán)格的要求，在工程上刺激了最優(yōu)控制理論的發(fā)展，逐步形成了一套較為完整的最優(yōu)控制理論體系。

該文將介紹最優(yōu)控制理論中的經(jīng)典方法。

1 變分法

一個經(jīng)典的例子是，曲線上的最速降線問題，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達(dá)不直接在它底下的一點B[1]。任務(wù)是在所有可能的曲線中確定一條，使得下降的時間達(dá)到最小。

這是一個求取泛函極值的問題。泛函取極值的必要條件是泛函的變分為零。若連續(xù)可微，在點達(dá)到極值，則泛函在處的變分等于零。

泛函極值問題可以分解為有約束和無約束問題，其中對于端點不固定的問題采用橫截條件進(jìn)行處理。

無約束問題中，歐拉-拉格朗日方程是變分法的關(guān)鍵定理。如果已知一條

曲線，始端末端，則泛函

取到極值必要條件是曲線滿足歐拉方程。

其中應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。如果想得到是極大還是極小的結(jié)論還必須有充分條件進(jìn)行泛函二階變分的求解與分析。

若對于泛函極值問題在上述情況下存在端點不固定的情況需要列出額外的橫截條件來求解。

對于有等式約束的問題，一般為含有狀態(tài)空間（1-8）的等式約束。變分法

利用拉格朗日待定乘子法并且引入哈密頓函數(shù)，見式（1-9）。

這樣就可以將有條件約束的問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o條件約束的問題。并利用歐拉方程推導(dǎo)出協(xié)態(tài)方程（1-10）和控制方程（1-11），與狀態(tài)方程和橫截條件一起求解泛函極值問題。

2 極小值原理

當(dāng)采用變分法求解最優(yōu)控制問題時，存在一個約束即認(rèn)為控制向量是不受限制的。但是在實際的系統(tǒng)中，不受限制的控制是比較少存在的。因此我們給定。

極小值原理可以用來求解很多最優(yōu)控制問題，其中著名和經(jīng)典的例子就是時間控制理論中的Bang-Bang控制，還有如線性二次型問題中的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，輸出調(diào)節(jié)器，跟蹤調(diào)節(jié)器等。同樣極小值原理還可以應(yīng)用于離散系統(tǒng)，解決離散系統(tǒng)中的二次型調(diào)節(jié)器問題。

極小值原理中，一般求解的問題可以給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示。

其中是歐幾里得空間的子集，端點約束和目標(biāo)泛函如下，

定義Hamilton函數(shù)為：

當(dāng)初始狀態(tài)不固定的時候，我們需要引入式（31）；當(dāng)終端時刻不固定的時候，我們需要引入式（26）；當(dāng)終端狀態(tài)不固定的時候我們需要引入式（25）。

3 變分法與極小值原理的比較

變分法比較擅長于求解微分方程或者差分方程所表示的問題，而對與更加一般化的實際問題則更多地用極小值原理的方法來求解。

可以從中觀察出來，當(dāng)控制函數(shù)不受約束或只受開集性約束條件下，與實際上是等價的。

極小值原理很好地擴(kuò)大了變分法的適用范圍。不僅可以用來求解函數(shù)U（t）不受約束或只受開集性約束的最優(yōu)控制問題，而且也可以用來求解控制函數(shù)U（t）受到閉集性約束條件的最優(yōu)控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對控制函數(shù)U（t）的要求。

極小值原理可以求解帶有閉域約束的更加一般的最優(yōu)控制問題，如最短的時間，最快的速度，最佳的利用，最短的路徑等等。

在沒有閉域約束的最優(yōu)控制問題中時，變分法，極小值原理是等價等效的。

4 結(jié)語

最優(yōu)控制理論已經(jīng)潛移默化地深深融入到了現(xiàn)代社會的發(fā)展中，在不久的將來仍然有廣闊的發(fā)展前景。

參考文獻(xiàn)

[1] 符曦.系統(tǒng)最優(yōu)化及控制[M].1北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1995：55.endprint