張國輝　李葛　李龍

摘要在股票價格過程和貨幣市場賬戶均受時滯影響時，利用無風(fēng)險對沖原理和鞅定價原理，得到了標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的價格公式.研究表明，時滯對期權(quán)價格公式有明顯的影響.

關(guān)鍵詞期權(quán)；時滯；鞅定價原理；Girsanov定理；無風(fēng)險對沖原理

中圖分類號F830文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號10002537（2014）05007605

大量研究表明波動率以一種不確定性的方式依賴于時間，從而使得經(jīng)典BS公式在預(yù)測期權(quán)價格的時候不夠理想[14]， 此時可以考慮在股票價格過程引入時滯，即過去資產(chǎn)價格對期權(quán)定價的影響.Federico等學(xué)者研究了時滯對最優(yōu)停時的影響，這在美式期權(quán)定價中有重要運(yùn)用[5]. Larssen，F(xiàn)ederico等學(xué)者研究了時滯在隨機(jī)控制中的應(yīng)用[67]，Kazmerchuk， Arriojas等學(xué)者研究了在時滯影響下的后期權(quán)定價問題[89].隨后，李，黃 [1012]研究了股票價格過程在分紅和時滯影響下對歐式期權(quán)定價公式的影響，并得到了關(guān)于期權(quán)價格的相關(guān)結(jié)論.國內(nèi)學(xué)者王磊、金治明也對波動率非常數(shù)的情形進(jìn)行了研究[13].但是以上工作都沒有討論貨幣賬戶也帶有時滯的情形，本文在Arriojas等[9]討論的股票價格過程具有時滯的理論結(jié)構(gòu)下，做出了進(jìn)一步的研究.

3結(jié)論

本文利用帶時滯的隨機(jī)微分方程理論和鞅定價原理，討論了股票價格過程和貨幣市場賬戶均帶有時滯的情形下，標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的定價.在一般情形，即不帶用時滯的情形下，由看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系，對于標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)而言，由看跌或看漲期權(quán)的價格公式，就能獲得另一種期權(quán)的定價公式，但是由我們的結(jié)論可知，在時滯影響下期權(quán)價格公式呈現(xiàn)復(fù)雜性，故可以采用類似定理2中的方法對看跌期權(quán)進(jìn)行定價.對于本文的特殊情形，即μs（t-a）=μ（t），g（s（t-b））=σ（t），dM（t）=rM（t）dt時，定價公式恰好是經(jīng)典BS定價公式.在考慮貨幣賬戶具有時滯的情形下，期權(quán)定價的一些拓展性問題，比如交換期權(quán)定價等，將是未來研究方向.

參考文獻(xiàn)：

[1]SHEINKMAN J， LEBARON B. Nonlinear dynamics and stock returns [J].J Business， 1989，62（3）：311337.

[2]LAUTERHACH B， SCHULTZ P. Pricing warrantst： an empirical study of the BlackScholes model and its atternatives[J].J Fin， 1990，45（4）：11811209.

[3]ELSANOUSII I， OKSENDAL B， SULEM A. Some solvable stochastic control problems with delay[J].Stoch Stocha Rep， 2000，71（1/2）：6989.

[4]HOBSON D， ROGERS L C G. Complete models with stochastic volatility[J]. Math Fin，1998，8（1）：2748.

[5]FEDERICO S， KENDAL B K. Optimal stopping of stochastic differential equations with delay driven by lévy noise[J]. Potential Anal， 2011，34（2）：181198.

[6]LARSSEN B. Dynamic programming in stochastic control of systems with delay[J].Stoch Stoch Rep， 2002，74（3/4）：651673.

[7]FEDERICO S， SUPERIORE S N. A stochastic control problem with delay arising in a pension fund model[J]. Fin Stoch， 2011，15（3）：421459.

[8]KAZMERCHUK Y， SWISHCHUK A， WU J. The pricing of option for securities markets with delayed response[J].Math Comput Simul， 2007，75（3/4）：6979.

[9]ARRIOJAS M， HU Y， MOHHAAMMED S E， et al. A delayed black and scholes formula[J].Stoch Anal Appl， 2007，25（2）：471492.

[10]李亞瓊， 黃立宏. 紅利支付下的具有時滯的股票期權(quán)定價[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版， 2009，36（12）：8992.

[11]李亞瓊， 黃立宏. 雙幣種期權(quán)與時滯期權(quán)定價研究[M]. 長沙：湖南大學(xué)出版社， 2011.

[12]李亞瓊， 黃立宏. 漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)具有時滯的股票期權(quán)定價[J]. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)， 2011，28（1）：1013.

[13]王磊， 金治明. 波動率非常數(shù)時一類博弈期權(quán)定價[J]. 湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報， 2009，32（1）：710.

[14]KWOK K Y. Mathematical models of financial derivatives[R]. Singapore： SpringerVerlag，1998：35180.

（編輯胡文杰）

摘要在股票價格過程和貨幣市場賬戶均受時滯影響時，利用無風(fēng)險對沖原理和鞅定價原理，得到了標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的價格公式.研究表明，時滯對期權(quán)價格公式有明顯的影響.

關(guān)鍵詞期權(quán)；時滯；鞅定價原理；Girsanov定理；無風(fēng)險對沖原理

中圖分類號F830文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號10002537（2014）05007605

大量研究表明波動率以一種不確定性的方式依賴于時間，從而使得經(jīng)典BS公式在預(yù)測期權(quán)價格的時候不夠理想[14]， 此時可以考慮在股票價格過程引入時滯，即過去資產(chǎn)價格對期權(quán)定價的影響.Federico等學(xué)者研究了時滯對最優(yōu)停時的影響，這在美式期權(quán)定價中有重要運(yùn)用[5]. Larssen，F(xiàn)ederico等學(xué)者研究了時滯在隨機(jī)控制中的應(yīng)用[67]，Kazmerchuk， Arriojas等學(xué)者研究了在時滯影響下的后期權(quán)定價問題[89].隨后，李，黃 [1012]研究了股票價格過程在分紅和時滯影響下對歐式期權(quán)定價公式的影響，并得到了關(guān)于期權(quán)價格的相關(guān)結(jié)論.國內(nèi)學(xué)者王磊、金治明也對波動率非常數(shù)的情形進(jìn)行了研究[13].但是以上工作都沒有討論貨幣賬戶也帶有時滯的情形，本文在Arriojas等[9]討論的股票價格過程具有時滯的理論結(jié)構(gòu)下，做出了進(jìn)一步的研究.

3結(jié)論

本文利用帶時滯的隨機(jī)微分方程理論和鞅定價原理，討論了股票價格過程和貨幣市場賬戶均帶有時滯的情形下，標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的定價.在一般情形，即不帶用時滯的情形下，由看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系，對于標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)而言，由看跌或看漲期權(quán)的價格公式，就能獲得另一種期權(quán)的定價公式，但是由我們的結(jié)論可知，在時滯影響下期權(quán)價格公式呈現(xiàn)復(fù)雜性，故可以采用類似定理2中的方法對看跌期權(quán)進(jìn)行定價.對于本文的特殊情形，即μs（t-a）=μ（t），g（s（t-b））=σ（t），dM（t）=rM（t）dt時，定價公式恰好是經(jīng)典BS定價公式.在考慮貨幣賬戶具有時滯的情形下，期權(quán)定價的一些拓展性問題，比如交換期權(quán)定價等，將是未來研究方向.

參考文獻(xiàn)：

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[3]ELSANOUSII I， OKSENDAL B， SULEM A. Some solvable stochastic control problems with delay[J].Stoch Stocha Rep， 2000，71（1/2）：6989.

[4]HOBSON D， ROGERS L C G. Complete models with stochastic volatility[J]. Math Fin，1998，8（1）：2748.

[5]FEDERICO S， KENDAL B K. Optimal stopping of stochastic differential equations with delay driven by lévy noise[J]. Potential Anal， 2011，34（2）：181198.

[6]LARSSEN B. Dynamic programming in stochastic control of systems with delay[J].Stoch Stoch Rep， 2002，74（3/4）：651673.

[7]FEDERICO S， SUPERIORE S N. A stochastic control problem with delay arising in a pension fund model[J]. Fin Stoch， 2011，15（3）：421459.

[8]KAZMERCHUK Y， SWISHCHUK A， WU J. The pricing of option for securities markets with delayed response[J].Math Comput Simul， 2007，75（3/4）：6979.

[9]ARRIOJAS M， HU Y， MOHHAAMMED S E， et al. A delayed black and scholes formula[J].Stoch Anal Appl， 2007，25（2）：471492.

[10]李亞瓊， 黃立宏. 紅利支付下的具有時滯的股票期權(quán)定價[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版， 2009，36（12）：8992.

[11]李亞瓊， 黃立宏. 雙幣種期權(quán)與時滯期權(quán)定價研究[M]. 長沙：湖南大學(xué)出版社， 2011.

[12]李亞瓊， 黃立宏. 漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)具有時滯的股票期權(quán)定價[J]. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)， 2011，28（1）：1013.

[13]王磊， 金治明. 波動率非常數(shù)時一類博弈期權(quán)定價[J]. 湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報， 2009，32（1）：710.

[14]KWOK K Y. Mathematical models of financial derivatives[R]. Singapore： SpringerVerlag，1998：35180.

（編輯胡文杰）

摘要在股票價格過程和貨幣市場賬戶均受時滯影響時，利用無風(fēng)險對沖原理和鞅定價原理，得到了標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的價格公式.研究表明，時滯對期權(quán)價格公式有明顯的影響.

關(guān)鍵詞期權(quán)；時滯；鞅定價原理；Girsanov定理；無風(fēng)險對沖原理

中圖分類號F830文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號10002537（2014）05007605

大量研究表明波動率以一種不確定性的方式依賴于時間，從而使得經(jīng)典BS公式在預(yù)測期權(quán)價格的時候不夠理想[14]， 此時可以考慮在股票價格過程引入時滯，即過去資產(chǎn)價格對期權(quán)定價的影響.Federico等學(xué)者研究了時滯對最優(yōu)停時的影響，這在美式期權(quán)定價中有重要運(yùn)用[5]. Larssen，F(xiàn)ederico等學(xué)者研究了時滯在隨機(jī)控制中的應(yīng)用[67]，Kazmerchuk， Arriojas等學(xué)者研究了在時滯影響下的后期權(quán)定價問題[89].隨后，李，黃 [1012]研究了股票價格過程在分紅和時滯影響下對歐式期權(quán)定價公式的影響，并得到了關(guān)于期權(quán)價格的相關(guān)結(jié)論.國內(nèi)學(xué)者王磊、金治明也對波動率非常數(shù)的情形進(jìn)行了研究[13].但是以上工作都沒有討論貨幣賬戶也帶有時滯的情形，本文在Arriojas等[9]討論的股票價格過程具有時滯的理論結(jié)構(gòu)下，做出了進(jìn)一步的研究.

3結(jié)論

本文利用帶時滯的隨機(jī)微分方程理論和鞅定價原理，討論了股票價格過程和貨幣市場賬戶均帶有時滯的情形下，標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的定價.在一般情形，即不帶用時滯的情形下，由看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系，對于標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)而言，由看跌或看漲期權(quán)的價格公式，就能獲得另一種期權(quán)的定價公式，但是由我們的結(jié)論可知，在時滯影響下期權(quán)價格公式呈現(xiàn)復(fù)雜性，故可以采用類似定理2中的方法對看跌期權(quán)進(jìn)行定價.對于本文的特殊情形，即μs（t-a）=μ（t），g（s（t-b））=σ（t），dM（t）=rM（t）dt時，定價公式恰好是經(jīng)典BS定價公式.在考慮貨幣賬戶具有時滯的情形下，期權(quán)定價的一些拓展性問題，比如交換期權(quán)定價等，將是未來研究方向.

參考文獻(xiàn)：

[1]SHEINKMAN J， LEBARON B. Nonlinear dynamics and stock returns [J].J Business， 1989，62（3）：311337.

[2]LAUTERHACH B， SCHULTZ P. Pricing warrantst： an empirical study of the BlackScholes model and its atternatives[J].J Fin， 1990，45（4）：11811209.

[3]ELSANOUSII I， OKSENDAL B， SULEM A. Some solvable stochastic control problems with delay[J].Stoch Stocha Rep， 2000，71（1/2）：6989.

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[5]FEDERICO S， KENDAL B K. Optimal stopping of stochastic differential equations with delay driven by lévy noise[J]. Potential Anal， 2011，34（2）：181198.

[6]LARSSEN B. Dynamic programming in stochastic control of systems with delay[J].Stoch Stoch Rep， 2002，74（3/4）：651673.

[7]FEDERICO S， SUPERIORE S N. A stochastic control problem with delay arising in a pension fund model[J]. Fin Stoch， 2011，15（3）：421459.

[8]KAZMERCHUK Y， SWISHCHUK A， WU J. The pricing of option for securities markets with delayed response[J].Math Comput Simul， 2007，75（3/4）：6979.

[9]ARRIOJAS M， HU Y， MOHHAAMMED S E， et al. A delayed black and scholes formula[J].Stoch Anal Appl， 2007，25（2）：471492.

[10]李亞瓊， 黃立宏. 紅利支付下的具有時滯的股票期權(quán)定價[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版， 2009，36（12）：8992.

[11]李亞瓊， 黃立宏. 雙幣種期權(quán)與時滯期權(quán)定價研究[M]. 長沙：湖南大學(xué)出版社， 2011.

[12]李亞瓊， 黃立宏. 漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)具有時滯的股票期權(quán)定價[J]. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)， 2011，28（1）：1013.

[13]王磊， 金治明. 波動率非常數(shù)時一類博弈期權(quán)定價[J]. 湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報， 2009，32（1）：710.

[14]KWOK K Y. Mathematical models of financial derivatives[R]. Singapore： SpringerVerlag，1998：35180.

（編輯胡文杰）